Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Задача 1. Некто заполнил карточку спортивной лотереи «6 из 49». Случайная величина X – число угаданных им номеров при розыгрыше. 1) составить таблицу распределения случайной величины X; 2) построить многоугольник распределения; 3) найти функцию распределения и построить её график; 4) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 5) найти вероятность P(X>2). Решение. Пусть X - дискретная случайная величина, равная количеству угаданных номеров в лотерее. Она может принимать значения от 0 до 6 (0,1,2,3,4,5,6). Найдем соответствующие вероятности, используя классическое определение вероятности: m P = , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число n всех возможных исходов. 49! 44 ⋅ 45 ⋅ 46 ⋅ 47 ⋅ 48 ⋅ 49 = = 13983816 - число различных 6!43! 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 способов выбрать 6 чисел из 49. Для всех случаев n = C496 = X = 0 , если из 6 чисел не угадано ни одного, то есть все они выбраны из 43 неверных 43! 38 ⋅ 39 ⋅ 40 ⋅ 41 ⋅ 42 ⋅ 43 6 чисел. Поэтому m = C43 = = = 6096454 , тогда 6!37! 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 m 6096454 P ( X = 0) = = ≈ 0, 43596 . n 13983816 X = 1 , если из 6 чисел одно угадано верно и 5 не угадано. Поэтому 43! 39 ⋅ 40 ⋅ 41 ⋅ 42 ⋅ 43 5 m = 6 ⋅ C43 = =6 = 5775588 , тогда 6!38! 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 m 5775588 P ( X = 1) = = ≈ 0, 41302 . n 13983816 X = 2 , если из 6 чисел 2 угадано верно и 4 не угадано. Поэтому 6! 43! 5 ⋅ 6 40 ⋅ 41 ⋅ 42 ⋅ 43 4 m = C62 ⋅ C43 = = = 1851150 , тогда 2!4! 4!39! 1 ⋅ 2 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 m 1851150 P ( X = 2) = = ≈ 0,13238 . n 13983816 X = 3 , если из 6 чисел 3 угадано верно и 3 не угадано. Поэтому 6! 43! 4 ⋅ 5 ⋅ 6 41 ⋅ 42 ⋅ 43 3 m = C63 ⋅ C43 = = = 246820 , тогда 3!3! 3!40! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 m 246820 P ( X = 3) = = ≈ 0, 01765 . n 13983816 X = 4 , если из 6 чисел 4 угадано верно и 2 не угадано. Поэтому 6! 43! 5 ⋅ 6 42 ⋅ 43 m 13545 2 m = C64 ⋅ C43 = = = 13545 , тогда P ( X = 4) = = ≈ 0, 00097 . 4!2! 2!41! 1 ⋅ 2 1 ⋅ 2 n 13983816 1 X = 5 , если из 6 чисел 5 угадано верно и 1 не угадано. Поэтому m = C65 ⋅ C43 = 6 ⋅ 43 = 258 , m 258 тогда P ( X = 5) = = ≈ 0, 000018 . n 13983816 1 Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей X = 6 , если из 6 чисел все 6 угаданы верно. Поэтому m = C66 = 1 , тогда m 1 ≈ 0, 00000007 . P ( X = 6) = = n 13983816 Получаем ряд распределения случайной величины X : xi 0 1 2 3 4 5 6 pi 0,43596 0,41302 0,13238 0,01765 0,00097 0,000018 0,00000007 Построим многоугольник распределения: 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0,43596 0,41302 0,13238 0,01765 0 1 2 3 0,00097 4 0,000018 0,00000007 5 6 7 Найдем функцию распределения F ( x) по определению F ( x) = P ( X < x) , то есть при х ≤ 0, F(x) = 0, при 0< x ≤ 1, F(x) = 0 +0,43596= 0,43596, при 1< x ≤ 2, F(x) = 0,43596+0,41302= 0,84898, при 2< x ≤ 3, F(x) = 0,84898 +0,13238 = 0,98136, при 3< x ≤ 4, F(x) = 0,98136 +0,01765 = 0,99901, при 4< x ≤ 5, F(x) = 0,99901 +0,00097= 0,99998, при 5< x ≤ 6, F(x) = 0,99998 +0,000018= 0,999998, при x>6, F(x) =0,999998+0,00000007= 1. Построим график функции F ( x) : 2 Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Найдем математическое ожидание: M ( x) = ∑ xi pi ≈ 0, 7347 . Найдем дисперсию: D( x) = ∑ xi2 pi − ( M ( x))2 ≈ 1,1174 − 0, 7347 2 ≈ 0,5776 . Найдем среднее квадратическое отклонение σ ( x) = D( x) = 0,5776 ≈ 0, 76 . Расчеты в таблице ниже: xi pi xi pi 2 i x pi 0 1 2 3 4 5 6 0,43596 0,41302 0,13238 0,01765 0,00097 0,000018 0,00000007 Сумма 1,0000 0 0,41302 0,26476 0,05295 0,00388 0,00009 0,00000042 0,7347 0 0,41302 0,52952 0,15885 0,01552 0,00045 0,00000252 1,1174 Найдем вероятность P(X>2): P ( X > 2) = P ( X = 3) + P ( X = 4) + P ( X = 5) + P ( X = 6) = = 0, 01765 + 0, 00097 + 0, 000018 + 0, 00000007 ≈ 0, 0186. Задача 2. Непрерывная случайная величина X задана с помощью функции распределения: 0, x ≤ 1; F ( x) = Ax ln x + Bx,1 ≤ x ≤ e; 1, x ≥ e. 1. найти неизвестные коэффициенты; 2. построить график функции распределения; 3. найти функцию плотности вероятностей и построить её график; 3 Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей 4. найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 5. найти вероятность P(X<2). Решение. Найдем неизвестные коэффициенты A и B . Используем свойства функции распределения: F (1) = 0 , F (e) = 1 . Подставляем: F (1) = A ln1 + B = B = 0 , откуда B = 0 . 1 F (e) = Ae ln e = Ae = 1, откуда A = . e Таким образом: 0, x ≤ 1; 1 F ( x) = x ln x,1 ≤ x ≤ e; e 1, x ≥ e. Построим график функции распределения: Найдем функцию плотности вероятностей по определению: 0, x ≤ 1; 0, x ≤ 1; 1 1 1 f ( x) = F '( x) = 1ln x + x ,1 ≤ x ≤ e; = ( ln x + 1) ,1 ≤ x ≤ e; x e e 0, x ≥ e. 0, x ≥ e. Построим её график: 4 Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. M (X ) = ∞ ∫ −∞ e e 1 1 1 1 f ( x) xdx = ∫ (ln x + 1) xdx = x 2 ln x + x 2 = e1 e2 4 1 11 1 1 1 1 1 3 1 3 1 = e2 ln e + e 2 − 12 ln1 + 12 = e2 − = e − ≈ 1,95. e2 4 e2 4 e4 4 4 4e D( X ) = ∞ ∫ f ( x) x dx − ( M ( X ) ) 2 −∞ e 2 e 2 1 1 11 2 3 = ∫ (ln x + 1) x 2 dx − e − = x3 ln x + x 3 − e1 4e e 3 9 1 4 2 2 2 1 11 2 11 2 3 1 5 2 3 1 3 − e − = e3 ln e + e3 − 13 ln1 + 13 − e − = e2 − − e − = 4e e 3 9 e3 9 4 4e 9 9e 4 4e 4 1 2 2 3 1 =− e − + − ≈ 0, 233. 144 9e 8 16e 2 Среднее квадратическое отклонение σ = D( X ) ≈ 0, 483 Найдем вероятность P(X<2): 1 1 P ( X < 2) = F (2) − F (−∞) = 2 ln 2 − 0 = 2 ln 2 ≈ 0, 51. e e Задача 3. Непрерывная случайная величина X задана с помощью функции плотности распределения: A , x > 0; f ( x) = 1 + x 3 0, x < 0. 1. найти неизвестные коэффициенты; 2. построить график функции плотности вероятностей; 5 Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей 3. найти функцию распределения и построить её график; 4. найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 5. найти вероятность P(X>1). ∞ Решение. Найдем неизвестный коэффициент A из условия нормировки: ∫ f ( x)dx = 1 . −∞ Получаем: ∞ ∫ −∞ B ∞ B 1 A dx 1 1 2x −1 f ( x)dx = ∫ dx = A lim ∫ arctg = A lim ln ( x + 1) − ( x 2 − x + 1) + = 3 3 →∞ →∞ B B 1+ x 1+ x 6 3 3 0 3 0 0 1 1 1 1 1 2B −1 1 −1 = A lim ln ( B + 1) − ( B 2 − B + 1) + arctg − ln (1) + (1) − arctg = B →∞ 3 6 6 3 3 3 3 3 =A 2 3 π = 1, 9 9 3 3 = . 