Теория функций РєРѕРјРїР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина
“Утверждаю”
Зав. кафедрой______/Саввина О.А./
“___”_____________2007 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине:
«Теория функций комплексного переменного»
050201 – Математика с доп. спец. Информатика
специальность:
квалификация: учитель математики и информатики
форма обучения: заочная
6 лет
срок обучения:
физико-математический
факультет:
математического анализа и элементарной математики
кафедра:
курс:
V, VI
9, 10
семестр:
12 часов
лекций:
практических
8 часов
занятий:
11 семестр
экзамен:
зачет:
самостоятельная
70 часов
работа:
90 часов
Всего часов:
Елец – 2007
Рабочая программа разработана на основе ГОС по специальности
050201 – Математика с дополнительной специальностью на кафедре
математического анализа и элементарной математики.
Рабочая программа рассмотрена на заседании кафедры (протокол
№_____, от “___”______________2007 г.)
Зав. кафедрой________________________( Саввина О.А.)
Рабочая программа утверждена методическим советом университета
(факультета) (протокол №______ от “__”__________ 200__г.)
Председатель методического совета_____________/Трофимова Е.И. /
Рабочую программу составил доцент Елецких И.А.______________
2
I. Организационно – методический раздел.
1.1 Пояснительная записка.
Основной целью курса «Теория функций комплексного переменного»
является расширение теории классического анализа, построенного на множестве действительных чисел, на более широкую область  комплексную
плоскость. Важнейшие классы функций, встречаются в классическом анализе и его приложениях к задачам механики и физики, являются аналитическими всюду, за исключением отдельных особых точек этих функций. Отсюда возникает чрезвычайная важность специального изучения общих
свойств аналитических функций.
Выход в комплексную плоскость имеет преимущества перед изучением функций в одной лишь действительной области. Здесь обнаруживается,
что свойства аналитичности можно очень просто характеризовать и путем
рассмотрения интеграла от комплексной функции, и путем изучения ее разложения в ряды по произвольным многочленам, и т.п.
Кроме того, за последнее время в физике и технике получают все более
широкое распространение методы, требующие обстоятельного применения
теории функций. Поэтому задача дисциплины  изучение методов теории
функций комплексного переменного и их приложение к решению различных физических задач.
Непременным условием начала обучения по данной дисциплине, является предварительное усвоение классического курса «Математического
анализа».
1. 2 Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Студенты должны знать:












определение комплексного числа;
понятие функции комплексного переменного (предел, непрерывность,
свойства);
геометрический смысл аргумента и модуля производной функции;
определение аналитической функции (гармонической функции);
что такое конформное отображение (виды);
понятие интеграла функции комплексного переменного (свойства, основные утверждения);
- типы изолированных точек;
- определение ряда Лорана;
- определение вычета в изолированной особой точке.
Студенты должны уметь:
записывать комплексное число в различных формах;
производить все операции над комплексными числами;
пользоваться условиями Коши-Римана при исследовании функций и
находить производную;
3






II.
вычислять некоторые типы интегралов функции комплексного переменного;
разлагать функции в ряды Тейлора и Лорана;
исследовать ряды на сходимость;
классифицировать изолированные особые точки;
находить вычеты;
применять теорию вычетов при вычислении интегралов.
Содержание дисциплины.
Изучение дисциплины включает в себя лекционный курс, практические занятия, выполнение аудиторных контрольных работ.
Тема 1. Комплексные числа.
Комплексные числа. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Геометрическая интерпретация поля комплексных чисел. Расширенная комплексная плоскость.
Стереографическая проекция. Последовательность и ряды комплексных чисел. Предел последовательности.
Тема 2. Функции комплексного переменного.
Отображения из C в C. Предел, непрерывность и равномерная
непрерывность. Производная функции комплексного переменного.
Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.
Тема 3. Элементарные функции и задаваемые ими конформные
отображения.
Многочлен; целая линейная функция; дробно-линейное преобразование; функция w=1/z ; степенная функция и радикал. Понятие
римановой поверхности. Показательная и логарифмическая функции;
преобразование Жуковского. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции
Тема 4. Интеграл функции комплексного переменного.
Понятие интеграла; теорема существования, простейшие свойства, вычисление.
Основная теорема Коши; первообразная и интеграл, определение логарифма через интеграл. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши.
Разложение функции, представимой интегралом Коши в ряд
Тейлора. Оценка Коши коэффициентов ряда Тейлора; теорема Лиувилля.
Тема 5. Изолированные особые точки.
4
Целые функции; теорема единственности аналитической функции. Нули аналитической функции. Аналитическое продолжение.
Разложение аналитической функции в ряды Тейлора и Лорана. Классификация изолированных особых точек ; теорема Сохоцкого. Мероморфные функции.
Тема 6. Вычеты
Вычет аналитической функции. Вычисление вычетов. Основная
теорема теории вычетов.Применение теории вычетов к вычислению
некоторых типов определенных интегралов.
III. Рабочая программа дисциплины.
3.1. Распределение часов курса по видам и темам работ.
№
Наименование тем и разделов
1.
2.
Комплексные числа
Функции комплексного переменного
Элементарные функции и задаваемые ими конформные
отображения
Интеграл функции комплексного переменного
Изолированные особые точки
Вычеты
3.
4.
5.
6.
ИТОГО:
7
19
1
2
1
2
Самостоятельная
работа
5
15
19
3
1
15
13
2
1
10
16
2
2
12
16
90
2
12
1
8
13
70
Всего
часов
Аудиторные
занятия
ЛК ПР ЛБ
3.2. Практические занятия, их содержание и объем в часах:
1. Операции над комплексными числами. Представление комплексных чисел в различных формах
2. Кривые в комплексной области. Аналитичность. Условия
Коши-Римана
3. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части
4. Интеграл от функции комплексного переменного. Интеграл от аналитической функции
5. Тип изолированной особой точки
7. .Вычисление вычетов
1ч
2ч
1ч
1ч
2ч
1ч
5
IV.
Учебно- методическое обеспечение дисциплины.
4.1. Типовые контрольные работы.
Контрольная работа №1.
1.Записать в показательной и тригонометрической формах
следующие комплексные числа : 1 – 3 i ; 2 + 2 i ; - 10 ; 7 i .
2.Выделить действительную и мнимую части функций :
2
а) w = 2 z + Re z ; б ) w = sin z.
3.Исследовать на аналитичность функцию :
2
а) w = z + 2 z.
4. Найти угол поворота и коэффициент искажения мас3
штаба в точке z = 1 + i при отображении w = z .
5. Найдите множество точек , удовлетворяющих неравенству
а)
z1
z1
= 1 ; б) arg z =

