МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Томский государственный университет физический факультет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет
физический факультет
УТВЕРЖДАЮ:
Декан физического факультета
_________________ О. Н. Чайковская
"_____"__________________2012г.
Рабочая программа дисциплины
Теория функций комплексного переменного
Направление подготовки
011200 физика
Профиль подготовки
фундаментальная физика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
г. Томск − 2012 г.
1. Цели освоения дисциплины
Для понимания различных разделов физики необходимо знание математических методов, используемых в этих разделах. Сами математические методы, применяемые для
формулировки и решения физических проблем, относятся к разнородным отделам математики и зачастую напрямую не связаны с конкретным содержанием физических теорий.
В связи с этим изучение математического аппарата, используемого в физике, должно быть
предметом ряда отдельных базовых курсов, читаемых всем студентам физического факультета и предшествующих базовым общим курсам теоретической физики. Теория
функций комплексного переменного является одним из курсов базовой математической
подготовки физика.
Формирование знаний о математике, как особом способе познания мира и образе
мышления, общности её понятий и представлений, дать опыт построения математических
моделей реальных физических и технологических процессов и проводить необходимые
расчёты в рамках построенных моделей; употребления математической символики для
выражения количественных и качественных отношений объектов. Основной целью этого
курса является обучить студентов работе с комплексными числами и функциями комплексного переменного. Полученные теоретические знания применяются затем для решения конкретных задач на практических занятиях, что позволяет выработать навыки применения абстрактных математических схем для анализа конкретных проблем физики.
Теория функций комплексной переменной (теория аналитических функций) в рамках университетского курса является в основном продолжением курса математического
анализа. Основы теории функций комплексной переменной (ТФКП) были заложены в середине XVIII века Л. Эйлером, а как самостоятельная ветвь математики дисциплина
оформилась около середины XIX века благодаря работам О. Коши, К. Вейерштрасса, Ю.
В. Сохоцкого и Б. Римана. Сейчас ТФКП является одним из важнейших разделов математики. Ее идеи и результаты проникли во многие другие математические дисциплины, такие как алгебраическая топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, математическая физика, функциональный анализ, теория вероятностей, вычислительная математика и др. Методы ТФКП стали привычными и в ряде прикладных дисциплин (гидро- и
аэромеханика, теория упругости, теория элементарных частиц). В связи с этим курс
ТФКП является обязательным на физическом факультете.
Задачами курса являются:
Обеспечить усвоение студентами данной дисциплины; создать базу для изучения завершающих разделов курса и специальных дисциплин; использовать эти знания как ступени формирования способностей будущих специалистов-физиков к ведению исследовательской работы и решению практических задач. Эти задачи достигаются
 овладением основными методами теории функций комплексного переменного;
 формированием основных представлений о комплексных числах и действиях с ними;
 изучением основных свойств функций комплексного переменного;
 исследованием связи между функциями вещественной и комплексной переменной.
Изучение курса ТФКП должно также сформировать навыки владения комплексным
анализом и умение решать задачи с участием функций комплексного переменного.
Для изучения раздела курса ТФКП необходимо знание дифференциального и интегрального исчисления, умение вычислять производные и интегралы от обычных функций,
включая криволинейные интегралы, обладать умениями в области математического анализа.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина относится к циклу общих теоретических и естественнонаучных дисциплин и
циклу общепрофессиональных дисциплин (ЕН и ОПД ). К моменту изучения курса
«ТФКП» студенты изучили курс математического анализа. В качестве входных знаний
2
студенты должны владеть основными понятиями и методами математического анализа.
Освоение этой дисциплины необходимо для дальнейшего освоения современных разделов
теоретической физики и ее приложений.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Теория функций комплексного переменного
В результате освоения дисциплины обучающийся должен владеть компетенциями:
а) общекультурными (ОК):
В результате изучения дисциплины студенты должны

Иметь представление о комплексных числах; (ОК-1)

Уметь оперировать с комплексными числами во всех формах (ОК-4);

Уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную
речь (ОК-6);

Владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК–1);

владеть основными методами, способами и средствами получения, хранения,
переработки информации, иметь навыки работы с компьютером как средством
управления информацией (ОК-8);
общепрофессиональными (ОПК):
• осознавать социальную значимость своей будущей профессии, обладать мотивацией
к выполнению профессиональной деятельности (ОПК- 1);
• обладать способностью к подготовке и редактированию текстов профессионального
и социально значимого содержания (ОПК-6);
Б) Профессиональные компетенции (ПК):

Иметь представление об основных методах теории функций комплексного
переменного, применяемых в научно-исследовательской работе и практической
деятельности (ПК-7);

Знать основные понятия и теоремы в области теории функций комплексного
переменного (ПК-7);

Уметь дифференцировать, интегрировать и находить разложения в ряды Тейлора и Лорана функций комплексного переменного; исследовать аналитические свойства функций, находить нули и особые точки функций применять
теорию вычетов для вычисления контурных, определенных и несобственных
интегралов; строить конформные отображения односвязных областей (ПК-6);

