СМОЛЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ, СПОРТА И ТУРИЗМА Учебно-методические рекомендации для студентов факультета заочного обучения 1 курса (3, 5-летний срок обучения) по дисциплине: математика для специальности: 032.101.65 «Физическая культура и спорт» Факультет: заочного обучения Кафедра БЖД, спортивных сооружений и физико-математических дисциплин Курс: 1 Семестр: 1 Лекций: 8 часов Семинарских занятий: 8 часов Самостоятельная работа: 124 часов Контрольная работа, экзамен: семестр 1 Всего часов - 140 СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1.Выписка образовательного стандарта (дидактические единицы дисциплины) Индекс ЕН.Ф.01 Наименование дисциплин и их основные Всего часов дидактические единицы Аналитическая геометрия и линейная алгебра. 140 Дифференциальное и интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика. 1. Краткая характеристика основной образовательной программы Учебная дисциплина «Математика» включена в список естественнонаучных дисциплин государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для специальностей 032103.65 «Физическая культура и спорт». Курс формирует у студентов представление: о месте и роли математики в современном мире, мировой культуре и истории; о математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах математических рассуждений и доказательств; о логических, топологических, алгебраических структурах на множествах; о роли математики в гуманитарных исследованиях и образовании; об основных понятиях теории вероятностей, случайных событиях, случайных величинах, законах распределения случайных величин; о вероятностном смысле статистической информации, об оценке основных статистических показателей; о статистических методах, применяемых для обработки экспериментальных данных. Цель и задачи изучения дисциплины. Цель курса – совершенствование базовой подготовки специалистов в области физической культуры и спорта, обеспечение их необходимыми знаниями в области математики. В процессе преподавания математики решаются следующие задачи: 1. Обучить студентов основам математических знаний, сформировать умение применять теоретические знания для решения задач. 2. Развивать у студентов математическое и логическое мышление. 3. Изучить методы математической статистики, освоить анализ экспериментальных данных. 4. Содействовать формированию у студентов научного мировоззрения в области естественно-научных знаний. 2. Требования к уровню освоения программы и формы текущего и промежуточного контроля. Формы контроля – зачет по контрольной работе и экзамен. Задания для выполнения контрольной работы можно получить у преподавателя на установочной сессии. Задания для контрольной работы Номер выполняемого варианта соответствует первой букве в фамилии студента Фамилия № А-В 1 Г-Е 2 Ж-И 3 К-Л 4 М-Н 5 О-Р 6 С-У 7 Ф-Ц Ч-Щ 8 9 Э-Я 10 Задание 1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна Р1, для второго Р2. Найти вероятность того, что: а) в цель попадут оба стрелка; б) в цель попадет хотя бы один стрелок; в) в цель попадет только один стрелок; г) оба стрелка промахнутся. Вариант Р1 Р2 1 0,8 0,7 2 0,7 0,8 3 0,6 0,7 4 0,9 0,4 5 0,7 0,3 6 0,5 0,4 7 0,4 0,5 8 0,3 0,6 9 0,5 0,7 10 0,8 0,8 Задание 2. Вероятность того, что баскетболист попадет в кольцо при одной попытке равна Р. Баскетболист совершил n бросков. Составить закон распределения количества попаданий. Построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вариант n Р 1 3 0,1 2 3 0,2 3 2 0,3 4 3 0,4 5 4 0,5 6 3 0,6 7 2 0,7 8 3 0,8 9 3 0,9 10 5 0,5 Задание 3. Из генеральной совокупности извлечена выборочная совокупность, получены значения измеряемой величины. По выборочным