2π 2 3π Плотность распределения принимает вид: 3 3 1 , x > 0; f ( x) = 2π 1 + x 3 0, x < 0. Построим график функции: Откуда A = x Найдем функцию распределения по определению: F ( x) = ∫ −∞ 6 f (t )dt , поэтому Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей x F ( x) = ∫ −∞ x 3 3 1 3 3 1 1 2 1 2t − 1 f (t )dt = ∫ dt = arctg ln ( t + 1) − ( t − t + 1) + = 3 2π 1 + t 2π 3 6 3 3 0 0 x = 3 3 1 1 2 1 1 1 2x −1 3 3 1 −1 arctg arctg ln ( x + 1) − ( x − x + 1) + − ln (1) − (1) + = 2π 3 6 6 3 3 3 2π 3 3 = 1 3 3 1 1 2 1 2x −1 π + + . arctg ln ( x + 1) − ( x − x + 1) + 2π 3 6 3 3 6 3 6 Получаем: 3 3 1 1 2 1 1 2x −1 π arctg + + , x > 0; ln ( x + 1) − ( x − x + 1) + F ( x) = 2π 3 6 3 3 6 3 6 0, x < 0. Построим её график. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. ∞ ∞ B 3 3 xdx 3 3 xdx M ( X ) = ∫ f ( x) xdx = = lim ∫ = 3 ∫ B →∞ 2π 0 x + 1 2π 1 + x3 −∞ 0 1 3 3 1 1 2x −1 = lim − ln ( x + 1) + ( x 2 − x + 1) + arctg 2π B →∞ 3 6 3 3 B = 0 1 3 3 1 1 1 1 2B −1 1 −1 lim − ln ( B + 1) + ( B 2 − B + 1) + arctg + ln (1) − − arctg = 1. 2π B →∞ 3 6 6 3 3 3 3 3 ∞ ∞ B 3 3 x 2 dx 3 3 x 2 dx 2 2 D( X ) = ∫ f ( x) x dx − ( M ( X ) ) = − 1 = lim −1 = 2π ∫0 x 3 + 1 2π B →∞ ∫0 1 + x 3 −∞ = = 3 2π ( lim ln ( x 3 + 1) B →∞ ) B 0 −1 = 3 2π ( ) lim ln ( B 3 + 1) − ln (1) − 1 = ∞. B →∞ 7 Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Найдем вероятность P(X>1): 3 3 1 1 2 1 1 2 −1 π + + ≈ 0,309 P( X > 1) = F (∞) − F (1) = 1 − arctg ln (1 + 1) − (1 − 1 + 1) + 2π 3 6 3 3 6 3 6 − Задача 4. Заданы функция плотности нормального распределения f ( x) = Ae интервал (-5;1). 1. 2. 3. 4. 5. 2( x / 2+1)2 9 и найти математическое ожидание m; найти среднее квадратическое отклонение σ и дисперсию D; найти неизвестный коэффициент А; найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал; построить график функции плотности и на нём отметить площадь, равную найденной вероятности. Решение. По виду плотности распределения − 2( x / 2+1)2 9 − ( x +2)2 18 − ( x +2)2 f ( x) = Ae = Ae = Ae 2⋅3 , сопоставляя его с каноническим видом для нормально распределенной случайной величины: ( x − a)2 1 f ( x) = exp − 2σ 2 σ 2π 2 Получаем, что математическое ожидание a = m = −2 . Среднее квадратическое отклонение равно σ = 3 , дисперсия D = σ 2 = 9 . 1 1 Найдем неизвестный коэффициент A = = . σ 2π 3 2π 1 − Получаем искомую плотность распределения: f ( x) = e 3 2π ( x + 2)2 2⋅32 . Найдем вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ( −5;1) . β −a α − a Используем формулу P (α < X < β ) = Φ − Φ , где Φ( x) - функция Лапласа σ σ (значения берутся из таблицы). Получаем: 1+ 2 −5 + 2 P (−5 < X < 1) = Φ −Φ = Φ (1) − Φ ( −1) = 2Φ (1) = 2 ⋅ 0, 3413 = 0, 6826. 3 3 Построим график функции плотности и на нём отметим площадь, равную найденной вероятности (закрашенная область): 8 Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Задача 5. Число потерь самолётов в эскадрильи в ходе военной операции определённой сложности подчиняется закону распределения Пуассона. Найти вероятность того, что в предстоящей операции потери будут ниже среднего, если последнее составляет для данного вида операций 7 самолётов. Решение. Пусть X - число потерь самолетов, оно распределяется по закону Пуассона со средним значением λ = 7 , то есть 7 k e −7 Pn ( k ) = - вероятность того, что потери составят ровно k самолетов. k! Тогда вероятность того, что в предстоящей операции потери будут ниже среднего, равна: Pn ( k < 7 ) = P (0) + P (1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = = 7 0 e−7 71 e −7 7 2 e −7 73 e−7 7 4 e −7 75 e −7 7 6 e−7 + + + + + + ≈ 0, 45. 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! Ответ: 0,45. 9