Владеть основными методами теории функций комплексного переменного,
понимать ее роль в объяснении физических явлений (ПК-2).
4. Структура и содержание дисциплины
Четвертый семестр. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 2 зачётные единицы,
80 часов.
3
Формы текущего
контроля (по неделям
семестра) Форма
промежуточной аттестации (по семестрам
Индивид.
самост. раб.
Сам. работа
с препод.
Семинары
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и трудоемкость (в часах)
Лекции
Раздел
дисциплины
Неделя семестра
№
п/п
Модуль1
1.
Комплексные числа и действия над ними; Комплексная плоскость
1
2
2.
Множества на комплексной
плоскости; Функции комплексного переменного
2
2
3.
Дифференцируемость. Условия Коши – Римана
3
2
2
4.
Интеграл от функции комплексного переменного.
Теорема Коши
4
2
2
5.
Формула Коши. Интеграл
Коши. Интеграл типа Коши
5
2
2
6.
Высшие производные. Равномерная сходимость
6
2
2
7.
Принцип максимума модуля.
Ряд Тейлора аналитической
функции. Степенные ряды
7
2
2
8.
Ряды Лорана. Особые точки. Аналитическое продолжение.
8
2
2
9.
Вычеты. Бесконечно удаленная точка
9
2
2
10.
Вычисление интегралов при
помощи вычетов.
10
2
2
11.
Основная теорема алгебры.
Понятие конформного отображения
11
2
2
12.
Основная теорема теории
конформных отображений.
Дробно-линейное отображение
12
2
2
13
Преобразование Лапласа и
его основные свойства
13
2
2
14.
Примеры применения преобразования Лапласа
14
2
2
15
Асимптотические разложения
15
2
2
2
Устный
опрос.
2
Решение задач. Консультация.
2
Устный
опрос
2
Коллоквиум
2
Анализ тематики рефератов
2
Доклады
студентов
2
Решение задач. Консультация.
4
16
Примеры нахождения асимптотик
16
2
2
17
Гармонические функции
двух переменных
17
2
2
2
34
30
16
Всего часов
Доклады
студентов
Темы практических занятий
Поле комплексных чисел. Предел последовательности.
Ряды комплексных чисел.
Условия дифференцируемости.
Конформные отображения.
Степенные ряды.
Круговое свойство дробно–линейных функций. Элементарные функции и их свойства.
7. Контрольная работа 1.
8. Вычисление интегралов функций комплексного переменного.
9. Ряд Тейлора.
10. Ряд Лорана.
11. Вычисление вычетов.
12. Контрольная работа 2.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5. Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки «Физика»
реализуется компетентностный подход, который предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения лекций в сочетании
с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков
обучающихся.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной
целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием
конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе составляют не менее 20% аудиторных занятий. Занятия лекционного типа для соответствующих групп студентов составляют не более 50% аудиторных занятий.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Типовые контрольные работы.
Контрольная работа №1.
1.Записать в показательной и тригонометрической формах следующие комплексные
числа : 1 – 3 i ; 2 + 2 i ; - 10 ; 7 i .
2.Выделить действительную и мнимую части функций :
2
а) w = 2 z + Re z ; б ) w = sin z.
3.Исследовать на аналитичность функцию :
а) w = z
2
+ 2 z.
5
4. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке z = 1 + i при отоб3
ражении w = z .
5. Найдите множество точек , удовлетворяющих неравенству
а)
z1
z1
= 1 ; б) arg z =

