Вариант 26 Задача 1. Произведено n наблюдений над непрерывной случайной величиной X . Диапазон изменения величины X разбит на шесть отрезков. Отрезки и число наблюдений ni , попавших в каждый из них, указаны в следующей таблице. Требуется: А) построить гистограмму; Б) вычислить выборочное среднее значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение. Решение. Длина интервала h 2 . Вычислим плотности частот: wi таблицу xi 1 xi ni wi 3 5 7 9 11 13 15 17 5 7 9 11 13 15 17 19 10 20 40 70 50 30 20 10 5 10 20 35 25 15 10 5 и по ним построим гистограмму: 1 ni ni , занесем в h 2 40 35 35 30 25 25 20 20 15 15 10 5 10 10 5 5 0 4 6 8 10 12 14 16 18 Вычислим выборочное среднее значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое значение. Для этого перейдем к простому вариационному ряду, выбирая в качестве вариант x x середины интервалов xi нач кон : 2 xi ni 4 6 8 10 12 14 16 18 10 20 40 70 50 30 20 10 Найдем выборочное среднее: 1 1 x xi ni 2700 10,8 n 250 Найдем выборочную дисперсию: 1 1 D ( xi x) 2 ni 2720 10,88 . n 250 Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение: 10,88 3, 298 Расчетная таблица: xi ni 4 6 8 10 12 14 16 10 20 40 70 50 30 20 xi ni ( xi x)2 ni 40 120 320 700 600 420 320 462,4 460,8 313,6 44,8 72 307,2 540,8 2 18 Сумма 10 250 180 2700 518,4 2720 Задача 2. Заданы среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины, выборочное среднее x В и объем выборки n . Найти доверительный интервал для математического ожидания с вероятностью . x В 32 , 5, 0 , n 64 , 0,91 . Решение. Найдем доверительный интервал для математического ожидания, используя формулу: x В t a x В t , n n где t определяется из таблицы из условия (t ) / 2 0,91/ 2 0, 455 , t 1, 695 . Получаем после подстановки известных данных: 5, 0 5, 0 , 32 1, 695 a 32 1, 695 64 64 30,941 a 33, 059 . Задача 3. Диапазон изменения случайной величины X разбит на 8 интервалов. Интервалы и количество наблюдений ni , попавших в каждый интервал, заданы следующей таблицей. При уровне значимости 0 0,01 , проверить гипотезу H 0 , состоящую в том, что случайная величина X имеет равномерное распределение R на отрезке 0;1 . Решение. В условии уже даны параметры распределения: a* 0 , b* 1 . 1 1 1. Найдем предполагаемую плотность распределения: f ( x) b * a * 1 0 Найдем теоретические частоты. Так как все интервалы одинаковы и расположены по всему отрезку 0;1 , а сумма частот равна 1000, теоретические частоты равны ni ' n 1000 125 . k 8 Занесем их в расчетную таблицу и сравним с эмпирическими. 3 xi 1 ; xi 0; 0,125 0,125; 0,25 … … … … … 0,875; 1,0 Сумма ni 120 130 125 128 122 120 130 125 1000 125 125 125 125 125 125 125 125 1000 0,2 0,2 0 0,072 0,072 0,2 0,2 0 0,944 ni ' (ni ni ') ni ' 2 Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона: (n ni ') 2 2 i 0,944 . ni ' 2 По таблице критических точек распределения по уровню значимости 0, 01 и числу степеней свободы k = 8 -1 = 7 (минус 1, так как параметры распределения не оценивались по выборке), находим 2 кр. = 18,48. Так как 2 набл. = 0,944 < 2 кр. = 18,48 то можно принять гипотезу о равномерном распределении случайной величины X на отрезке 0;1 . 4