Теория функций - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Учебно-методический комплекс дисциплины
«ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ»
Направление подготовки
«050100 Педагогическое образование»
Профиль подготовки
«Математика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Заочная
Тобольск
2014
1
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
_______________________________________________________________________________
Дисциплина:
Теория функций
____
Учебный план: 050100 Педагогическое образование Профиль «Математика»
Автор:
Кушнир Таисья Ивановна______________________________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
Кушнир Таисья Ивановна, доцент кафедры физики,
математики и методик преподавания
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
_________
дата
2
Содержание
Рабочая программа дисциплины …………………………………...………………….......................... 3
Руководство по организации обучения дисциплине …………………………………………...….....17
Приложения ………………………………………………………………………………………..…….. 19
Приложение 1. Лекционные материалы ……………………………………………………..…………...19
Приложение 2. Практические занятия ……………………………………………………………..…... 24
2.1. Планы практических занятий ………………………………………………………...........24
2.2. Методические указания к практическим занятиям ………………………………........... 31
Приложение 3. Лабораторный практикум ……………………………………………………………. …30
3.1.Задания к лабораторному практикуму …………………………………………………... .30
3.2.Методические указания к лабораторному практикуму …………………………….…... 35
Приложение 4. Самостоятельная работа студентов …………………………………...……………….. 32
4.1. Задания для самостоятельной работы ………………………………………………….... 32
4.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы …………….……… 43
Приложение 5. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине .………. 42
5.1. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине …………….............. 42
5.2. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине …………………... 48
5.3. Контрольные работы …………………………………………………………………….... 51
5.4. Вопросы к зачету ……………………………………………………………….................. 52
5.5. Вопросы к экзамену ……………………………………………………………………..... 53
3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Рабочая программа дисциплины
«ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ»
Направление подготовки
«050100 Педагогическое образование»
Профиль подготовки
«Математика, информатика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Заочная
Тобольск
2014
4
Содержание
1. Цели и задачи освоения дисциплины………………………………………………..…..…….…….….5
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО……………………………………….……..…….…..…...5
3. Требования к результатам освоения дисциплины ………………………………….…..……….... ….5
4. Структура и содержание дисциплины………………………………..…………………...………..…. 5
4.1. Структура дисциплины ……………………………………………………………… ………….… 5
4.2. Содержание разделов дисциплины …………………………………………………………………. 6
5. Образовательные технологии ……………………………………………….……………………..........7
6. Самостоятельная работа студентов…………………………………………………...….……….….….9
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства……………………..…..….........................9
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля ………………………………..…………...….. 9
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы
студентов………………………………………………………………………….………………….……..10
7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации ……………………………….…………….….. 11
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ……………………..……..... 11
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ………………………………………...……... 11
5
1. Цели и задачи освоения дисциплины
 Цель освоения дисциплины состоит в овладение математическим аппаратом,
необходимым для формирования систематизированных знаний в области теории функций
комплексного переменного, её месте и роли в системе математических наук, расширение на
комплексную область понятий, используемых в действительном анализе.
 Задачи:
1) овладение умениями и навыками вычисления пределов, нахождения производных
и интегралов, доказательства свойств и теорем, относящихся к основным понятиям ТФКП;
2) овладение методами ТФКП для решения задач, нахождения геометрических и
физических величин;
3) понимание современных направлений развития математики и его приложений.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Теория функций» относится к базовой части профессионального цикла
– Б.3, обеспечивает подготовку студентов по одной из фундаментальных математических
дисциплин.
Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в
результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Алгебра»,
«Геометрия». Она формирует профессиональные знания и знания, необходимые при
изучении дисциплин «Численные методы», «Математическая логика», «Дифференциальные
уравнения» и др., а также курсов по выбору, содержание которых связано с готовностью
студента углубить свои знания в области теории функций
3. Требования к результатам освоения дисциплины
3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины:
а) общекультурных (ОК):
- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
- способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в
образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической
обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4)
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать современные направления развития теории функций, основные понятия
теории функций действительного и комплексного переменного, теории вычетов, теории
конформных отображений; основные факты (теоремы, свойства) теории функций
действительного и комплексного анализа; основные методы, используемые в теории
функций действительного и комплексного переменного, и основные типы задач, решаемые
этими методами;
 Уметь решать основные задачи функционального анализа: исследование функций
на аналитичность, отыскание и исследование изолированных особых точек, разложение
функций в ряды Тейлора и Лорана, вычисление контурных интегралов, строить простейшие
конформные отображения; исследовать свойства функций с помощью основных теорем
теории функций комплексного переменного;
Владеть системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
методологией построения математических моделей;
 навыками применения методов функционального анализа в других разделах
математики (анализ функций действительного переменного, дифференциальные уравнения),
навыками применения конформных отображений к решению некоторых задач механики и
6
уравнений в частных производных, методами работы в среде «Maple», относящимся к
теории функций комплексного переменного и теории рядов.
 Приобрести опыт деятельности в области математического моделирования
практических задач и их решения на основе методов теории функций
действительного и комплексного переменного.
4. Структура и содержание дисциплины
Дисциплина «Теория функций» изучается в 6 и 7 семестрах. Общая трудоёмкость 7
зачётных единиц (216 часов), из них 34 аудиторных, самостоятельная работа студентов –200
час. Изучение предусматривает контрольную работу в 6 и 7 семестре, экзамен в 6 и 7
семестре, курсовую работу в 7 семестре.
4.1. Структура дисциплины
Таблица 1
Наименование разделов
№
раздела
Количество часов
Семестр
Всего
Аудиторная
работа
Л
ПЗ
СР
1
Мощность множества
6
14
1
1
8
2
3
4
Строение линейных множеств
Интеграл Лебега
Метрические пространства
6
6
6
12
18
14
1
2
2
1
2
2
8
8
8
5
Ряды Фурье
КСР
6
6
Итого:
18
2
2
2
8
8
8
47
7
7
16
1
1
10
14
1
1
10
7
22
2
2
10
20
2
2
10
16
22
72
1
1
2
2
10
12
8
10
144
34
50
102
1
2
3
4
5
6
Функции комплексного переменного
Предел
и
непрерывность
функции
комплексного переменного
Дифференцирование функции комплексного
переменного
Интегрирование
функции комплексного
переменного. Теорема Коши и следствия из
нее
Вычеты и их приложения
Ряды Тейлора и Лорана
7
7
7
7
Контроль
Итого:
Всего
4.2. Содержание дисциплины
Таблица 2
№
1
Наименование раздела
дисциплины
2
Содержание раздела
(дидактические единицы)
3
6 семестр
7
1.
Мощность множества
2.
Строение
множеств
линейных
Интеграл Лебега
Метрические пространства
Ряды Фурье
Функции
комплексного
переменного
Предел и непрерывность
функции
комплексного
переменного
3.
Дифференцирование
функции
комплексного
переменного
4.
Интегрирование функции
комплексного
переменного.
Теорема
Коши и следствия из нее
Понятие мощности. Эквивалентные множества. Счетные
множества и их свойства. Множество мощности
континуума. Сравнение мощностей. Несчетность отрезка
[0; 1].
Основные понятия теории точечных множеств. Строение
линейных замкнутых множеств. Строение совершенных
множеств. Открытые множества. Множество Кантора.
Точки конденсации.
Теорема Бореля-Лебега о покрытиях. Мера Лебега.
Понятие измеримой функции. Интеграл Лебега, его
свойства. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Суммируемые функции
Понятие метрического пространства, примеры. Полные
метрические пространства. Компактность. Принцип
сжимающих отображений и его применение.
Задача о разложении функции в тригонометрический
ряд.
Соотношение
ортогональности.
Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье для функций
с периодом 2, 2l. Разложение четных и нечетных
функций. Разложение непериодических функций.
Четные и нечетные продолжения. Ряд Фурье в
комплексной форме.
8 семестр
Комплексные числа. Геометрическая иллюстрация.
Алгебраическая, тригонометрическая, показательная
форма комплексного числа. Действия над комплексными
числами
Определение
функции
комплексного
переменного. Геометрическая интерпретация функции
комплексного переменного. Основные элементарные
функции комплексного переменного и их свойства.
Степенная функция. Дробно-рациональная функция.
Тригонометрические,
гиперболические
функции.
Логарифмическая функция в комплексной области.
Обратные тригонометрические функции комплексного
переменного.
Определение
предела
функции
комплексного
переменного
в
точке
и
его
геометрическая
интерпретация. Определение непрерывности в точке
функции комплексного переменного. Основные свойства
непрерывной функции.
Определение дифференцируемой в точке функции
комплексного переменного. Определение производной.
Необходимые
и
достаточные
условия
дифференцируемости
функции
комплексного
переменного. Понятие аналитической функции. Понятие
конформного отображения
Определение
интеграла
функции
комплексного
переменного. Разные способы вычисления интеграла
функции комплексного переменного. Теорема Коши и
следствия из нее. Применение теоремы Коши к
интегрированию функций. Интегральная формула Коши
8
5.
Вычеты и их приложения
6.
Ряды Тейлора и Лорана
и её следствия
Изолированные особые точки аналитической функции.
Вычет и его вычисление. Основная теорема о вычетах.
Применение вычетов для вычисления интегралов
Степенные
ряды.
Теорема
Абеля.
Разложение
элементарных функций в комплексной области в
степенные ряды. Ряды Тейлора. Разложение основных
элементарных функций в ряд Тейлора. Теорема
единственности. Формулы Эйлера. Определение ряда
Лорана. Связь рядов Тейлора и Лорана. Разложение
функций комплексного переменного в ряд Лорана
5. Образовательные технологии
№
№
занятия раздела
1.
1
2.
1
3
1
4
1
5
2
6
2
.7
1
8
9
10
Тема занятия
Тема 1. Понятие мощности.
Эквивалентные множества.
Счетные множества и их свойства.
Тема 1. Понятие мощности.
Эквивалентные множества.
Счетные множества и их свойства.
Тема 2. Множество мощности
континуума. Сравнение мощностей.
Несчетность отрезка [0; 1].
Тема 2. Множество мощности
континуума. Сравнение мощностей.
Несчетность отрезка [0; 1].
Тема 3 Основные понятия теории
точечных множеств. Строение
линейных замкнутых множеств.
Строение совершенных множеств.
Открытые множества. Множество
Кантора. Точки конденсации.
Тема 3 Основные понятия теории
точечных множеств. Строение
линейных замкнутых множеств.
Строение совершенных множеств.
Открытые множества. Множество
Кантора. Точки конденсации.
Тема 4 Теорема Бореля-Лебега о
покрытиях. Мера Лебега. Понятие
измеримой функции.
Тема 4 Теорема Бореля-Лебега о
покрытиях. Мера Лебега. Понятие
измеримой функции.
Тема 5. Интеграл Лебега, его
свойства. Сравнение интегралов
Римана и Лебега. Суммируемые
функции
Тема 5. Интеграл Лебега, его
свойства. Сравнение интегралов
Римана и Лебега. Суммируемые
функции
Виды образовательных
технологий
Таблица 3
Кол-во
часов
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Групповое обсуждение, дискуссия
(Интерактивные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
9
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Тема 6. Понятие метрического
пространства, примеры. Полные
метрические пространства.
Тема 6. Понятие метрического
пространства, примеры. Полные
метрические пространства.
Тема 7. Компактность. Принцип
сжимающих отображений и его
применение.
Тема 7. Компактность. Принцип
сжимающих отображений и его
применение.
Тема 8. Задача о разложении
функции в тригонометрический
ряд.
Соотношение
ортогональности.
Тригонометрический ряд Фурье.
Ряд Фурье для функций с
периодом 2, 2l.
Тема 8. Задача о разложении
функции в тригонометрический
ряд.
Соотношение
ортогональности.
Тригонометрический ряд Фурье.
Ряд Фурье для функций с
периодом 2, 2l.
Тема 9. Разложение четных и
нечетных функций. Разложение
непериодических функций. Четные
и нечетные продолжения. Ряд
Фурье в комплексной форме.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Тема 9. Разложение четных и
нечетных функций. Разложение
непериодических функций. Четные
и нечетные продолжения. Ряд
Фурье в комплексной форме.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Комплексные
числа.
Определение
функции
комплексного переменного
Комплексные числа. Действия
над ними в разных формах
записи
Основные
элементарные
функции
комплексного
переменного и их свойства
Определение
функции
комплексного переменного
Лекция с использованием
слайдов
Определение предела функции
комплексного переменного в
точке и его геометрическая
Определение
интерпретациянепрерывности в
точке функции комплексного
переменного.
Основные
Предел
комплексного
свойствафункции
непрерывной
функции
переменного
Непрерывность
в
точке
функции
комплексного
переменного
Информационная лекция
4
Практическое занятие с
использованием игровых
технологий
Информационная лекция
Групповая работа
Интерактивные методы
(групповые формы работы)
Практическое занятие
10
Определение
дифференцируемой в точке
функции
комплексного
Необходимые
достаточные
переменного. и Определение
условия
дифференцируемости
производной
функции
комплексного
Дифференцирование
функций
переменного
комплексного переменного
26
27
28
29
4
30
4
31
4
32
4
33
4
34
5
35
5
36
5
37
5
38
6
39
6
40
6
41
6
Определение
функции
переменного
интеграла
комплексного
Разные способы вычисления
интеграла
функции
комплексного переменного
Интегрирование
функций
комплексного переменного
Теорема Коши и следствия из
нее.
Применение
теоремы
Коши
к
интегрированию
функций
Применение
теоремы Коши к
интегрированию функций
Изолированные особые точки,
их классификация. Вычеты,
основная теорема о вычетах
Применение
вычетов
для
вычисления интегралов
Изолированные особые точки
аналитической функции. Вычет
Особые
точки,
их
классификация. Использование
вычетов
Степенные для
ряды вычисления
функций
интегралов
комплексного переменного. Ряд
Тейлора
Разложение
основных
элементарных функций в ряд
Тейлора
Определение ряда Лорана.
Разложение
функций
комплексного
переменного
Разложение
функцийв
ряд
комплексного переменного в
ряд Лорана
Информационная лекция
Информационная лекция
Интерактивные методы
(групповые формы работы)
Лекция с привлечением
студентов (Применение
контекстного
обучения)технологии
знаковоМультимедийная лекция
2
Работа в сотрудничестве
(групповая деятельность)
Информационная лекция
2
Индивидуальная работа
2
Информационная лекция
2
Информационная лекция
2
Практическое занятие
4
Интерактивные методы
(групповые формы
работы)(групповая
Лекция
с использованием
деятельность)
слайдов
Интерактивные методы
(групповые формы работы)
4
Информационная лекция
2
Практическое занятие
4
2
4
2
4
6. Самостоятельная работа студентов
Таблица 4
№
Наименование раздела
дисциплины
1.
1, 2, 3
2.
3.
1, 2, 3
1, 2, 3
Вид самостоятельной работы
Подготовка
к
аудиторной
самостоятельной работе
Терминологический опрос
Проработка и повторение лекционного
материала и материала учебников и
учебных пособий
Трудоемкость
(в академических
часах)
8
6
20
11
4.
5.
6.
1,2,3
1,2,3
1,2,3
7.
8.
1,2,3
1,2,3
9.
1,2,3
10.
1,2,3
кср
Выполнение домашних работ
Выполнение индивидуальных работ,
РГЗ
Подготовка к контрольной работе
Конспектирование учебного материала
по темам для самостоятельного
изучения
Исследовательская работа (статьи,
Участие в Менделеевских чтениях)
Подготовка к экзамену
6
20
10
10
15
40
36
164
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
1) Входящий контроль в форме теста;
2) Текущий контроль в форме мониторинга результатов практических занятий, домашних
работ, самостоятельных работ;
3) Промежуточная аттестация в форме экзамена
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания
работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
а) контрольный опрос (устный, письменный)
б) коллоквиум
в) вопросы к зачету по дисциплине
7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Применяется система компьютерной проверки знаний обучающихся с использованием модульно
рейтинговой технологии обучения
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Алейников С.М. Теория функций комплексного переменного для инженеров:
учеб. пособ. / С.М. Алейников, А.Б. Кущев.- 2-е изд.- М.:Вузовская книга, 2009. - 148 с. : ил.
2. Ворович И.И. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной
среды: учеб. пособ. / И.И. Ворович, Л.П. Лебедев.- 3-е изд.- М.: Вузовская книга, 2011.320с.
3. Гуревич А.П. Сборник задач по функциональному анализу: уч.пос. / А.П.Гуревич,
В.В. Корнев, А.П. Хромов.- 2-е изд.-СПб: Лань, 2012. - 192 с. : ил. - (Учебники для вузов.
Специальная литература)
4. Избранные задачи по вещественному анализу : учеб. пособие для студ. вузов /
Б.М. Макаров, М.Г. Голузина, А.А. Лодкин, А.Н. Подкорытов. - 2-е изд., перераб. и доп. СПб. : Невский Диалект, 2004. - 624 с. : ил.
5. Математический анализ. Ряды Фурье: учеб. Пособ./ред. Н.М. Пилипенко.- М.:
СГУ, 2005.
12
6. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной:учеб. д/вузов.-5-е изд.СПб.:Лань,2008.-560с.:ил.-(Учебники для вузов. Специальная литература)
7. Привалова И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учеб.
для студ. вузов. - 15-е изд. - СПб. : Лань, 2009. - 432 с. : ил. - (Учебники для вузов.
Специальная литература)
8. Теория функций и функциональный анализ: учеб.пособ. /ред. Н.М. Пилипенко.М.? СГУ, 2005.
9. Функции комплексного переменного. Функции комплексного переменного и
операционное исчисление: учеб.пособ. /ред. Н.М. Пилипенко.- М.: СГУ, 2005.
б) дополнительная литература
1. Араманович И. Г.,Лунц Г. А., Эльсгольц А. Э. Функции комплексного
переменного. Операционное исчисление. Теорема устойчивости. М.: Наука, 1965.
2. Высшая математика на базе Matcad. Общий курс. / Черняк А.А. и др. С.Петербург: БВХ-Петербург, 2004, 608 с.
3. Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций. - М.:
Наука, 1972.