.
4
Контрольная работа № 2.
1. Найти аналитическую функцию f ( z ), если ее мнимая часть равна 2xy + 3x .
2.Определить тип изолированной особой точки z = 0 для функции
а) w = z sin
2
, б) w = ( e z  1 ) / z 3 .
3
z
3.Найти вычеты функции в ее изолированных особых точках:
1
2
а) f ( z )  z sin 1 ; б) f ( z )  z 3 e z .
z
4.Вычислить интеграл
dz
 4 .
z 1 1 z  1
По программе проведение контрольных работ не предусмотрено, но возможно их задание на дом с целью контроля знаний студентов.
4.2. Вопросы для самостоятельного углубленного изучения.
1. Понятие римановой поверхности.
2. Функция Жуковского.
3. Общие свойства конформных отображений.
4. Теорема Коши.
5. Полная аналитическая функция.
6. Ряды Лорана.
7. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
8. Логарифмический вычет и принцип аргумента.
ВОПРОСЫ ВЫНОСИМЫЕ НА КОЛЛОКВИУМ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
1. Дать определение комплексных чисел и операций с ними
2.
Что такое модуль и аргумент комплексного числа
3.
Как извлечь корень из комплексного числа
4.
Дать определение области и окрестности точки на комплексной плоскости
5.
Чем различаются замкнутые множества от открытых
6.
Дать определение граничной точки области
7.
Какие области называются ограниченными, связными
8.
Что такое порядок связности области
9.
Дать определение функции комплексного переменного
10.
Какие функции называются однолистными
11.
Что такое точка ветвления многозначной функции
12.
Дать определение степенной функции
13.
Дать определение предела функции комплексно переменного
14.
Какие функции комплексного переменного называются непрерывными и какие
дифференцируемыми
15.
Дать определение производной функции комплексного переменного
16.
Сформулировать необходимые и достаточные условия дифференцируемости
функции комплексного переменного
6
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
Какие функции называются аналитическими
Дать определение интеграла от функции комплексного переменного
Как выражается интеграл от функции комплексного переменного через криволинейные интегралы
Сформулировать теорему Коши (об интеграле от функции комплексного переменного)
Что такое первообразная для функции комплексного переменного
Записать формулу Коши.
Сформулировать принцип максимума модуля
Что такое интеграл типа Коши
Дать определение равномерной сходимости последовательности функций и ряда
Как вычисляются коэффициенты ряда Тейлора
В каких областях сходятся степенные ряды
Что такое радиус сходимости степенного ряда
Что такое ряд Лорана
В каких областях сходятся ряды Лорана
Как вычисляются коэффициенты ряда Лорана
Какими бывают изолированные особые точки
Как связаны между собой нули функции и полюса
Что такое порядок полюса
Сформулировать необходимые и достаточные условия того, что особая точка
является устранимой, полюсом или существенно особой точкой
Как определяется непосредственное аналитическое продолжение функции
Что такое принцип непрерывного продолжения
Дать определение вычета
Сформулировать теорему о вычетах
Что такое логарифмический вычет
Сформулировать принцип аргумента
Дать определение окрестности бесконечно удаленной точки
Что такое вычет в бесконечно удаленной точке
Что такое конформное отображение
Сформулировать основную теорему конформных отображений
Что такое лапласов образ функции
Что такое функция-оригинал
Перечислить свойства преобразования Лапласа
Что такое асимптотическое разложение функции
Какие функции называются гармоническими
Какие гармонические функции называются сопряженными друг другу
Перечислить свойства гармонических функций
Перечень вопросов, выносимых на ЭКЗАМЕН
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Комплексные числа и действия над ними, комплексная плоскость, модуль и аргумент комплексного числа, возведение в степень и извлечение корня
Понятие функции комплексного переменного и необходимые определения, связанные с ним, простейшие примеры
Определение основных элементарных функции комплексного переменного
Дифференцируемость и связанные с ней понятия, примеры
Интеграл от функции комплексного переменного
Теорема Коши и следствия из нее
7
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Формула Коши, интеграл Коши
Принцип максимума модуля аналитической функции
Интеграл типа Коши, высшие производные аналитической функции
Равномерная сходимость последовательности функций и рядов
Ряда Тейлора аналитической функции, примеры
Степенные ряды аналитических функций
Ряд Лорана
Особые точки функции комплексного переменного
Аналитическое продолжение функции
Вычеты и их свойства (теорема о вычетах, принцип аргумента)
Дать определение окрестности бесконечно удаленной точки
Бесконечно удаленная точка, вычет в ней
Интегрирование вещественных функций при помощи вычетов (лемма Жордана,
примеры)
Принцип аргумента и основная теорема алгебры
Понятие конформного отображения
Основная теорема теории конформных отображений
Дробно-линейные отображения и их свойства
Понятие преобразования Лапласа
Свойства преобразования Лапласа и интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с его помощью
Понятие асимптотического разложения функций, примеры
Гармонические функции двух переменных и их свойства
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература.
1. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного:
Учебное пособие. М.: Наука, 1987- 668 с.
2. Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон, Курс современного анализа. Т. 1, 2.
3. Багров В. Г., Белов В. В., Задорожный В. Н., Трифонов А. Ю. Методы математической физики. Т. 1, 2, 3. Томск. Издательство научно-технической литературы, 2002.
4. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразований Лапласа. –
ГИФМЛ, 1960.
Дополнительная литература
1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. - 576 с.
2. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.
М.: Наука, 1972. 264 с.
3. Иванов В. И., Попов В. Ю. "Конформные отображения и их приложения".
4. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. "Сборник задач по теории функций комплексного переменного”.
5. Лаврентьева Т. А., Панферов В. С., Серов В. С. “Задачи по теории функций комплексного переменного”
6. Привалов И. И. "Введение в теорию функций комплексного переменного".
8
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Все виды материально-информационной базы Научной библиотеки ТГУ. Мультимедийное оборудование физического факультета ТГУ. Сеть Интернет. Специализированные
программные пакеты.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций
и ПрООП ВПО по направлению 011200 и профилю подготовки «Фундаментальная физика».
Автор:
профессор Багров Владислав Гавриилович
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании методической комиссии физического факультета ТГУ
от ___________ года, протокол № ________.
9