данным составить безынтервальный вариационный ряд, построить полигон. Вычислить выборочное среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку выборочной средней. Указать моду и медиану. Вари ант Значения 1 67 73 69 64 69 71 59 67 69 65 63 67 71 60 69 67 71 59 67 63 2 84 82 95 83 78 98 81 82 88 87 88 89 91 95 84 82 95 95 82 82 87 82 88 84 3 75 75 72 75 66 80 75 62 70 65 73 79 72 78 78 75 66 62 65 72 72 70 78 75 66 4 80 75 71 76 72 82 81 78 81 73 73 73 79 75 68 76 80 73 72 81 5 98 85 94 95 92 99 96 92 85 89 101 93 98 105 100 105 101 98 92 99 94 92 89 92 98 93 6 67 69 64 66 77 68 67 68 69 61 60 71 71 65 61 65 71 68 68 64 64 66 68 64 68 7 103 90 101 97 105 91 96 86 91 83 102 93 93 110 101 90 97 91 96 8 45 42 45 48 42 46 49 47 48 51 42 51 53 40 46 51 46 46 48 47 51 9 120 133 135 135 137 134 120 134 130 143 135 139 135 140 130 143 135 139 143 140 135 10 102 113 96 109 73 119 102 104 108 103 100 97 102 93 92 98 101 119 104 102 103 102 Задание 4. У спортсменов контрольной (Х) и экспериментальной (У) групп измерены результаты теста физической подготовленности. С помощью t-критерия Стьюдента определите, можно ли утверждать, что спортсмены экспериментальной группы имеют более высокий уровень подготовленности. Вар иант 1 Значения Х Y 84 82 95 83 78 98 81 82 88 87 88 89 91 95 92 95 95 88 87 94 92 83 88 98 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Х Y Х Y Х Y Х Y Х Y Х Y Х Y Х Y Х Y 33 35 39 42 45 37 38 42 45 37 41 39 41 42 45 39 47 49 51 55 48 46 45 55 53 49 98 105 94 95 92 99 96 92 105 101 93 98 105 100 106 105 108 106 105 108 108 103 95 8,7 8,5 9,1 9,2 9,3 8,9 8,7 9,6 9,1 9,2 9,1 8,7 8,5 8,5 8,9 8,5 8,3 9,0 9,2 8,4 75 75 72 75 66 80 75 62 70 65 73 79 72 78 78 77 78 75 75 78 74 68 68 71 65 850 780 890 780 780 880 780 765 745 780 890 780 760 875 869 912 934 943 940 860 860 120 133 135 135 137 134 120 134 130 143 135 120 127 135 151 138 145 139 135 145 148 150 154 178 198 151 157 167 184 190 168 168 160 170 175 170 185 188 168 187 194 185 12,6 11,8 11,6 12,8 13,8 12,1 12,8 12,7 12,8 13,6 12,3 11,6 13,2 12,3 12,5 12,1 11,8 12,9 11,5 12,2 13,1 12,5 85 87 90 102 96 89 85 85 88 98 90 92 95 96 95 96 97 105 105 95 93 95 98 98 95 92 5. Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи коэффициентов корреляции Браве-Пирсона и Спирмена. Вариант 1 2 3 4 5 6 7 Х У Х У Х У Х У Х У Х У Х У 5 43 21 136 33 63 14 22 120 95 58 93 48 158 6 45 25 135 35 68 19 19 122 98 58 95 43 154 5 47 23 132 38 68 17 23 120 105 55 93 51 160 Значения 7 9 10 49 46 45 21 22 26 130 135 140 35 40 38 70 70 69 14 14 16 25 22 21 125 130 125 105 110 107 66 62 65 105 104 105 49 51 46 158 152 158 6 48 29 138 42 70 17 23 132 115 62 102 51 153 8 49 24 138 44 72 19 23 122 102 66 105 50 158 7 48 22 136 45 75 20 19 120 96 55 95 8 44 22 132 15 20 66 100 8 9 10 Х У Х У Х У 25 110 17 120 77 12 22 105 15 123 75 14 20 102 22 110 78 15 21 105 18 118 75 12 25 102 17 120 74 18 25 106 21 110 71 15 28 110 25 105 72 12 20 105 24 115 77 15 21 102 18 122 78 15 21 103 19 120 75 14 Образец выполнения контрольных заданий Задание 1. Два студента решают задачу. Вероятность того, что задачу решит первый студент составляет 0,8, вероятность решения для второго студента 0,4. Найти вероятность того, что: а) задачу решит хотя бы один студент; б) задачу решит только один студент; в) задачу решат оба студента; г) задачу не решит ни один студент. Решение: Рассмотрим четыре элементарных события: А1 - задачу решил первый студент; А1 - задачу не решил первый студент; А2 - задачу решил второй студент; А2 - задачу не решил второй студент. Вероятности событий А1 и А2 известны из условия задачи. События А1 и А2 являются противоположными событиям А1 и А2, следовательно