Задача №1. Для дискретного вектора (X;Y), распределенного по закону: X 1 X 0 X 1 Y 1 3 14 1 28 3 14 Y 0 1 28 2 7 3 14 Выяснить, зависимы или нет события A { X 1} и B { X Y 0} . Решение: Два события А и В называются независимыми, если P( A B) P( A) P( B) . В противном случае события А и В называются зависимыми. Найдем вероятность событий: А; В и АВ: P( A) P(X 1) P( X 1; Y 1) P( X 1; Y 0) 3 3 3 14 14 7 P( B) P(X Y 0) P( X 0; Y 0) P( X 1; Y 1) P(A B) P(X 1; X Y 0) P( X 1; Y 1) 3 14 Имеем: P(A B) 3 3 1 3 P( A) P ( B ) . 14 7 2 14 Следовательно, А и В – независимые события. Ответ: События А и В независимы. 2 3 7 1 7 14 14 2 Задача №2. Найти распределение случайной величины Z X Y и E ( Z ) , если известно распределение случайного дискретного вектора (Х;Y): X 1 X 2 X 3 Y 1 1 4 1 12 1 8 Y 0 5 24 1 12 1 4 Решение: Возможные значения случайной величины Z X Y есть: 4;3;2;1. Найдем соответствующие вероятности: P( Z 1) P( X Y 1) P(X 1; Y 0) 5 24 P( Z 2) P( X Y 2) P (X 1; Y 1) P(X 2; Y 0) 1 1 4 1 4 12 12 3 P( Z 3) P( X Y 3) P(X 2; Y 1) P(X 3; Y 0) 1 1 4 1 12 4 12 3 P( Z 4) P( X Y 4) P(X 3; Y 1) 1 8 Таким образом, закон распределения случайной величины Z X Y имеет вид: Z 1 2 3 4 p 5 24 1 3 1 3 1 8 p i 5 1 1 1 5883 1 24 3 3 8 24 Математическое ожидание случайной величины Z равно: E ( Z ) zi pi 1 Ответ: 5 1 1 1 5 16 24 12 19 2 3 4 24 3 3 8 24 8 Z 1 2 3 4 p 5 24 1 3 1 3 1 8 E (Z ) 19 8 Задача № 3 Найти E (Y ) и D( X ) для случайного дискретного вектора (Х;Y), распределенного по закону: X 0 X 1 X 2 Y 0 0,1 0,2 0 Y 1 0,1 0,1 0,5 Решение: Составим законы распределения для случайных величин Х и Y. Найдем соответствующие вероятности: P( X 0) P( X 0; Y 0) P( X 0; Y 1) 0.1 0.1 0.2 P( X 1) P( X 1; Y 0) P( X 1; Y 1) 0.2 0.1 0.3 P( X 2) P( X 2; Y 0) P( X 2; Y 1) 0 0.5 0.5 P(Y 0) P(Y 0; X 0) P(Y 0; X 1) P(Y 0; X 2) 0.1 0.2 0 0.3 P(Y 1) P(Y 1; X 0) P(Y 1; X 1) P(Y 1; X 2) 0.1 0.1 0.5 0.7 Законы распределения для случайных величин Х и Y имеют вид: х 0 р 0,2 0,3 1 2 y 0 1 0,5 p 0.3 0.7 Найдем математическое ожидание: E(X) xi pi 0 0.2 1 0.3 2 0.5 1.3 E(Y ) yi pi 0 0.3 1 0.7 0.7 Найдем дисперсию: D(X) xi pi E ( X ) 02 0.2 12 0.3 22 0.5 1.3 0.3 2 1.69 0.61 2 Ответ: E (Y ) 0.7 ; D(X) 0.61 2 Задача №4. Случайный вектор (Х;Y) имеет плотность распределения: 12e4 x 3 y , åñëè 0 x ;0 y f ( x; y) 0, â î ñòàëüí û õ ñëó÷àÿõ Найти вероятность P(X>2). Решение: Для начала найдем плотность распределения f X (x) компоненты Х: При x 0 f X (x) При x 0 f X (x) 0 f ( x; y )dy 0dy 0 0 f ( x; y )dy 0dy 12e 4 x 3 y dy 0 12 4 x 3 y e 3 0 4 e 4 x e 4 x 4e 4 x Следовательно, плотность распределения f X (x) имеет вид: x0 0, f X (x) 4 x 4e , x 0 Тогда искомая вероятность: P( X 2) 4e 4 x dx e4 x 2 Ответ: P( X 2) 0.0004 2 e e 8 e 8 0.0004 Задача №4. Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой недели, n 1. Известно, что отношение цен S ( n) , n 1 , является независимыми случайными величинами, S (n 1) которые распределены логнормально с параметрами 0.00205 и 0.0544 . Найдите вероятность того, что цена акции будет расти подряд две недели. Решение: S ( n) По условию задачи случайная величина Х= ln , n 2 распределена по S (n 1) нормальному закону распределения с параметрами 0.00205 и 0.0544 .т.е X 0.00205;0.0544 .Найдем вероятность того, что цена акции будет расти подряд две 2 недели, т.е цена акции в конце первой недели будет меньше цены акции в конце второй недели: S (2) S (1) . Следовательно: S (2) S (2) S (2) P S (2) S (1) P 1 P ln ln1 P ln 0 S (1) S (1) S (1) P ( X 0) 1 1 0 0, 00205 1 0 1 Ô Ô 0, 04 0, 016 0,516 Ô 2 2 2 0, 0544 2 Ответ: вероятность того, что цена акции будет расти подряд две недели равна 0,516.