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2ч.: Учеб.пособие
для вузов. Т.2. –М.: ОНИКС 21 век, 2005. – 304÷416с.
5. Краснов М. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с
подробными решениями. Учебн. пос.: УРСС, 2005, 208 с.
6. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. - М.:
Наука, 1974.
7. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1: учеб. пособие/ Б.В. Шабат.
СПб.: Лань, 2004. 336 с.
8. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2: учеб. пособие/ Б.В. Шабат.
СПб.: Лань, 2004. 464 с.
в) Периодические издания
г) Мультимедийные средства
Microsoft Office Power Point, Excel.
д) Интернет-ресурсы
1. http://www.math.ru
2. http://www.edu.ru
3. http://www.exponenta.ru
4. http://www.problems.ru
5. http://www.bymath.net
6. http://www.mathem.h1.ru
7. http://www.allmath.ru
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
ПК, проектор, экран.
13
Аннотация по дисциплине «Теория функций»
1. Цели освоения дисциплины: овладение математическим аппаратом,
необходимым для формирования систематизированных знаний в области теории функций
действительного и комплексного переменного, её месте и роли в системе математических
наук, расширение на комплексную область понятий, используемых в действительном
анализе.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Теория функций» относится к базовой части профессионального цикла
– Б.3, обеспечивает подготовку студентов по одной из фундаментальных математических
дисциплин.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины:
а) общекультурных (ОК):
- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
- способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в
образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической
обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4)
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать современные направления развития теории функций, основные понятия
теории функций действительного и комплексного переменного, теории вычетов, теории
конформных отображений; основные факты (теоремы, свойства) теории функций
действительного и комплексного анализа; основные методы, используемые в теории
функций действительного и комплексного переменного, и основные типы задач, решаемые
этими методами;
 Уметь решать основные задачи функционального анализа: исследование функций
на аналитичность, отыскание и исследование изолированных особых точек, разложение
функций в ряды Тейлора и Лорана, вычисление контурных интегралов, строить простейшие
конформные отображения; исследовать свойства функций с помощью основных теорем
теории функций комплексного переменного;
Владеть системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
методологией построения математических моделей;
 навыками применения методов функционального анализа в других разделах
математики (анализ функций действительного переменного, дифференциальные уравнения),
навыками применения конформных отображений к решению некоторых задач механики и
уравнений в частных производных, методами работы в среде «Maple», относящимся к
теории функций комплексного переменного и теории рядов.
 Приобрести опыт деятельности в области математического моделирования
практических задач и их решения на основе методов теории функций
действительного и комплексного переменного.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц.
5. Разработчики: к.п.н., доцент
Т.И. Кушнир
14
Руководство по организации обучения дисциплине
Преподавателю, читающему дисциплину «Теория функций», важно знать структуру
курса, умело выделяя в разделах основные, базовые понятия. Организуя учебные занятия,
учитывать их порядок, последовательность и технологические приемы, отражая научнометодические основы дисциплины.
Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, лабораторный
практикум, коллоквиумы.
Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами
изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу теоретического
обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине, раскрывающее
состояние и перспективы развития соответствующей области науки и техники,
концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных) вопросах.
Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение
различных учений, точек зрения и показывается применение дифференциальных уравнений
для решения прикладных задач из разных областей. На лекционном курсе преподаватель
дает конкретные знания и показывает основное направления для подготовки к зачету,
экзамену. Посещение лекций, а также ведение конспектов лекций (фиксирование основных
положений, свободное изложение и т.п.) и их проверка являются обязательными.
Необходимо показывать приемы успешной работы с текстом лекции: использование
кратких общепринятых символов, совращений, правильная обработка текста, исправление
неточностей и внесение дополнительных сведений.
Тема практического занятия соответствует теме прочтенной лекции, поэтому в
учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий рекомендовано
проведение небольшой самостоятельной работы, математического диктанта по знанию
основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых на данном занятии.
Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия, осуществляя
систематический контроль за успеваемостью студентов, но и воспитательную, требуя от
обучающихся дисциплинированности, активности, трудолюбия.
Сложной, но и эффективной формой аудиторной работы, являются коллоквиумы,
которые нужно проводить по основным темам курса или по совокупности однородных
проблем. Наиболее распространённой формой проведения является фронтальный опрос
студентов и слушание подготовленных докладов с последующим их обсуждением.
Результаты коллоквиума имеют большую балльную ценность при аттестации.
Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы которой
необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий. Формы:
- самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к
практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной
литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому
занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не только
базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной работы
студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы, сборники
задач;
- письменные формы работы (доклады, рефераты, эссе и т.п.) указываются в рабочей
программе;
- домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради,
проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания оцениваются
баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов.
- выполнение индивидуальных заданий, темы которых представлены в программе.
Дисциплина «Теория функций» изучается на 3 и 4 курсе в 6 и 7 семестрах. В течение
семестра предусмотрены две контрольные работы. Цель дисциплины – формирование
15
представлений о понятиях и методах теории функций комплексного переменного, ее месте и
роли в системе математических наук, использование в естественных науках, в школьном
курсе математики. Более глубоко изучаются такие понятия, как функция, предел,
производная, интеграл. При изучении данного раздела используются понятия
математического анализа, такие, как производная, неопределенный и определенный
интеграл, функция. Данная дисциплина способствует формированию научного
мировоззрения студента, устанавливает межпредметные связи. Теоретический материал
дает возможность использования для написания курсовых и дипломных работ по
прикладной математике.
Основными идеями лекционного курса являются:
Функции действительного переменного.
Метрические пространства.
Интеграл Лебега.
Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Ряд Фурье.
Функции комплексного переменного.
Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
Дифференцирование функции комплексного переменного.
Интегрирование функции комплексного переменного.
Теорема Коши и следствия из нее.
Ряд Тейлора. Ряд Лорана.
Вычеты и их приложения
16
Приложение 1
Лекционные материалы
Планы лекций по дисциплине «Теория функций»
Материалы лекций – обязательный компонент УМК дисциплины. Формулировка тем
лекций и содержание лекционного материала соответствуют рабочей программе
дисциплины.
Лекционные материалы представлены форме аннотации лекций – обобщённое
описание лекционного курса, в лаконичных формулировках дающее представление о
содержании
Данный компонент УМК содержит:
а) тему лекции;
б) учебные материалы (включая схемы, графики, рисунки, если это необходимо);
в) список литературы по каждой теме.
7 семестр «Теория функций действительного переменного»
Раздел 1. Мощность множества.
Тема 1 Понятие мощности. Эквивалентные множества. Счетные множества и их
свойства.
1. Биекция и равномощность бесконечных множеств.
2. Примеры равномощности.
3. Понятие мощности множества.
4. Признаки равномощности множеств.
5. Сравнение мощностей.
6. Определение счетного множества.
7. Теорема о счетности подмножества.
8. Свойства счетных множеств.
Раздел 1. Мощность множества.
Тема 2. Множество мощности континуума. Сравнение мощностей. Несчетность
отрезка [0; 1].
1. Определение числового континуума.
2. Свойства множеств, имеющих мощность континуума.
3. Существование множеств сколь угодно высокой мощности.
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема 3. Основные понятия теории точечных множеств. Строение линейных
замкнутых множеств.
1. Внешние, внутренние и граничные точки.
2. Всюду плотные подмножества.
3. Открытые и замкнутые множества.
4. Свойства открытых и замкнутых множеств.
5. Канторово множество и ковер Серпинского.
6. Примеры множеств.
Точки конденсации
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема 4. Теорема Бореля-Лебега о покрытиях. Мера Лебега.
1. Интеграл Римана.
2. Ступенчатые функции.
3. Функции,  - малые по Лебегу.
17
4.  - приближенная функция.
5. Мера Лебега и ее свойства.
6. Множества меры нуль.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема 5. Понятие измеримой функции. Интеграл Лебега, его свойства. Сравнение
интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции
1. Понятие измеримой функции.
2. Интеграл Лебега.
3. Свойства интеграла Лебега.
4. Примеры.
5. Связь интеграла Римана с интегралом Лебега.
6. Функция Дирихле.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема 6. Понятие метрического пространства, примеры. Полные метрические
пространства. Компактность.
1. Метрические пространства.
2. Примеры.
3. Геометрия метрического пространства.
4. Линейные нормированные пространства.
5. Полные метрические пространства.
6. Сходимость в метрических пространствах
7. Компактные метрические пространства.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема 7. Принцип сжимающих отображений и его применение.
1. Непрерывные отображения метрических пространств.
2. Свойства непрерывных отображений.
3. Непрерывные отображения компактов.
4. Связные метрические пространства.
5. Принцип сжимающих отображений и его применение.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема 8. Задача о разложении функции в тригонометрический ряд. Соотношение
ортогональности. Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом 2,
2l.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема 9. Разложение четных и нечетных функций. Разложение непериодических
функций. Четные и нечетные продолжения. Ряд Фурье в комплексной форме.
8 семестр
Раздел 1. Функции комплексного переменного. 6 ч.
Тема №1. Комплексные числа
Тема №2. Определение функции комплексного переменного. Геометрическая
интерпретация функции комплексного переменного
Тема №3. Основные элементарные функции комплексного переменного и их
свойства.
18
Комплексное число, его модуль и аргумент. Разные формы записи комплексного числа.
Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация комплексного числа,
равенств и неравенств, содержащих комплексные числа.
- Комплексное число. Действительная, мнимая части комплексного числа, сопряженные
комплексные числа, комплексная плоскость, модуль, аргумент комплексного числа;
- Изображение комплексного числа на комплексной плоскости;
- Нахождение аргумента комплексного числа;
- Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа;
- Действия над комплексными числами в разных формах записи (сложение, умножение,
деление, возведение в n-ую степень, извлечение корня n-ой степени), примеры;
- Решение равенств и неравенств, содержащих комплексные числа
- Степенная функция. Дробно-рациональная функция
- Тригонометрические, гиперболические функции
- Логарифмическая функция в комплексной области
- Функция Жуковского
- Обратные тригонометрические функции комплексного переменного.
Дополнительно эти вопросы можно найти в следующей литературе:
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.- С. 16-25, 45
Раздел 2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. 6 ч.
Тема №4. Определение предела функции комплексного переменного в точке и его
геометрическая интерпретация.
Тема №5. Определение непрерывности в точке функции комплексного переменного.
Основные свойства непрерывной функции.
- Понятие функции комплексного переменного, примеры;
- Предел ФКП, свойства и правила вычисления предела ФКП;
- Понятие непрерывной ФКП.
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.25-30, 49
Раздел 3. Дифференцирование функции комплексного переменного. 8 ч.
Тема №6. Определение дифференцируемой в точке функции комплексного
переменного. Определение производной.
Тема №7. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции
комплексного переменного.
Тема №8. Аналитическая функция. Понятие конформного отображения.
Тема №9. Элементарные функции комплексного переменного и отображения,
задаваемые ими.
- Понятие аналитической и гармонической функций, примеры;
- Понятие конформного отображения, геометрический смысл аргумента и модуля
производной;
- Элементарные ФКП (дробно-линейная, степенная, показательная, логарифмическая,
тригонометрические), отображения, задаваемые ими.
Дополнительно эти вопросы можно найти в следующей литературе:
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.69-98
]
Раздел 4. Интегрирование функции комплексного переменного. 8 ч.
Тема №10. Определение интеграла функции комплексного переменного.
19
Тема №11. Разные способы вычисления интеграла функции комплексного
переменного.
Тема №12. Теорема Коши и следствия из нее. Применение теоремы Коши к
интегрированию функций.
- Определение интеграла функции комплексного переменного.
- Разные способы вычисления интеграла функции комплексного переменного.
- Теорема Коши и следствия из нее.
- Применение теоремы Коши к интегрированию функций.
- Интегральная формула Коши и её следствия
Дополнительно эти вопросы можно найти в следующей литературе:
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.143-185
Раздел 5. Вычеты и их приложения. 4 ч.
Тема №13. Изолированные особые точки, их классификация. Вычеты, основная
теорема о вычетах.
Тема №14. Применение вычетов для вычисления интегралов
- Изолированные особые точки аналитической функции
- Вычет и его вычисление
- Основная теорема о вычетах
- Применение вычетов для вычисления интегралов
Дополнительно эти вопросы можно найти в следующей литературе:
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.215-220, 237-251
Раздел 6. Ряды Тейлора и Лорана. 4 ч.
Тема №15. Степенные ряды функций комплексного переменного. Ряд Тейлора.
Тема №16. Определение ряда Лорана. Разложение функций комплексного
переменного в ряд
- Степенные ряды. Теорема Абеля
- Разложение элементарных функций в комплексной области в степенные ряды
- Ряды Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
Теорема единственности. Формулы Эйлера. Определение ряда Лорана
- Связь рядов Тейлора и Лорана
- Разложение функций комплексного переменного в ряд Лорана
Дополнительно эти вопросы можно найти в следующей литературе:
[1, с. 89-110], [2-т2, с. 276-308]
20
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
2.1.ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
6 семестр
Раздел 1. Мощность множества.
Тема1. Понятие мощности. Эквивалентные множества. Счетные множества и их
свойства.
Раздел 1. Мощность множества.
Тема 2. Множество мощности континуума. Сравнение мощностей. Несчетность
отрезка [0; 1].
Раздел 2. Строение линейных множеств.
Тема 3. Основные понятия теории точечных множеств. Строение линейных
замкнутых множеств. Строение совершенных множеств. Открытые множества.
1. Внешние, внутренние и граничные точки.
2. Всюду плотные подмножества.
3. Открытые и замкнутые множества.
4. Свойства открытых и замкнутых множеств.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема 4. Теорема Бореля-Лебега о покрытиях. Мера Лебега.
1. Интеграл Римана.
2. Ступенчатые функции.
3. Функции,  - малые по Лебегу.
4.  - приближенная функция.
5. Мера Лебега и ее свойства.
6. Множества меры нуль.
Раздел 3. Интеграл Лебега.
Тема 5. Понятие измеримой функции. Интеграл Лебега, его свойства. Сравнение
интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции
1. Понятие измеримой функции.
2. Интеграл Лебега.
3. Свойства интеграла Лебега.
4. Примеры.
5. Связь интеграла Римана с интегралом Лебега.
6. Функция Дирихле.
Раздел 4. Метрические пространства.
Практическое занятие №1. Метрическое пространство.
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
- Является ли метрическим пространством множество R,  ( x, y)  sin x  tgy ?
- Показать, что  ( x, y)  arctg x  y является метрикой во множестве всех чисел.
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
[15, с. 16-21, 106-112]
Тема 6. Понятие метрического пространства, примеры. Тема Полные метрические
пространства. Компактность.
1. Метрические пространства.
2. Примеры.
3. Геометрия метрического пространства.
4. Линейные нормированные пространства.
5. Полные метрические пространства.
6. Сходимость в метрических пространствах
21
1. Компактные метрические пространства.
Раздел 4. Метрические пространства.
Тема 7. Принцип сжимающих отображений и его применение.
2. Непрерывные отображения метрических пространств.
3. Свойства непрерывных отображений.
4. Непрерывные отображения компактов.
5. Связные метрические пространства.
6. Принцип сжимающих отображений и его применение.
Раздел 5. Ряды Фурье.
Тема 8. Задача о разложении функции в тригонометрический ряд. Соотношение
ортогональности. Тема Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом
2, 2l.
Раздел 5. Ряды Фурье. Тема 9. Разложение четных и нечетных функций. Разложение
непериодических функций. Четные и нечетные продолжения. Тема Ряд Фурье в
комплексной форме.
8 семестр
1. Функции комплексного переменного. 4 ч.
Практическое занятие №1: Комплексные числа. Действия над ними в разных
формах записи.
Практическое занятие №2: Определение функции комплексного переменного.
Содержание: Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного.
Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства.
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
- Найти модули, главные значения аргументов комплексных чисел. Записать эти
числа в тригонометрической форме записи и изобразить их: -1; i; -2-2i; 3 +i.
- Изобразить множества точек, удовлетворяющих следующим условиям:
z  3  2i  5 ; 1  z  i  2 ; z  2  z  2  5
12
 3 i 3