их вероятности можно найти по теореме о вероятности полной группы событий. Р(А1) = 0,8 Р(А1) = 1- 0,8 = 0,2 Р(А2) = 0,4 Р(А2) = 1 - 0,4 = 0,6 а) Событие В - "задачу решит хотя бы один студент" является суммой двух совместных событий А1 и А2, то есть В = А1+А2. По формуле суммы совместных событий получим: Р(В) = Р(А1+А2) = Р(А1) +Р(А2) - Р(А1 А2) = 0,8 + 0,4 - 0,8 0,4 = 0,88 б) Событие С - "задачу решит только один студент" заключается в том, что решит только первый и не решит второй, или решит только второй и не решит первый студент. Сложное событие С можно представить в следующем виде: С = А1А2 +А1 А2 События (А1А2) и (А1 А2) несовместны, события А1 и А2; А1 и А2 независимы. Р(С) = Р(А1) Р(А2) + Р(А1) Р(А2) = 0,8 0,6 + 0,2 0,4 = 0,56 в) Событие D – «задачу решат оба студента» является произведением независимых событий А1 и А2, то есть D = А1 А2 Р(D) = Р(А1) Р(А2) = 0,8 0,4 = 0,32 в) Событие Е – «задачу не решит ни один студент» является произведением независимых событий А1 и А2, то есть Е = А1 А2 Р(Е) = Р(А1) Р(А2) = 0,2 0,6 = 0,12 Задание 2. По цели произведено три выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Составить закон распределения вероятностей количества попаданий. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), среднее квадратическое отклонение. Решение: Для определения вероятности того, что в серии из n испытаний событие А произойдет m раз воспользуемся формулой Бернулли. Pn (m) = n!/(m!(n-m)!) pm qn-m P3 (0) = 3! / (0! (3-0)!) 0,80 0,23 = (1 2 3 / 123) 1 0,008 = 0,008 P3 (1) = 3! / (1! (3-1)!) 0,81 0,22 = (1 2 3 / 112) 0,8 0,04 = 0,096 P3 (2) = 3! / (2! (3-2)!) 0,82 0,2 = (1 2 3 / 121) 0,64 0,2 = 0,384 P3 (3) = 3! / (3! (3-3)!) 0,83 = 1 2 3 / 1123 0,512 = 0,512 (т.к. 0!=1) Составим ряд распределения. Для этого укажем в таблице все возможные значения случайной величины и их вычисленные вероятности. P(X=0) = 0,008; Р (Х=1) = 0,096; Р (Х=2) = 0,384; Р (Х=3) = 0,512 Х Р 0 0,008 1 0,096 2 0,384 3 0,512 Проверка: 0,008+0,096+0,384+0,512=1 Математическое ожидание: М(Х) = 00,008 + 1 0,096 + 2 0,384 + 3 0,512 = 2,4 Дисперсия: D(Х) = (0 - 2,4)2 0,008 + (1 - 2,4)2 0,096+(2 - 2,4)2 0,384+(3 - 2,4)2 0,512 = 0,48 Среднее квадратическое отклонение: D 0,48 0,69 Задание 3. Из генеральной совокупности извлечена следующая выборка. 35 38 33 32 35 36 39 36 37 34 35 35 36 34 37 36 38 37 35 33 Составить безынтервальный вариационный ряд. Построить полигон. Вычислить выборочное среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку выборочной средней. Указать моду и медиану. Решение: Безынтервальный вариационный ряд: х 32 33 34 35 m 1 2 2 5 36 4 37 3 38 2 39 1 Вычисление статистических показателей (при помощи расчетной таблицы): х 32 33 34 35 36 37 38 39 х- х -3,6 -2,6 -1,6 -0,6 0,4 1,4 2,4 3,4 mх 32 66 68 175 144 111 76 39 711 m 1 2 2 5 4 3 2 1 20 Выборочное среднее Х = Хi / n Дисперсия D = m(Xi - X)2 / n-1 (х- х)2 12,96 6,76 2,56 0,36 0,16 1,96 5,76 11,56 m(х- х)2 12,96 13,52 5,12 1,8 0,64 5,88 11,52 11,56 63 Х = 711/20 = 35,6 D = 63/19 = 3,3 Выборочное среднее квадратическое отклонение D 3,3 1,8 Коэффициент вариации V=1,8/35,6100% = 5% Статистическая ошибка выборочной средней mX = 1,8/4,5 = 0,4 Мо = 35 (варианта, имеющая наибольшую частоту); Ме = 36 (середина ранжированного ряда). Задание 4. У спортсменов контрольной (Х) и экспериментальной (У) групп измерены результаты в прыжке в высоту. С помощью t-критерия Стьюдента определите, являются ли различия уровня спортсменов подготовленности достоверными. Х 39 40 45 37 42 40 46 41 У 41 39 42 48 47 44 41 Решение: 1. Вычислим средние значения показателей в обеих группах Х = (39+40+45+37+42+40+46+41)/8 = 41,2 см ≈ 41 см Y = (41+39+42+48+47+44+41)/ 7 = 43,1 см ≈ 43 см 2. Вычислим выборочные дисперсии sx2 и sy2 s x2 (39 41) 2 (40 41) 2 (45 41) 2 (37 41) 2 (42 41) 2 (40 41) 2 (46 41) 2 (41 41) 2 7 sx2 =9 см2 (41 43)2 (39 43)2 (42 43)2 (48 43)2 (47 43)2 (44 43)2 (41 43)2 s 6 sy2 = 11,2 см2 2 Y Количество испытуемых в выборках: nx=8; ny=7, тогда количество степеней свободы = 8+7-2 = 13 Найдем эмпирическое (выборочное) значение t-критерия Стьюдента t х у t 2 y s x2 s nx n y 41 43 9 11 8 7 0,742 По таблице критических значений t-критерия Стьюдента определяем t0.05 = 2,160 Вывод: Так как вычисленное значение t-критерия оказалось меньше табличного (0,742 <2,160), то различия между выборочными средними не являются статистически достоверными. Задание 5. Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи коэффициента корреляции Браве-Пирсона Х У Решение: 12 72 15 81 11 73 14 78 13 71 Для вычисления коэффициента корреляции Браве-Пирсона составим расчетную таблицу, при помощи которой найдем выборочные средниеX,Y, а также средние квадратические отклонения x и y. № х Y х -y (х -х)2 y -y (y -y)2 (х -х) (y -y) 1 2 3 4 5 12 15 11 14 13 65 72 81 73 78 71 375 -1 2 -2 1 0 1 4 4 1 0 10 -3 6 -2 3 -4 9 36 4 9 16 74 3 12 4 3 0 22 х = 65/5 = 13; у = 375/5 = 75; sx2 = 10/4 = 2,5; sx =1,6; sy2 = 74/4 = 18,5 sy= 4,3 r x i x yi y r n sx sy 22 0,64 5 1,6 4,3 Для определения достоверности взаимосвязи необходимо сравнить полученный выборочный коэффициент корреляции с критическим значением (находится в статистической таблице), которое зависит от объема выборки. При объеме выборки n = 5 критическое значение rкр = 0,878. Поскольку выборочное значение оказалось меньше критического, то нельзя утверждать, что между показателями Х и Y существует взаимосвязь. Задание 6. Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи коэффициента корреляции Спирмена. Х У 5 40 6 42 8 45 6 43 7 45 9 45 7 43 Решение: Составим расчетную таблицу, в первом столбце которой указаны номера испытуемых, во втором и третьем – экспериментальные показатели, в четвертом и пятом – ранги значений Х и Y, в шестом – разность рангов, в седьмом квадрат разности рангов. № х у RX RY RX - RY (RX - RY)2 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 6 7 9 7 40 42 45 43 45 45 43 1 2,5 6 2,5 4,5 7 4,5 1 2 6 3,5 6 6 3,5 0 0,5 0 -1 -1,5 1 1 0 0,25 0 1 2,25 1 1 5,5 n rs 1 6 R x R y i 1 n n2 1 2 rS 1 6 5,5 0,902 7 48 Критическое значение коэффициента корреляции при n = 7 и = 0,05 составляет 0,754, выборочное значение коэффициента корреляции составляет 0,902. Поскольку выборочное значение коэффициента корреляции больше, чем критическое, можно утверждать, что между величинами Х и Y существует достоверная положительная взаимосвязь, вероятность ошибочности такого утверждение 0,05. Задачи для самостоятельного решения Задача 1. В ящике находится 12 деталей, из которых 4 – бракованных. Сборщик наудачу вытаскивает три детали. Найти вероятность того следующих событий: а) все детали – исправные; б) все детали – бракованные; в) две детали – исправные, одна - бракованная. Задача 2. Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент знает 20. В билете три вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет ответить на все вопросы. Задача 3. В мешке 5 кубиков с буквами О, П, Р, С, Т . Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках получится слово "СПОРТ". Задача 4. Два стрелка выполняют по одному выстрелу в мишень. Вероятность удачного выстрела для первого стрелка составляет 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того следующих событий: а) в мишень попадет хотя бы один стрелок; б) в мишень попадет только первый стрелок; в) оба стрелка промахнутся. Задача 5. Игральную кость бросили 3 раза. Найти вероятность того, что три раза выпадет шесть очков. Задача 6. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб появится не менее 4 раз. Задача 7. Вероятность выигрыша команды в каждом матче равна 0,7. Сыграно 3 матча. Составить закон распределения количества выигрышей. Построить многоугольник распределения. Задача 8. Вычислить математическое ожидание и дисперсию, построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной рядом распределения Х р 0 0,1 1 0,3 2 0,4 3 0,2 Задача 9. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X p 2 0,6 5 0,1 8 0,3 . Найти интегральную функцию F(x) и построить ее график. Задача 10. Случайная величина X задана интегральной функцией: 0 F ( x) 0,75 x 0,75 1 при x 1 при 1 x 0,33 . при x 0,33 Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале 0 x 0,33 . Задача 11. Непрерывная случайная величина задана в интервале 0 x 1 дифференциальной функцией f ( x) 2 x , а вне этого интервала f ( x) 0 . Найти ее числовые характеристики. Задача 12. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами = 30 и = 5. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале от 30 до 40. Задача 12. Задача 13. Составить безынтервальный вариационный ряд, вычислить выборочное среднее, указать моду, медиану, по следующим данным: 16 18 18 20 22 22 23 25 25 25 28 30 30 32 33 Задача 14. Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограмму для следующих данных, разбив диапазон значений величины на три интервала 17 18 18 20 21 21 22 25 25 25 26 27 28 28 29 31 31 32 33 34 34 Задача 15. Выборочная совокупность задана вариационным рядом. Найти объем выборки, указать относительные частоты, построить полигон и кумуляту. Х m 5 2 6 4 7 3 8 1 Задача 16. Найти выборочное среднее, дисперсию и среднее отклонение, если выборка задана вариационным рядом: Х m 23 2 25 5 30 3 35 8 квадратическое 38 2 Задача 17. Измерены результаты в беге на 100 м: x=14 с, sх=1,0 с, и в прыжке в длину с места: y = 210 см, sу=20 см. Сравнить вариативность результатов при помощи коэффициента вариации. Задача 18. Определить статистическую ошибку выборочной средней, если в исследовании участвовало 25 человек, выборочная дисперсия s2=10. Задача 19. Выполнить округление выборочных средних, если результаты расчетов оказались следующими: x=120,12596 mx = 2,2514 у=12,15688, my = 0,12444. Задача 20. Составить доверительный интервал для генеральной средней с доверительной вероятностью 0,95, если по выборке объемом 16 получены следующие данные: х=120, s=6. Задача 21. Оценить значение генеральной средней с доверительной вероятностью 0,95, если по выборке объемом n=100 получены следующие данные: х=80, s = 5. Задача 22. Результаты тестирования в двух группах оказались следующими:x=120, sx = 2, у=128, sy = 4. Определить, различаются ли генеральные средние на уровне значимости 0,05, если численность групп составляет 5 и 8 человек, соответственно. Задача 23. В таблице указаны результаты тестирования двух групп юных спортсменов. Определить, достоверны ли различия в уровне развития физических качеств у участников исследования, если группа А состоит из 9 человек, группа В – из 10 человек. Контрольные упражнения Бег 100 м, с Прыжок в длину с места, см Подтягивания, кол-во раз А В х m х у m у 15,4 0,8 218,6 5,3 8,9 0,6 14,8 1,1 261,4 4,4 11,4 0,5 Задача 24. Проверить гипотезу о равенстве двух генеральных средних по связанным выборкам, если Х – результаты первичного тестирования, Y – результаты повторного тестирования Х Y 12 14 15 15 12 15 16 18 18 16 14 18 Задача 25. Установить тесноту взаимосвязи между показателями помощи коэффициента корреляции Браве-Пирсона. Х У 16 58 18 56 20 55 20 60 44 46 39 46 14 18 Х и У при 15 55 Задача 26. Установить тесноту взаимосвязи между показателями помощи коэффициента корреляции Спирмена Х 12 15 40 Х и У при У 125 130 120 125 120 Экзаменационные вопросы 1. Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие, вероятность. Свойства вероятности. 2. Классическое определение вероятности. 3. Статистическое определение вероятности. 4. Сумма событий. Вероятность суммы двух совместных и несовместных событий. 5. Произведение событий. Вероятность произведения двух независимых и зависимых событий. 6. Формула Бернулли. 7. Случайные величины, их типы и способы описания. 8. Ряд распределения дискретной случайной величины, многоугольник распределения. 9. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. 10.Числовые характеристики непрерывной случайной величины. 11.Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства и график. 12.Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства. 13.Общее нормальное распределение, его графическое изображение. 14.Нормированное (стандартное) нормальное распределение, его графическое изображение. 15.Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. 16.Правило "трех сигм". 17.Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность, выборочная совокупность. Выборочный метод статистических исследований. 18.Безынтервальный вариационный ряд. Полигон, кумулята. 19.Группировка статистических данных в виде интервального вариационного ряда. Гистограмма. 20.Характеристики положения выборочной совокупности: выборочное среднее, мода, медиана. 21.Характеристики вариативности выборочной совокупности: дисперсия, среднее квадратическое отклонение. 22.Коэффициент вариации. 23.Статистическая ошибка выборочной средней. 24.Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины для большой выборки (при помощи нормированного нормального распределения). 25.Интервальная оценка математического ожидания случайной величины по выборке малого объема (при помощи распределения Стьюдента). 26.Принципы и алгоритм проверки статистических гипотез. 27.Проверка гипотезы о равенстве двух генеральных средних по независимым выборкам. 28.Проверка гипотезы о равенстве двух средних для связанных совокупностей. 29.Проверка гипотезы о равенстве выборочных совокупностей по критерию Вилкоксона. 30.Корреляция. Задачи корреляционного анализа. 31.Построение корреляционного поля, определение формы и направленности корреляционной зависимости. 32. Определение тесноты корреляционной связи. Коэффициент корреляции Браве-Пирсона. 33. Определение тесноты связи при помощи коэффициента корреляции Спирмена. 34.Определение достоверности коэффициента корреляции. 35.Взаимосвязь качественных признаков. Коэффициент сопряженности. Приложение 1 Удвоенные значения функции Лапласа u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0.07 0,08 0,09 0,0 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 1,0 1,1 0000 0797 1585 2358 3108 3829 4515 5161 5763 6319 6827 7287 0080 0876 1663 2434 3182 3899 4581 5223 5821 6372 6875 7330 0160 0955 1741 2510 3255 3969 4647 5285 5878 6424 6923 7373 0239 1034 1819 2586 3328 4039 4713 5346 5935 6476 6970 7415 0319 1113 1897 2661 3401 4108 4778 5407 5991 6528 7017 7457 0399 1192 1974 2737 3473 4177 4843 5467 6047 6579 7063 7499 0478 1271 2051 2812 3545 4245 4907 5527 6102 6629 7109 7540 0558 1350 2128 2886 3616 4313 4971 5587 6157 6680 7154 7580 0638 1428 2205 2961 3688 4381 5035 5646 6211 6729 7199 7620 0717 1507 2282 3035 3759 4448 5098 5705 6265 6778 7243 7660 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2.2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3.7 7699 8064 8385 8664 8904 9109 9281 9426 9545 9643 9722 9786 