4. Содержание разделов дисциплины

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
.
С.Д. ШАЛАГИНОВ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Учебно-методический комплекс
Рабочая учебная программа для студентов специальности
«Комплексное обеспечение информационной безопасности
автоматизированных систем»
Тюмень 2013
С.Д. Шалагинов. Теория функций комплексного переменного.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
специальности
«Комплексное
обеспечение
информационной
безопасности автоматизированных систем» Института математики и
компьютерных
наук.
Тюмень:
Издательство
Тюменского
государственного университета, 2013, 5 стр.
Учебно-методический
комплекс
обеспечивает
освоение
дисциплины «Теория функций комплексного переменного», входящей
в блок «Общие математические и естественно-научные дисциплины.
Федеральный
бакалавров
компонент»
по
и
ориентированной
специальности
на
подготовку
«Комплексное
обеспечение
информационной безопасности автоматизированных систем».
Учебно-методический комплекс дисциплины опубликован на
сайте
ТюмГУ:
переменного
Математика:
Теория
ресурс]
[электронный
функций
комплексного
Режим
доступа:
Учебно-методической
комиссией
/
http://www.umk.utmn.ru., свободный.
Рекомендован
к
печати
Института математики и компьютерных наук. Одобрен Учебнометодической секцией Ученого совета Тюменского государственного
университета.
Ответственный
редактор:
А.Г.
Хохлов,
зав.
кафедрой
математического анализа и теории функций, к.ф.-м.н., доцент.
© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2013
Пояснительная записка
1.1. Требования ГОС ВПО к содержанию курса
Голоморфные функции; условия Коши-Римана; степенные ряды в
комплексной области; экспонента и логарифмы в комплексной
области; аналитические функции и их основные свойства; нули
аналитической
функции;
полюсы;
мероморфные
функции;
криволинейные интегралы; гладкие пути; дифференциальные формы;
гомотопия; односвязные и звездные области; гармонические функции
и их связь с аналитическими функциями; целые функции; теорема
Лиувилля; принцип максимума модуля; формула Грина; интеграл типа
Коши;
ряды
Лорана;
изолированные
особые
точки
и
их
классификация; вычеты; принцип аргумента; вычисление интегралов с
помощью вычетов.
1.2. Цели и задачи дисциплины
Обеспечить усвоение студентами данной дисциплины; создать базу
для изучения завершающих разделов курса и специальных
дисциплин; использовать эти знания как ступени формирования
способностей будущих специалистов-математиков к ведению
исследовательской работы и решению практических задач.
1.3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны
иметь представление:
 об
основных
методах
теории
функций
комплексного
переменного, применяемых в научно-исследовательской работе
и практической деятельности;
знать:
 основные понятия и теоремы в области теории функций
комплексного переменного;
уметь:
 оперировать с комплексными числами во всех формах;
 дифференцировать, интегрировать и находить разложения в
ряды Тейлора и Лорана функций комплексного переменного;
 исследовать аналитические свойства функций, находить нули и
особые точки функций;
 применять теорию вычетов для вычисления
определенных и несобственных интегралов.
контурных,
1. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид занятий
Общая
трудоемкость
Аудиторные
занятия
Лекц. занятия
Практ. занятия
Сам. работа
Вид итогового
контроля в
третьем
семестре
Всего часов (семестр 3)
80
54
36
18
26
Зачет, контрольная работа.
2. Тематический план изучения дисциплины
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Наименование темы
Комплексные числа.
Функции комплексного
переменного.
Голоморфные функции.
Комплексное интегрирование.
Голоморфные
функции
и
ряды.
Особые точки голоморфной
функции.
Элементы теории вычетов.
Всего:
Лекц.
занятия
2
Практ.
занятия
2
Сам.
работа
2
Всего
баллов
0-10
4
2
4
0-10
6
6
2
4
4
4
0-15
0-15
6
2
4
0-15
6
2
4
0-15
6
36
4
18
4
26
0-20
0-100
3.Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательн дополниые
тельные
Модуль 1
1.1
Функции комплексного
переменного.
домашня
я работа
Неделя
семестр
а
1-6
Объем
часов
1-3
2
Кол-во
баллов
8
-
1.2
Голоморфные функции.
Модуль 1
домашня
я работа
4-6
2
-
6
4
0-30
7-12
8
домашня
я работа
7-9
2
-
домашня
я работа
10-12
2
-
12
4
0-30
13-18
13-15
10
3
-
15-18
3
-
18
4
0-40
Контрольна
я работа
Всего по модулю 1:
0-30
Модуль 2
2.1
2.2
Комплексное
интегрирование.
Голоморфные функции
и ряды.
Модуль 2
Контрольна
я работа
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Приложения теории
3.2
0-30
домашня
я работа
вычетов.
Построение
конформных
отображений.
Модуль3
домашня
я работа
Контрольна
я работа
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
0-40
0-100
4. Содержание разделов дисциплины
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Комплексные числа: комплексные числа и действия над ними,
топология комплексной плоскости, предел последовательности,
числовые ряды.