 2  ; 2  2i .


Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.43
2  3i
- Выполнить действия:
;
1  4i
7 семестр
1. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. 4 ч.
Практическое занятие №3: Предел функции комплексного переменного
Практическое занятие №4: Непрерывность в точке функции комплексного
переменного
Определение предела функции комплексного переменного в точке и его
геометрическая интерпретация. Определение непрерывности в точке функции комплексного
переменного. Основные свойства непрерывной функции.
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
- Найти значение функции комплексного переменного: Ln(1-i); e i .
1
1
- Исследовать функцию f ( z ) 
на непрерывность.
i 2
yx
x  y2
- Выделить действительную и мнимую части функции   z 2  z .
2
22
n 1
1 n2
i 2
).
3n  n  1
x  2 n  3
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.105
- Вычислить предел функции комплексного переменного:
lim (
2. Дифференцирование функции комплексного переменного. 4 ч.
Практическое занятие №5. Дифференцирование функций комплексного
переменного.
Практическое занятие №6. Конформное отображение функции комплексного
переменного.
Определение дифференцируемой в точке функции комплексного переменного.
Определение производной. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости
функции комплексного переменного. Понятие аналитической функции.
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
- Проверить выполнимость условий Коши-Римана и найти производную функции
f(z)=(x³-3xy²)-i(y³-3x²y)
y
- Является ли функция z  гармонической?
x
- Является ли функция   tgy  itgx аналитической?
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.105
3. Интегрирование функции комплексного переменного. 4 ч.
Практическое занятие №7. Интегрирование функций комплексного переменного
Практическое занятие №8. Применение теоремы Коши к интегрированию функций
Определение интеграла функции комплексного переменного. Разные способы
вычисления интеграла функции комплексного переменного. Теорема Коши и следствия из
нее. Применение теоремы Коши к интегрированию функций. Интегральная формула Коши
и ее использование.
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
z
- Вычислить интеграл  dz по отрезку прямой, соединяющему начало координат с
L z
точкой z=3+2i.
dz
 2i .
- Убедиться в справедливости равенства: 
z