9836 9876 9907 9931 9949 9963 9973 9981 9986 9990 9993 9996 9997 9998 7737 8098 8415 8690 8926 9127 2997 9439 9556 9651 9729 9791 9840 9879 9909 9933 9950 9964 9974 9981 9987 9991 9994 9996 9997 9998 7775 8132 8444 8715 8948 9146 9312 9451 9566 9660 9736 9797 9845 9883 9912 9935 9952 9965 9975 9982 9987 9991 9994 9996 9997 9998 7813 8165 8473 8740 8969 9164 9327 9464 9576 9668 9743 9802 9849 9886 9915 9937 9953 9966 9976 9983 9988 9991 9994 9996 9997 9998 7850 8198 8501 8764 8990 9181 9342 9476 9586 9676 9749 9807 9853 9889 9917 9939 9955 9967 9976 9983 9988 9992 9994 9996 9997 9998 7887 8230 8529 8789 9011 9199 9357 9488 9596 9684 9756 9812 9857 9892 9920 9940 9956 9968 9977 9984 9989 9992 9995 9996 9997 9998 7923 8262 8557 8812 9031 9216 9371 9500 9606 9692 9762 9817 9861 9895 9922 9942 9958 9969 9978 9984 9989 9992 9995 9996 9998 9998 7959 8293 8584 8836 9051 9233 9385 9512 9616 9700 9768 9822 9865 9698 9924 9944 9959 9970 9979 9985 9989 9993 9995 9996 9998 9998 7995 8324 8611 8859 9070 9249 9399 9523 9625 9707 9774 9827 9869 9901 9926 9946 9960 9971 9979 9985 9990 9993 9995 9997 9998 9998 8029 8355 8638 8882 9090 9265 9412 9534 9634 9715 9780 9832 9879 9904 9929 9947 9961 9972 9980 9986 9990 9993 9995 9997 9998 9999 Примечание: в таблицах нули и запятые опущены. Приложение 2 Ординаты кривой нормального распределения u (u) u (u) u (u) u (u) 0,0 0,3989 1,0 0,2420 2,0 0,0540 3,0 0,0044 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683 0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497 0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 Приложение 3 Критические точки распределения Стьюдента 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Уровень значимости для двусторонней 0,1 0,1 0,05 0,01 0,001 63 636 16 1 ,745 6 ,313 12 ,71 ,656 ,62 31 17 1 ,739 2 ,919 4 ,302 9 ,925 ,599 12 18 1 ,734 2 ,353 3 ,182 5 ,841 ,924 2 ,131 2 ,776 4 ,604 8 ,610 19 1 ,729 2 ,015 2 ,570 4 ,032 6 ,869 20 1 ,725 1 ,943 2 ,446 3 ,707 5 ,959 21 1 ,721 1 ,894 2 ,364 3 ,499 5 ,408 22 1 ,717 1 ,859 2 ,306 3 ,355 5 ,041 23 1 ,714 1 ,833 2 ,262 3 ,249 4 ,781 24 1 ,711 1 ,812 2 ,228 3 ,169 4 ,587 25 1 ,708 1 ,795 2 ,201 3 ,106 4 ,437 26 1 ,706 1 ,782 2 ,179 3 ,054 4 ,318 27 1 ,703 1 ,771 2 ,160 3 ,012 4 ,221 28 1 ,701 1 ,761 2 ,145 2 ,977 4 ,140 29 1 ,699 1 ,753 2 ,131 2 ,946 4 ,073 30 1 ,697 критической области 0,05 0,01 0,001 2 ,119 2 ,921 4 ,015 2 ,109 2 ,898 3 ,965 2 ,101 2 ,878 3 ,921 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,093 ,086 ,079 ,074 ,068 ,064 ,059 ,055 ,052 ,048 ,045 ,042 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,861 ,845 ,831 ,818 ,807 ,797 ,785 ,778 ,770 ,763 ,756 ,750 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ,883 ,849 ,819 ,792 ,767 ,745 ,725 ,707 ,689 ,674 ,659 ,646 0,9 0,95 1 ,644 1 ,959 2 ,576 3 ,290 0,99 0,999 0,9 0,95 0,99 0,999 Доверительная вероятность n 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 n k 0 3,08 3,73 4,09 4,32 4,50 4,64 4,75 4,85 4,94 100 5,02 Приложение 4 Коэффициенты для приближенного вычисления выборочного среднего квадратического отклонения x xmin s max k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,13 1,69 2,06 2,23 2,56 2,70 2,85 2,97 3,17 3,26 3,34 3,41 3,47 3,53 3,59 3,64 3,69 3,78 3,82 3,86 3,90 3,93 3,96 4,00 4,03 4,06 4,11 4,14 4,16 4,19 4,21 4,24 4,26 4,28 4,30 4,34 4,36 4,38 4,40 4,42 4,43 4,45 4,47 4,48 4,51 4,53 4,54 4,56 4,59 4,60 4,60 4,61 4,63 4,65 4,66 4,68 4,69 4,70 4,71 4,72 4,73 4,74 4,77 4,78 4,79 4,80 4,81 4,82 4,83 4,83 4,84 4,86 4,87 4,88 4,88 4,90 4,91 4,91 4,92 4,93 4,95 4,96 4,96 4,97 4,98 4,99 4,99 5,00 5,01 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 5,49 5,76 5,94 