Функции комплексного переменного: предел и непрерывность
функции
комплексного
переменного,
пути
и
кривые,
функциональные ряды, элементарные функции комплексного
переменного.
Голоморфные функции: моногенность, условия Коши-Римана,
голоморфность, гармонические функции.
Комплексное интегрирование: интеграл по комплексному
переменному и его свойства, интегральная теорема Коши,
интегральная формула Коши, интеграл типа Коши, теорема
Морера.
Голоморфные функции и ряды: ряды Тейлора, теоремы
Вейерштрасса, ряды Лорана.
Особые точки голоморфной функции: изолированные особые
точки однозначного характера и их классификация, связь с
рядами Лорана.
Элементы теории вычетов: теоремы о вычетах, вычисление
вычетов, принцип аргумента, вычисление определенных
интегралов.
5. Содержание практических занятий дисциплины
Комплексные числа: комплексные числа и действия над ними,
топология комплексной плоскости, предел последовательности,
числовые ряды.
Функции комплексного переменного: предел и непрерывность
функции
комплексного
переменного,
пути
и
кривые,
функциональные ряды, элементарные функции комплексного
переменного.
Голоморфные функции: моногенность, условия Коши-Римана,
голоморфность, гармонические функции.
Комплексное интегрирование: интеграл по комплексному
переменному и его свойства, интегральная теорема Коши,
интегральная формула Коши, интеграл типа Коши, теорема
Морера.
Голоморфные функции и ряды: ряды Тейлора, теоремы
Вейерштрасса, ряды Лорана.
Особые точки голоморфной функции: изолированные особые
точки однозначного характера и их классификация, связь с
рядами Лорана.
Элементы теории вычетов: теоремы о вычетах, вычисление
вычетов, принцип аргумента, вычисление определенных
интегралов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Самостоятельная работа (Рефераты по теме)
Гладкие пути.
Дифференциальные формы.
Гомотопия.
Звездные области.
Целые функции.
Мероморфные функции.
Криволинейные интегралы.
Формула Грина.
7. Вопросы к зачету
1.
2.
3.
4.
5.
Комплексные числа и действия над ними.
Числовые последовательности и их пределы.
Числовые ряды.
Множества на плоскости. Области и кривые.
Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
6. Дифференцируемость по комплексному переменному. Уравнения
Коши-Римана.
7. Голоморфная функция. Экспонента и степень с натуральным
показателем.
8. Интеграл по комплексному переменному, его свойства и
вычисление.
9. Первообразная функция, формула Ньютона-Лейбница.
10. Интегральная формула Коши.
11. Бесконечная дифференцируемость голоморфной функции,
формулы Коши для производных, теорема Морера.
12. Степенные ряды, теорема Абеля, формула Коши-Адамара.
13. Теорема Тейлора, неравенства Коши для коэффициентов.
14. Нули голоморфной функции, их порядок.
15. Принцип максимума модуля.
16. Теорема Лорана, неравенства для коэффициентов.
17. Изолированные особые точки однозначного характера, связь с
разложением в ряд Лорана.
18. Теорема Коши о вычетах, вычисление вычетов.
19. Принцип аргумента.
20. Целые и мероморфные функции.
8. Литература
Основная литература:
1. Евграфов М.А. Аналитические функции. [Электронный ресурс]:
учеб. пособие / М.А. Евграфов. - М.: Лань, 2008. – 448 с. Режим
доступа:
http://e.lanbook.com/books/element/php?pl1_cid=25&pl1_id=134
(дата обращения 12.12.2013)
2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного
переменного. [Электронный ресурс]: учебник / И.И. Привалов. –
М.:
Лань,
2009.
–
432
с.
Режим
доступа:
http://e.lanbook.com/books/element/php?pl1_cid=25&pl1_id=134
(дата обращения 12.12.2013).
Дополнительная литература:
3. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ : учебник : в 2 ч.
/Б.В. Шабат. – СПб. : Лань. Ч. 1, 2. – 2004.
4. Сборник задач по теории аналитических функций. // Под ред.
Евграфова М.А. М.: Наука, 1972. 388 с.
5. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории
функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989. 480 с.
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории
комплексного переменного. М.: Лань, 2002. 688 с.
функций
7. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по
теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 2006. 312
с.
8. Леонтьева Т.А., Панферов В.С., Серов В.С. Задачи по теории
функций комплексного переменного с решениями. М.: Мир, 2005.
360 с.
9. Шалагинов С.Д. Теория функций комплексного переменного.
Ряды Лорана: Учебно-методический комплекс: Методические
указания и индивидуальные задания для студентов очной
формы обучения Института математики и компьютерных наук,
физического факультета. Тюмень: Издательство Тюменского
государственного университета, 2007. 59 с.
10. Шалагинов С.Д. Математика. Теория функций комплексного
переменного. Вычеты и интегралы: Учебно-методический
комплекс: Методические указания и индивидуальные задания
для студентов очной формы обучения Института математики и
компьютерных наук, физического факультета. Тюмень:
Издательство Тюменского государственного университета, 2010.
41 с.