a
z a
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.188
4. Вычеты и их приложения (8).
Практическое занятие №9, 10. Изолированные особые точки аналитической
функции. Вычет
Практическое занятие №11, 12. Особые точки, их классификация. Использование
вычетов для вычисления интегралов.
Изолированные особые точки аналитической функции. Вычет и его вычисление.
Основная теорема о вычетах. Использование вычетов для вычисления интегралов функций
действительного и комплексного переменных
23
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
- Найти изолированные особые точки аналитической функции
f ( z) 
z 1
z  z2
и
выяснить их характер.
z
.
( z  2)( z  i)
dz
dz
-Вычислить интегралы:  2
; 
.
z  1 z 3 ( z  1) 2 ( z  2)
z i 1
- Найти вычеты функции f ( z ) 
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.255
5. Ряды Тейлора и Лорана. 8 ч.
Практическое занятие №13, 14. Разложение основных элементарных функций в ряд
Тейлора
Практическое занятие №15, 16. Разложение функций комплексного переменного в
ряд Лорана
Степенные ряды функций комплексного переменного. Ряд Тейлора. Разложение
основных элементарных функций в ряд Тейлора. Формулы Эйлера.
Определение ряда Лорана. Связь рядов Тейлора и Лорана. Разложение функций
комплексного переменного в ряд Лорана.
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:

1
Задача 1. Показать что ряд 
- сходится и найти его сумму.
n 1 n( n  1)

1
Задача 2. Исследовать сходимость ряда 
n 1 n
1
Задача 1. Разложить функцию f ( z )  2
в ряд Лорана в кольце 0 | z  1 | 2 .
( z  1) 2
Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. СПб:
Издательство «Лань», 2009 – 432с.-С.209, 234
2.2. Методические указания к практическим занятиям
Дисциплина «Теория функций» изучается в 7 и 8 семестрах. По окончании
дисциплины предусмотрены контрольная работа в 7 семестре и экзамен в 8 семестре.
Общая трудоемкость дисциплины по учебному плану составляет 216 часов (6 зачетных
единиц): на аудиторные занятия отводится 84 часа, из них лекций 34 часа, практические
занятия составляют 50 часов.
Текущий контроль успеваемости организован в виде домашних работ по каждой теме.
Допуском для сдачи зачета является посещение всех занятий (лекционных и
практических), выполнение домашних работ, предоставление конспектов по темам,
выносимых на самостоятельное изучение, выполнение итогового теста.
Зачет выставляется в соответствии с больно-рейтинговой системой оценки знаний
студентов, в том случае, если обучающийся набрал не менее 61 балла (из 100).
24
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
1. Является ли метрическим пространством множество R,  ( x, y)  sin x  tgy ?
2. Показать, что  ( x, y)  arctg x  y является метрикой во множестве всех чисел.
3. Найти модули, главные значения аргументов комплексных чисел. Записать эти
числа в тригонометрической форме записи и изобразить их: -1; i; -2-2i; 3 +i.
4. Изобразить множества точек, удовлетворяющих следующим условиям:
z  3  2i  5 ; 1  z  i  2 ; z  2  z  2  5
12
 3 i 3


 2  ; 2  2i .