6,07 6,18 6,28 6,35 6,42 6,48 Приложение 5 Критические значения коэффициента корреляции Браве-Пирсона n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Уровни значимости 0,05 0,01 0,001 0,9969 0,999 0,9999 0,950 0,9900 0,9990 0,878 0,9597 0,991 0,811 0,9172 0,9741 0,754 0,875 0,9509 0,707 0,834 0,9244 0,666 0,798 0,898 0,632 0,765 0,872 0,602 0,735 0,847 0,576 0,708 0,823 0,553 0,684 0,801 0,532 0,661 0,780 0,544 0,641 0,760 0,497 0,623 0,742 n 26 27 28 29 30 32 35 37 40 42 45 47 50 52 Уровни 0,05 0,388 0,381 0,374 0,367 0,361 0,349 0,332 0,325 0,312 0,304 0,292 0,288 0,279 0,273 значимости 0,01 0,001 0,496 0,607 0,487 0,597 0,479 0,588 0,470 0,579 0,463 0,570 0,449 0,554 0,435 0,539 0,418 0,519 0,402 0,501 0,393 0,490 0,384 0,416 0,372 0,465 0,361 0,451 0,354 0,443 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0,482 0,468 0,456 0,444 0,433 0,423 0,413 0,404 0,396 0,606 0,590 0,575 0,561 0,549 0,537 0,526 0,515 0,505 0,725 0,708 0,693 0,679 0,665 0,652 0,641 0,629 0,618 60 80 100 125 150 250 500 1000 0,254 0,220 0,196 0,175 0,160 0,124 0,088 0,062 0,330 0,286 0,258 0,230 0,210 0,163 0,115 0,081 0,414 0,380 0,324 0,286 0,249 0,207 0,147 0,104 Приложение 6 Критические значения коэффициента корреляции Спирмена n 4 5 6 7 8 9 =0,05 =0,01 1,0 0,900 0,829 0,714 0,643 0,600 =0,0 5 0,546 0,506 0,456 0,425 0,399 0,377 n 1,00 0,943 0,893 0,833 0,783 10 12 14 16 18 20 =0,0 1 0,746 0,712 0,645 0,601 0,564 0,534 n 22 24 26 28 30 =0,05 =0,01 0,359 0,343 0,329 0,317 0,306 0,508 0,485 0,465 0,448 0,442 Приложение 7 Критические точки W-критерия Вилкоксона для независимых выборок n1 n2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 4 11 12 13 14 15 15 16 17 18 19 20 5 17 18 20 21 22 23 24 26 27 28 29 Уровень значимости = 0,05 6 7 8 9 10 11 12 26 27 29 31 32 34 35 37 38 40 115 119 137 123 141 160 127 145 164 36 38 40 42 44 46 48 50 52 49 51 53 55 58 60 63 65 63 65 68 71 73 76 79 78 81 85 88 91 94 96 99 103 106 110 13 14 16 n1 n2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 21 3 4 6 6 6 7 7 7 8 8 10 10 11 11 12 12 13 14 14 15 15 31 5 15 16 17 17 18 19 20 21 22 22 23 24 42 54 67 82 97 114 131 150 169 Уровень значимости = 0,01 6 7 8 9 10 11 12 13 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 106 109 112 115 119 125 129 147 133 151 137 155 32 34 35 37 38 40 41 43 44 46 43 45 47 49 51 53 54 56 58 56 58 61 63 65 67 70 72 71 74 76 79 81 84 86 87 90 93 96 99 102 14 n 1 – меньший объем выборки, n 2 – больший объем выборки ЛИТЕРАТУРА 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с. 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 452 с. 3. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для экон. спец. вузов. – М.: Статистика, 1979. – 279 с. 4. Коренберг В.Б. Лекции по спортивной метрологии. Основы статистики: Учебное пособие. – Малаховка: МГАФК, 2000. – 76 с. 5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИДАНА, 2004. – 573 с. 6. Основы математической статистики: Учебное пособие для институтов физической культуры / Под ред. В.С.Иванова. – М.: Физкультура и спорт, 1996. – 176 с. 7. Семенов В.Г., Смольянов В.А., Врублевский Е.П. Методы математической статистики в исследованиях по физической культуре и спорту: Учебное пособие. – Смоленск, СГИФК, 1998. – 73 с. 8. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. – СПб.: ООО «Речь» 2002. – 350 с. 9. Спортивная метрология: Учеб. для ин-тов физ. культ. / Под ред. В.М.Зациорского. – М.: Физкультура и спорт, 1982. – 256 с. 10. Шмелев П.А., Шмелева Г.А., Фураев А.Н. Пособие по высшей математике для вузов физкультурного профиля. Элементы теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. - М.: МГАФК, 1999. – 165 с.