.
4
Контрольная работа № 2.
1. Найти аналитическую функцию f ( z ), если ее мнимая
часть равна 2xy + 3x .
2.Определить тип изолированной особой точки z = 0 для
функции
а) w = z sin
2
, б) w = ( e z  1 ) / z 3 .
3
z
3.Найти вычеты функции в ее изолированных особых точках:
1
2
а) f ( z )  z sin 1 ; б) f ( z )  z 3 e z .
z
4.Вычислить интеграл
dz
 z4  1 .
z 1 1
По программе проведение контрольных работ не предусмотрено, но возможно их задание на дом с целью контроля
знаний студентов.
6
4.2. Вопросы для самостоятельного изучения.
1. Понятие римановой поверхности.
2. Функция Жуковского.
3. Общие свойства конформных отображений.
4. Теорема Коши.
5. Полная аналитическая функция.
6. Ряды Лорана.
7. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
8. Логарифмический вычет и принцип аргумента.
4.3. Вопросы к экзамену.
1. Понятие комплексного число, его геометрический смысл.
2. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая и
показательная формы записи комплексного числа.
3. Понятие функции комплексного переменного.
4. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
5. Производная и дифференциал.
6. Условия Коши- Римана. Аналитические функции.
7. Геометрический смысл функции комплексного переменного.
8. Понятие конформного отображения.
9. Линейная функция.
10. Дробно-линейная функция.
11. Степенная функция.
12. Понятие римановой поверхности.
13. Показательная и логарифмическая функции.
14. Общая степенная и тригонометрическая функции.
15. Функция Жуковского.
16. Общие свойства конформных отображений
17. Интеграл функции комплексного переменного.
18. Теорема Коши.
19. Неопределенный интеграл.
20. Формула Ньютона-Лейбница.
21. Интегральная формула Коши и ее следствия.
22. Числовые ряды.
23. Функциональные ряды.
24. Степенные ряды.
25. Ряд Тейлора.
26. Ряд Лорана.
27. Классификация изолированных особых точек.
28. Вычет функции в изолированной особой точке.
7
Литература.
1. Маркушевич А.И « Краткий курс теории аналитических
функций »,М.госиздат,1961г.
2. Гончаров В.Л. «Теория функций комплексного переменного»,М.Наука,1955г.
3. Привалов И.И.«Введение в теорию функций комплексного переменного»,М.Физматгиз,1960г.
4. Сидоров Ю.В. «Лекции по теории функций комплексного переменного»,М.,Наука,1982.
5. Лунц Г.Л.,Эльсгодьц Л.Э. «Функции комплексного переменного»,С.-Петербург,2002.
6. Хапланов М.Г. «Теория функции комплексного переменного»,М.,Просвещение,1965г.
7. Виленкин Н.Я. «Задачник по курсу математического
анализа»,М.,Просвещение,1971г.
8. Афанасьев В.И. и др. «Высшая математика (специальные разделы)»,М.,Физматлит,2001г.
9. Данко П.Е. и др. «Высшая математика в упражнениях и
задачах»,часть2,М.,Высшая школа,1996г.
8