6. Найти значение функции комплексного переменного: Ln(1-i); e i .
1
1
7. Исследовать функцию f ( z ) 
на непрерывность
i 2
yx
x  y2
2  3i
5. Выполнить действия:
;
1  4i
8. Выделить действительную и мнимую части функции   z 2  z
9. Вычислить предел функции комплексного переменного:
lim (
x 
2
n 1
1 n2
i 2
)
2n  3 3n  n  1
10. Проверить выполнимость условий Коши-Римана и найти производную функции
f(z)=(x³-3xy²)-i(y³-3x²y)
y
11. Является ли функция z  гармонической?
x
12. Является ли функция   tgy  itgx аналитической?
z
13. Вычислить интеграл  dz по отрезку прямой, соединяющему начало координат
L z
с точкой z=3+2i.
dz
14. Убедиться в справедливости равенства: 
 2i .
za
z a
1
, L: z  1  2
z  2z 2  z
z2
16. Разложить функцию f ( z ) 
в ряд по степеням z  z0 , z0  1 .
z 1
1
17. Найти изолированные особые точки функции f ( z ) 
и выяснить их
2
z ( z  1) 2
характер.
z 1
18. Найти изолированные особые точки аналитической функции f ( z ) 
и
z  z2
выяснить их характер
z
19. Найти вычеты функции f ( z ) 
.
( z  2)( z  i)
dz
dz
2


z  1 z 3 ( z  1) 2 ( z  2)
20. Вычислить интегралы: z i 1
;
.
15. Вычислить интеграл: f  z  
3
25
Приложение 3
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
1.1.ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задания для самостоятельной работы
1) Вопросы для терминологического опроса
(см. вопросы к экзамену)
2) аудиторные самостоятельные работы
Самостоятельная работа № 1
Тема: «Множество, мера множеств. Метрические пространства»
1.
Доказать,
что
если
множества
А
и
В
измеримы,
то
m( A  B)  m( A  B)  m( A)  m( B) .
2. Найти неподвижную точку отображения С, y  x 2  2 x  1 .
3. Найти предельные, граничные, внутренние точки и точки прикосновения
множества X  1;2  2;3 .
4. Является ли пространство R ,  ( x, y)  sin x  sin y метрическим?
8 семестр
Самостоятельная работа №1
1. Доказать, что для любого комплексного числа z  0 существует единственное
число  , удовлетворяющее условию z  1 . Это комплексное число обозначается одним из
1
двух символов z 1 или .
z
1
x  iy
2. Пусть Re z  x , Im z  y и z  0 . Доказать, что  2
z x  y2
z1
1
3. Символом
обозначим комплексное число z1  . Пусть Re z k  xk ,
z2
z2
z
xx y y
x y x y
Im z k  yk , k  1,2 . Доказать, что 1  1 22 12 2  i 2 21 12 2
z2
x2  y 2
x2  y 2
4. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел:
3
1
 i5  2 
(1  i)5
3
1 i 

 10 
2) 
3)   i
4)
5)
.

2 
(1  i)3
1 i 
 i 1
2
5. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел:
1) i
2)  3
3) 1  i123
1
3
1 i


4)   i
5)
6)  cos  i sin
7
7
2
2
1 i
1
1)
1 i
7) (4  3i) 3
3
8) (1  i ) 8 (1  i 3 ) 6 9) 1  cos
2

 i sin

7
7
6. Доказать, что для любого многочлена P (z ) с действительными коэффициентами и
для любого комплексного числа z имеет место равенство P( z )  P( z ) .
7. Дать геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих следующим неравенствам:
1) Re z  0
2) Im z  1
3) | Re z | 1
4) | Im z | 1, 0  Re z  1
5) | z | 1
6) | z  i | 1
7) 0 | z  i | 2
8) 1 | z  1 | 3
26
9) 0  arg z 

10) |   arg z |

.
4
4
8. Записать с помощью неравенств следующие множества точек комплексной
плоскости:
1) Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси;
2) Первый квадрант;
3) Полуплоскость, расположенная выше действительной оси и состоящая из точек,
отстоящих от действительной оси на расстояние не меньшее 2;
4) Полоса, состоящая из точек отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее 1;
5) Полукруг радиуса 1 (без окружности) с центром в точке z=0, расположенный
слева от мнимой оси.
9. Пусть A и C действительные, а B - комплексная постоянные и пусть AC | B |2 .
2
Доказать, что уравнение A z  Bz  B z  C  0 ( A  0) является уравнением окружности, а
также найти ее радиус.
10. Доказать, что уравнение окружности, проходящей через три данные точки
z1 , z 2 , z3 не лежащие на одной прямой, можно записать в виде:
| z |2
z
z
2
z1
z1 1
2
z2
z2 1
| z3 |2
z3
z3 1
| z1 |
| z2 |
1
0
Самостоятельная работа №2
1. Выяснить какие линии на плоскости записаны следующими уравнениями:
1
z 1
( a  0)
0
1) Re z 
2) Re
a
z 1
z 1
za
0
 0, (a  0) .
3) Im
4) Re
z 1
za
2. Найти все решения следующих систем уравнений:
 z  12 5
 z 2  2i  4
 z  8i  3


1) 
2)  z  1  i
1
 z  4 1

z

1

i

 z  8
3. Доказать, что символ e i обладает следующими свойствами показательной
функции:
1) e i 0  1
2) e i1 e i1  e i (1  2 )
e i1
i n
 e in
3) i 2  e i (1  2 )
4) e
e
4. Доказать формулы Эйлера
e i  e i
e i  e i
1) cos  
2) sin  
2i
2
 
n
2
 
5. Доказать формулу Муавра: cos n   (1) k Cn2 k cos n  2 k  sin 2 k 
k 0
6. Пусть   0 (mod 2 ) . Доказать формулы:
27
n 1

n
2
1) sin   sin 2    sin n 
sin

2
sin
2
1

sin  n  
1
2
2)  cos   cos 2    cos n  

2
2 sin
2
Самостоятельная работа №3
1. Найти все значения корней и построить их:
3
1) 1
2) 3 i
3) 4 1
4) 8 1
sin
5) 1  i
6) 3  4i
7)  2  2i 8)  4  3i
2. Найти все решения следующих уравнений:
1) z 2  i
2) z 2  3  4i
3) z 3  1
4) z 6  64
5) z 7  1  0
6) z 8  1  i
7) z  z 3
8) | z |  z  1  2i
3. Найти вершины правильного n-угольника, если его центр находится в точке z 0  0 ,
а одна из вершин z1 известна.
4. Доказать тождество | z1  z 2 |2  z1  z 2 |2  2 (| z1 |2  | z 2 |2 )
1
1
Im z  ( z  z )
5. Доказать, что Re z  ( z  z ),
2i
2
3
5
Самостоятельная работа №4
1. Выяснить, какие кривые определяются следующими параметрическими
уравнениями (указать множество точек плоскости и порядок их прохождения)
1) z  a  (b  a)t , 0  t  1
2) z  Re it , 0  t   , ( R  0)
i
3) z  t  t 2 , o  t  
4) z  t  , 1  t  
t
1
5) z  ae it  e it , 0  t  2
6) z  1  e it , 0  t  2
a
7) z  i cos t , 0  t  2
8) z  1  i cos 2 t , 0  t  2
2. Найти образ множества E при отображении   f (z ) :
1
1)   2 z; E :| z | 1
2)   , E :| z  1 | 1
z

3)   z 2 , E : {| z | R, 0  arg z  }
4)   z 4 , E : {| z | 1, Im z  0}
2
3. Описать геометрически, что представляет собой образ кривой C , заданной
параметрическим уравнением z  z (t ) при отображении   f (z ) :
1)   z 2 ,
2).   z 2 ,
C : {z  e it , 0  t  2 }
C : {z  e it , 0  t   }
1
1
C : {z  e it , 0  t  2 }
3)    z  ,
4)
2
z
1
1
   z  ,
C : {z  t , 0  t  }
2
z
4. Выяснить, будут ли взаимно однозначными следующие отображения:
28
1)   z 2 , E : Re z  0
2)   z 2 , E :| z | 1
3)  
1
, E :| z | 1
z 1
1
1

1
1
4)    z  , E :| z | 2
5)    z  , E : {| z | 1, 0  arg z  }
2
z
4
z
2
5. Записать в форме   u  iv , т.е. найти действительную и мнимую часть
следующих функций:
1
1)   z
2)   az  b
3)   z 2
4)  
z
1
1
1
5)    z  
6)   z  z 2
7)   e z
8)   e z
2
z
6. Для отображения   z 2 требуется:
1) найти образы линий x  C , y  C , x  y , | z | R , arg z   и выяснить, какие из
них преобразуются взаимно однозначно;
2) найти прообразы (на z-плоскости) линий u  C , v  C ,   u  iv .
1
1
7. Для отображений   z  и   z  найти образы окружностей | z | R .
z
z
Самостоятельная работа №5
1
1. Для отображения   найти:
z
1) образы линий x  C , y  C , x  y , | z | R , arg z   , | z  1 | 1
2) прообразы u  C , v  C ,   u  iv .
2. Найти все точки, в которых дифференцируемы функции:
1) Re z
2) x 2 y 2
3) | z |2 4) x 2  iy 2 5) 2 xy  i( x 2  y 2 )
n
3. Доказать, что при любом целом значении n функция z дифференцируема во всей
плоскости или во всей плоскости с выколотой точкой z  0 и что ( z n )'  nz n 1
4. Доказать, что многочлен от z является функцией, дифференцируемой во всей
плоскости, а рациональная функция – во всей плоскости, за исключением точек, где
знаменатель обращается в нуль.
5. Пусть функция f (z ) дифференцируема в точке z0  x0  iy 0 . Положим
u ( x, y )  Re f ( x  iy ) , v( x, y )  Im f ( x  iy ) . Доказать справедливость формул:
1) f ' ( z 0 )  u x' ( x0 , y0 )  iv x' ( x0 , y0 )
2) f ' ( z0 )  v 'y ( x0 , y0 )  iu 'y ( x0 , y0 )
3) f ' ( z0 )  ux' ( x0 , y0 )  iu 'y ( x0 , y0 )
4) f ' ( z0 )  v 'y ( x0 , y0 )  iv x' ( x0 , y0 )
5) | f ' ( z0 ) |2  u x'2  u 'y2  u x'2  vx'2  ...
Самостоятельная работа №6
1. Доказать, что в полярных координатах условия Коши-Римана имеют вид:
u 1 v
v
1 u

,

r r 
r
r 
z
1. Определим функцию e при любом комплексном значении z равенством:

zn
. Доказать, что при любом комплексном значении постоянной а
n 0 n!
ez  
справедливо равенство (e az )'  ae az .
3. Найти, где дифференцируемы следующие функции, и написать формулы для их
производных:
29
4) ze  z
1) e chz
2) sin( 2e z )
3) sin z ch z  i cos z sh z
z cos z
z
5) z
6)
1  z2
e
Самостоятельная работа №7
1. Вычислить интеграл  | z | dz по следующим путям:
1) по радиус-вектору точки z  2  i ;
2) по полуокружности | z | 1, 0  arg z   (начало пути в точке z=1);


3) по полуокружности | z | 1,   arg z  (начало пути в точке z  i );
2
2
4) по полуокружности | z | R .
 | z | z dz , где C – замкнутый контур, состоящий их верхней
2. Вычислить интеграл
полуокружности | z | 1 и отрезка  1  x  1, y  0 .
z
3. Вычислить и интеграл  dz где С – граница полукольца в верхней полуплоскости.
z
C
4. Вычислить интеграл  ( z  a ) n dz (n-целое число):
1) По окружности | z  a | R, 0  arg z   (начало пути в точке z  a  R );
2) По окружности | z  a | R ;
3) по периметру квадрата с центром в точке а и сторонами, параллельными осям
координат.
5. Вычислить интеграл  z Im z 2 dz
| z | 2
6. Вычислить интеграл
 ze
z2
dz
| z | 1
7. Вычислить интеграл  e z dz, C : y  x 3 , 1  x  2 .
C
1
3
t  .
2
2
8. Вычислить интеграл  sin zdz , C : z  t 2  it ,
C
Самостоятельная работа №8
1. Показать что следующие ряды сходятся и найти их суммы:



2
1
1
1) 
2)  2
3) 
n  2 4n  9
n 1 n( n  1)( n  2)
n 1 (2n  1)( 2n  1)

cos 2n
2n  1
4) 
5) 
2
3n
n 1
n 1 n(n  1)
2. Определить радиусы сходимости рядов:



zn
zn
1) 
2) 
3)  n n z n
4)
n 1
n 1 n
n 0 n!
(1  i)n
6) 
2n
n 1


6)
 z n!
n 0

7)
 2 n z n!

8)
n 0
 z 2n
n 0


n n
z

n
n 1 2

5)
n!
n
n 1
n
zn

9)
 [3  (1) n ]n z n
n 0

10)
 cos in  z
n!
n 0
Самостоятельная работа №9
1
1. Разложить в ряд Лорана функцию f ( z)  z 2 z z , z  0, 
1
1 z
2. Разложить в ряд Лорана функцию f ( z )  e
, z  1, 
30
3) индивидуальные задания
Индивидуальное задание №1.
1. Найти мнимую и действительную части комплексного числа:
1)
1 i 
2) 

1 i 
1
1 i
1 i 
5) 

1 i 
3
4) (1  i) n  (1  i) n
3) i n
n
8) sin i
6) (2  3i) 2
7) cos i
9) e i
10) i i (исп. z a  e a ln z )
11) sin( 1  i ) 12) cos(1  i )
13) tg i
14) ( x  iy ) 2
15) sin i cos i 16) 
1
3
i
2
2
i
1
4
18)
19) 2(i 1) (исп. z a  e a ln z ) 20)
1  3i
1 i
1 i 3
1
21)
22) (cos   i sin  ) 2 23) (tg   i ctg  ) 2 24) sin( 1  i )
25) cos 2 (1  i)
2
(3  4i )
17)
Индивидуальное задание №2
2. Найти модули и аргументы комплексных чисел и записать в показательной форме:
2.1 3  4i
2.2 3  4i
2.3  3 4i
2.4  3 4i
2.5 3i
2.6  2
2.7 1  i
2.8  2  5i
1
1 i 
2.9 1  i
2.10
2.11 
2.12 (1  i) 2

1 i
1 i 
2
1
1
2.13
2.14
2.15
2.16  1
(1  i)
(1  i )
1  3i
2
2


2.17  cos  i sin 2.18 (4  3i)3
2.19 (1  i )8 (1  i 3 ) 6
2.20 1  i123
7
7
2.21 sin 2i
2.22 cos 2i
2.23 (5  6i )3
2.24 1  i
Индивидуальное задание №3
3. Найти все решения уравнений :
3.1 z 2  i
3.2 z 7  1  0
3.5 z 3  1
3.6 z 2  i  0
3.9 z  z n1 (n  2) 3.10 iz 3  1
3.3 z 2  3  4i
3.7 z 6  64
3.11 ( z  3) 3  i
3.13 z 2  i  1
3.14 z 4  2  3i
3.15 z  81
3.17 z 4  5  5i
3.18 z 3  i
3.19 z 2  1  i
3.4 z 8  1  i
3.8 z 4  1
3.12 z 4  4i  3
4
3.16 z  e
1 i 
3.20 z 3  

1 i 
2
i
Индивидуальное задание №4.
4. Проверить, является ли функция дифференцируемой и найти производную :
4.1 f ( z )  e3 z
4.2 f ( z )  sh z
4.3 f ( z )  ch z
4.4 f ( z )  z 2
4.5 f ( z)  z
4.9
n
f ( z )  tg z
4.13 f ( z )  (e z  e  z ) 2
4.6 f ( z )  cos z
4.7 f ( z )  sin z
4.8 f ( z )  ln z 2
4.10 f ( z )  ctg z
4.11 f ( z )  eiz
4.12 f ( z )  z
4.14 f ( z )  arg z
4.15 f ( z )  z n
4.16 f ( z )  i z
31
z
sin z
4.18 f ( z ) 
4.19 f ( z )  cos z 2
4.20 f ( z )  eiz
1 z
z
1
1
1
4.21 f ( z ) 
4.22 f ( z )   z   4.23 f ( z )  zz
4.24 f ( z )  eiz
z
2
z
Индивидуальное задание №5
Разложить в ряд Тэйлора функции в окрестности z=0:
1
2z  5
1
f ( z)  2
f ( z)  2
f ( z) 
2
z  5z  6
(1  z )(1  z 2 )(1  z 4 )
( z  1)( z  4)
1
1
f ( z )  sin 4 z  cos 4 z f ( z )  e z sin z f ( z ) 
f ( z )  z cos 2 z
f ( z )  (1  z ) 6
6
6 3
1 z
(1  z )
1
z
f ( z) 
1 z
1
z 1
1  z 2 f ( z)  e
f ( z)  2
f ( z)  2
f ( z )  z sin 2 z f ( z ) 
z  11z  10
z  z 6
1 z
1 z
4.17 f ( z ) 
Индивидуальное задание №6.
Разложить в ряд Лорана функции в окрестности указанных точек:
1
1
f ( z) 
, z  0, z   f ( z ) 
, z0
z2
( z  a) k
1
1
1
f ( z) 
, z  0,1 f ( z ) 
, z   f ( z) 
, (0 | a || b |),
z ( z  1)
z ( z  1)
( z  a)( z  b)
z  0, a
1
z 2  2z  5
z 2  2z  5
, z i
f ( z) 
, z  2 f ( z) 
, 1 | z | 2 f ( z )  2
2
2
( z  1) 2
( z  2)( z  1)
( z  2)( z  1)
1
f ( z)  2
,
( z  1) 2
1
z
z   f ( z)  z e , z  0,  8.10 f ( z )  e
2
1
1 z
, z 1
4) Конспектирование тем:
а) Повторение основных определений из теории функций действительного
переменного и, дать геометрическую интерпретацию функции комплексного переменного
б) Повторить свойств элементарных функций из теории функций действительного
переменного. Разобрать элементарные функции комплексного переменного, построить
графики, где возможно.
в) Повторение определений и теорем из теории пределов функции одного
переменного, геометрической интерпретации. Провести сравнительный анализ для функции
действительного переменного и комплексного переменного. Дать геометрическую
интерпретацию предела
г) Рассмотреть определение производной и геометрическую интерпретацию
Доказательство достаточных условий дифференцируемости функции комплексного
переменного. Повторение теорем, таблицы производных. Подготовка к самостоятельной
работе и коллоквиуму
д) Дать определение интеграла функции комплексного переменного, рассмотреть все
основные свойства Повторение методов интегрирования и таблицы интегрирования.
Подготовка к коллоквиуму.
е) Рассмотреть разные способы вычисления интеграла функции комплексного
переменного
ж) Применить терему Коши для вычисления определенных интегралов функции
комплексного переменного Вывод интегральной формулы Коши и доказательство
некоторых следствий их теорем Коши.
32
з) Повторение основных понятий теории числовых рядов. Разложение некоторых
элементарных функций в ряд Тейлора. Индивидуальное задание
и) Рассмотреть связь двух рядов: Тейлора и Лорана
к) Знать классификацию изолированных особых точек, уметь их находить. Связь
между рядами Тейлора и Лорана. Произвести классификацию изолированных особых точек.
л) Повторение методов интегрирования. Отыскание вычета для бесконечно
удаленной точки. Уметь применять вычеты для вычисления определенных интегралов.
Рассмотреть применение вычетов для вычисления определенных интегралов. Подготовиться
к контрольной работе
Контрольная работа
Тема: «Тригонометрические ряды. Интеграл Лебега»

 1
sin x, x  0; 2   CD



1
1

 
1. Вычислить ( L)  f ( x)dx , если f ( x)  cos x, x   ;1  CD
2 
0

2
x
,
x
D



где D- канторово множество, а CD – его дополнение до всего отрезка 0;1 .
1. Разложить в ряд по синусам функцию y 

4

x
в интервале 0;  .
2
2. Разложить функцию y  e x в интервале  2;2 .
4.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы
33
Виды самостоятельной работы студентов, количество рейтинговых баллов за её
выполнение, объём времени, отведённый на самостоятельную работу по дисциплине в
целом и по каждому заданию в отдельности, приводятся в рабочей программе учебной
дисциплины
Тематика КСР в семестре представлена разнообразна, включает контрольные работы
по определённым темам, теоретический опрос, ответы на вопросы студентов по теме
занятия, индивидуальные консультации по расписанию, проведение самостоятельных (в т.ч.
в виде тестов), отчёты по пропущенным занятиям, контроль за ведением тетрадей
(лекционных, для практических работ, для домашних работ).
Студентам к зачету заранее предоставляется список вопросов. Если студент
систематический готовился к занятиям, выполнял самостоятельную работу, писал все
контрольные работы, в том числе и касающиеся вопросов теории, успешно сдал коллоквиум
по определенной части теории, то такому студенту зачет будет поставлен автоматом.
Для успешного освоения курса студенту следует: не пропускать занятия без
уважительной причины; внимательно слушать лекции, подробно и понятно их записывать;
систематически изучать и тщательно прорабатывать теоретический материал; постоянно
готовиться к практическим занятиям, выписывая по мере необходимости основные
формулы, необходимые факты, теоремы; на практических занятиях стараться
самостоятельно разобраться в способах решения примеров и задач, активно участвовать в
работе группы; своевременно выполнять домашнее задание или вариант индивидуальной
контрольной работы; вовремя отчитаться по любой форме контроля, не откладывая на
конец.
Часть теоретического материала отнесено на самостоятельную работу, которую
студент выполняет, изучая и конспектируя указанные источники: разбор геометрического
изображения комплексных чисел; интегрирование и дифференцирование функций
комплексного переменного; разложение в ряд Тейлора и Лорана.
При изучении некоторых тем, студенту необходимо консультироваться у преподавателя; с
этой целью еженедельно проводятся индивидуальные консультации.
При изучении раздела «Теория функций комплексного переменного» студенту необходимо
обратить внимание на следующие моменты:
1. При выполнении действий над комплексными числами студенту необходимо знать
правила вычисления модуля и аргумента, знать все тригонометрические значения углов,
поэтому прежде чем приступить к решению задач, нужно повторить все основные
школьные формулы.
2. При нахождении производных функций комплексного переменного, необходимо
знать производную и первообразную функции действительного переменного, поэтому при
подготовке к решению указанных задач необходимо, прежде всего, повторить элементы
математического анализа.
3. При разложении в ряд Лорана и Тейлора необходимо знать все свойства рядов.
34
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
4.1. Технологическая карта
Наименование образовательной программы, профиль: дисциплина «Теория функций»
Год обучения, группа: 2013-14 уч. год, 4 курс
Семестр: 7
Статус дисциплины:
Количество часов на дисциплину: 72
Количество аудиторных часов на дисциплину: 7 семестр – 36
ФИО преподавателей: Т.И. Кушнир
Утверждено на заседании кафедры математики, ТиМОМ от 11 сентября 2013 г., протокол № 1
№ Дисциплина
№
1 Терия
функций
1
2
3
4.
5
6
7
7
8
9
10
11
12
13
14
Контрольное мероприятие
Вводное тестирование
Конспектирование
Домашняя работа № 1 «Функции
действительного переменного»
Решение задач
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Конспектирование
Домашняя работа № 2
«Метрические пространства»
Решение задач
Домашняя работа № 3 «Интеграл
Лебега»
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Конспектирование
Опрос по теме «Множества»
Тестирование по теме
«Метрические пространства»
Решение задач
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Итоговый контроль
Всего: минимум – 0, максимум –100
Ауд.или
Внеауд.
Баллы
Неделя
Ауд.
Ауд.
Внеауд.
0-4
0-6
0-3
1
1-6
4
Ауд.
Ауд.
0-6
0-2
0-4
1-6
1-6
Ауд.
Внеауд.
0-25
0-6
0-3
7-12
10
Ауд.
Внеауд.
0-6
0-4
7-12
12
Ауд.
0-2
0-4
7-12
Ауд.
Ауд.
Ауд.
Внеауд.
Ауд.
0-25
0-6
0-4
0-8
0-6
0-2
0-4
13-18
17
18
13-18
7-12
0-30
0-20
35
4.2. Задания для текущего контроля
Контрольная работа по разделу 1
4.2.1. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине
(можно выбирать задания из раздела «Тестовые задания для контроля знаний по
дисциплине»)
Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине
1.1 Комплексные числа
1) Комплексным числом называется
а) пара действительных чисел
б) пара действительных чисел, для которых заданы операции сложения и умножения
в) пара действительных чисел, для которых определено понятие равенства и заданы
операции сложения и умножения
2) Для комплексного числа существует
а) одна форма записи
б) две формы записи
в) три формы записи
3) Алгебраическая форма записи комплексного числа основана, прежде всего, на
использовании
а) формулы Эйлера
б) формулы Коши
в) правила умножения и сложения
г) свойствах мнимой единицы
4) Число e i в алгебраической форме записывается как
а) 1
б) i
в)  1
г)  i
5) Как связаны тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
i
а)  cos   i sin   e
i
б)  cos   i sin   e
i
в) z  e
i
 i
г) xe  iye  z
6) Что называется суммой двух комплексных чисел:
а) z1  z 2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
б) z1  z 2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
в) z1  z 2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
г) z1  z 2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
7) Дать определение произведения двух комплексных чисел, записанных в
показательной форме, z1  1ei1 , z2  2ei 2
i (1  2 )
i1 2
а) z1 z 2  1  2 e
б) z1 z 2  1  2 e
в) z1 z 2  1  2 e i1 i 2
г) z1 z 2  e i ( 11   2 2 )
8) Выбрать правильное выражение для произведения двух комплексных чисел,
записанных в тригонометрической форме
36
а) z1 z 2  1  2 cos 1 cos  2  i1  2 sin 1 sin  2
б) z1 z 2  1  2 cos(1   2 )  i1  2 sin( 1   2 )
в) z1 z 2  1  2 cos 1 sin  2  i1  2 sin 1 cos  2
г) z1 z 2  1  2 sin 1 sin  2  i1  2 cos 1 cos  2
9) Комплексное число z  x  iy изображается на плоскости
а) точкой с координатами ( x, y )
б) двумя точками с координатами (x,0) и (0, y )
в) точкой с координатами ( x  y )
10) Установить соответствие между числами z1  2  3i , z2  1  2i , z3  2i ,
z4 1  i и их модулями:
а) z1
г)
2
б) z2
в)
4
в) z3
б)
5
г) z4
а) 13
11) Модулем комплексного числа называется величина, которая вычисляется как
а) | z || x  y |
б) | z || x | i | y |
в) | z | x 2  y 2
г) | z || x |  | y |
12) Расставить комплексные числа в порядке возрастания их аргументов
а) 1 2i
г)
б) 1 3i
в)  2  i
в)
г) 1  i
б)
а)
13) Действительная часть комплексного числа z вычисляется по формуле:
zz
zz
а) Re z 
б) Re z 
2
2i
z
в) Re z  zz
г) Re z 
z
14) Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле:
x
y
а) arg z  arctg  2n
б) arg z  arctg  n
x
y
y
y
в) arg z  arctg  2n
г) arg z  arc sin
 n
x
|z|
1.2 Извлечение корней, решение уравнений
1) Значение 4 16 изображается на плоскости
а) точками (2,0), (-2,0), (0,2), (0,-2)
в) двумя точками (2,0), (-2,0)
2) Число корней уравнения z 4  1 равно
а) 1 б) 2 в) 3 г) 4
б) точкой (2,0)
г) двумя точками (0,2), (0,-2)
37
3) Корень степени n из комплексного числа z  x  iy вычисляется по формуле:
а)
в)
n
n
z  x i y
z x y e
n
2
2
б)
y 2k
i
arctg 
n
x n
, n  0,1,...(n  1)
n
z  x y e
2
n
г)
n
2
i arctg
y
x
z  x y e
n
2
2
1
y 2
i arctg 
n
x n
4) Значения 3 i представляются точками
 3 1 
3 1
, ,  
, , 0,1
а) 
 2 2  2 2

3 1  3 1
, , 
, , 0,1
б)  
2  2
2
 2
в) 0,1, 0,1, 1,1
 2 2 
2 2
,  

,
г) 
  2 , 2 , 0,1
2
2

 

2
5) Решение уравнения z  3  4i имеет вид
а) z1, 2  2
б) z1, 2  2  i
в) z1, 2   3
г) z1, 2  2i
6) Значения 4 1 лежат на
а) окружности | z  1 | 1
б) эллипсе с полуосями, равными 1 и 
в) параболе
г) в вершинах квадрата с стороной 1
1.5 Производная, условия Коши-Римана.
1) Функция f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) является дифференцируемой в точке z0  x0  iy 0 ,
если
u( x0 , y0 ) v( x0 , y0 )
u ( x0 , y0 )
v( x0 , y0 )
или


x
y
y
x
u( x0 , y0 ) v( x0 , y0 )
б)

x
x
u( x0 , y0 ) v( x0 , y0 )
u ( x0 , y0 )
v( x0 , y0 )
в)
и


x
y
y
x
u ( x0 , y0 )
v( x0 , y0 )
г)
i
x
y
а)
2) Если функции f1 ( z) и f 2 ( z ) являются аналитическими на всей комплексной
плоскости, то это не выполняется для функции
а) f1 ( z)  f 2 ( z)
б) f1 ( z)  f 2 ( z)
в)
f1 ( z )
f 2 ( z)
г) f1 ( z) f 2 ( z)
38
3) Из приведенных функций аналитической на всей комплексной плоскости является
функция
а) f ( z )  z  z
б) f ( z )  e z
в) f ( z )  xy
г) f ( z ) | z |
4) Производная функции f ( z )  z 2 равна
а) | z |
б) 2 z
в) z
г) 2 x  iy
5) Условия Коши-Римана в полярных координатах записываются в форме:
u 1 v
v
1 u
u v
u
v
а)
б)

,


,

  

 
 


u 1 u
v
1 v
u v
u
v
в)
г)

,


,

  

 
 


6) Производная аналитической функции f (z ) вычисляется по формуле:
u
v
u
u
i
i
а) f ' ( z ) 
б) f ' ( z ) 
x
x
x
y
v
v
u
u
i
i
в) f ' ( z ) 
г) f ' ( z ) 
y
x
x
y
1.6. Ряды комплексных чисел. Ряд Тейлора.
1) Степенным рядом называется ряд вида:
а)

c
n 0
n
z n
б)

c
n 0
n
( z  a) n
в)

c
n  
n
( z  a) n
г)
0
c z
n  
n
n
2) Коэффициенты ряда Тейлора для функции f (z ) в окрестности точки z  a
вычисляются по формуле:
f (a)
f ( n ) (0)
а) cn 
б) cn 
n!
n!
1 f ( z)
1
f ( z)
в) cn 
г) cn 
dz
dz
2i C z  a
2i C ( z  a) n 1
3) Радиус сходимости степенного ряда

c z
n 0
n
n
определяется по формуле:
а) R  li m | cn |
б) R  li m | | cn | |
в) R  li m n | cn |
г) R  li m | cn |n
n 
n 
n 
4) Ряд

n e

in
n 
сходится, если
n 1
а)   0
б)   0
в)   0
5) Радиус сходимости степенного ряда
а) 0
б) 1
в) e
г) 

zn
равен

n 0 n!
г) 
39
118) Исследование сходимости числовых рядов основано на
1.7 Разложения для простейших функций.
1) Для следующих элементарных функций справедливы разложения

z
(1)n z 2 n 1
а) e
б) 
n  0 ( 2n  1)!
б) sin z
г)
z 2 n 1

n  0 ( 2n  1)!
в) cos z
в)
(1)2 n z 2 n

(2n)!
n 0
г) sh z
а)



zn

n 0 n!
д) ch z
д)

z 2n

n 0 ( 2n)!
1
в круге | z | 1 имеет вид:
1 z




1
zn
а)  (1) n z n б)  z n
в)  n
г) 
n 0
n 0
n 0 z
n 0 n!
1
3) Разложение для функции f ( z ) 
в круге | z | 1 имеет вид:
1 z




1
(1) n
а)  z n
б)  (1) n z n
в)  n
г)  n
n 0
n 0
n 0 z
n 0 z
2) Разложение функции f ( z ) 
1.8 Ряд Лорана, главная, правильная части. Область сходимости.
1) Разложение в ряд Лорана для функции f (z ) в окрестности точки z   имеет
общий вид:



cn
n
n
c n ( z  )
cn z



n
а) n  
б) n  
в) n 0 z
г) не определено
2) Рядом Лорана называется ряд вида:

а)
c
n 0
n

( z  a) n
б)
c
n 0
n
( z  a) n

c
в) n  
n

( z  a) n
г)
c
n  
n
( z  a) n
3) Область сходимости ряда Лорана представляет собой
а) круг | z  a | R
б) полосу на комплексной плоскости, симметричную относительно точки z  a
в) кольцо R1 | z  a | R2
г) всю комплексную плоскость
4) Если ряд Лорана сходится, то радиусы сходимости главной ( R1 ) и правильной ( R2 )
части находятся в отношении
а) R2  R1
б) R2  R1
в) R2  R1
г) R2 R1  0
Контрольные работы
40
1. Даны комплексные числа z1  7 ;
z2  2  i . Найти модули и аргументы этих
чисел.
2. Найти и изобразить на комплексной плоскости все значения корня 4  16 .
3. Указать множество точек в комплексной плоскости, удовлетворяющих условию
1
 3.
z
5. Вычислить значения функций: Ln(4  3i ) ; 3 i ; sin 5i .
6. Исследовать на дифференцируемость функцию w  z 2  2 z . Какова ее
производная?
z 1
dz , где с – окружность z  2 .
7. Вычислить интеграл 
(
z

1
)
sin
z
C
z
8. Найти вычеты функции f ( z ) 
относительно ее изолированных
z  2z  i 
особых точек.
Re
При подготовке к контрольной работе обратить внимание на следующие темы:
Тема: Комплексное число, его модуль и аргумент. Разные формы записи
комплексного числа. Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация
комплексного числа, равенств и неравенств, содержащих комплексные числа.
Тема: Понятие функции комплексного переменного. Предел, непрерывность,
производная функции комплексного переменного.
Тема: Аналитическая функция. Понятие конформного отображения. Элементарные
функции комплексного переменного и отображения, задаваемые ими.
Тема: Интеграл функции комплексного переменного. Интегральная теорема и
формула Коши. Интегральное определение логарифма.
Тема: Изолированные особые точки, их классификация. Вычеты, основная теорема о
вычетах. Использование вычетов для вычисления интегралов
Вопросы к экзамену
1. Комплексные числа и действия над ними. Комплексное сопряжение.
Алгебраическая форма записи комплексного числа
2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная
форма.
3. Свойства операций с комплексными числами. Деление. Геометрическая
интерпретация комплексного числа Извлечение корней из комплексных чисел (примеры).
4. Определение функции комплексного переменного. Геометрическая интерпретация
функции комплексного переменного.
5. Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства.
6. Основные трансцендентные функции. Формула Эйлера
7. Решение трансцендентных уравнений.
8. Определение предела функции комплексного переменного в точке и его
геометрическая интерпретация.
9. Определение непрерывности в точке функции комплексного переменного.
Основные свойства непрерывной функции
10. Определение дифференцируемой в точке функции комплексного переменного.
Определение производной
11. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции
комплексного переменного.
12. Понятие аналитической функции.
13. Линейная функция. Дробно-линейная функция. Степенная функция.
41
14. Экспонента. Логарифмическая функция.
15. Тригонометрические функции комплексного переменного.
16. Определение интеграла функции комплексного переменного. Разные способы
вычисления интеграла функции комплексного переменного.
17. Интегральная теорема Коши для регулярной функции в односвязной области.
18. Интегральная формула Коши
19. Степенные ряды функций комплексного переменного. Степенной ряд и его круг
сходимости
20. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
21. Понятие ряда Лорана и его кольцо сходимости. Разложение в ряд Лорана
функции, регулярной в кольце. Единственность разложения в ряд Лорана
22. Теоремы Вейерштрасса. Регулярность суммы степенного ряда.
23. Теорема единственности регулярной функции.
24. Понятие первообразной. Достаточное условие существования первообразной у
непрерывной функции.
25. Изолированные особые точки аналитической функции.
26. Вычет и его вычисление. Основная теорема о вычетах. Вычисление
несобственных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана
27. Понятие целой функции. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана.
Теорема Лиувиля. Теорема о разложении рациональной дроби в сумму простейших
28. Использование вычетов для вычисления интегралов функций действительного и
комплексного переменных
29.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие
конформного отображения в области на комплексной плоскости. Критерий конформности в
точке.
42