Вопросы по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Вопросы по дисциплине
«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Вопросы по Аналитической Геометрии
1. Направленные отрезки на оси. Линейные операции над направленными отрезками.
Основное тождество. Величина отрезка.
2. Направленный отрезок на плоскости и в пространстве. Проекция направленного
отрезка на ось. Расстояние между двумя точками. Декартова система координат.
3. Полярные, сферические и цилиндрические системы координат. Переход из
полярной системы координат в декартову и обратно. Поворот и параллельный
перенос декартовой системы.
4. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная независимость векторов.
5. Коллинеарность. Условия коллинеарности двух векторов. Компланарность.
Условие компланарности двух векторов.
6. Понятие базиса. Разложение вектора по базису.
7. Скалярное произведение двух векторов. Свойства скалярного произведения.
Скалярное произведение в координатах.
8. Векторное произведение. Свойства векторного произведения. Векторное
произведение в координатах.
9. Смешанное произведение. Свойства смешанного произведения. Смешанное
произведение в координатах.
10. Различные виды уравнения прямой на плоскости.
11. Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.
Нормированное уравнение прямой. Понятие отклонения точки от прямой.
Уравнение пучка прямых.
12. Различные виды уравнения плоскости. Угол между плоскостями.
13. Угол между плоскостями. Условия перпендикулярности и параллельности
плоскостей. Нормированное уравнение плоскости. Понятие отклонения точки от
плоскости. Уравнение пучка плоскостей.
14. Различные виды уравнения прямой линии в пространстве. Угол между прямыми в
пространстве. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.
15. Угол между прямыми в пространстве. Условия перпендикулярности и
параллельности прямых. Условия принадлежности прямых к одной плоскости.
Условие принадлежности прямой к плоскости. Связка прямых.
16. Эллипс. Вывод канонического уравнения. Исследование формы эллипса по его
каноническому уравнению. Директриса эллипса.
17. Гипербола. Вывод канонического уравнения. Исследование формы гиперболы по
его каноническому уравнению. Директриса гиперболы.
18. Парабола. Вывод канонического уравнения. Исследование формы параболы по его
каноническому уравнению. Директриса параболы.
19. Понятие поверхности второго порядка. Исследования формы поверхностей
эллипсоида, конуса и цилиндра второго порядка.
20. Понятие поверхности второго порядка. Исследования формы поверхностей
гиперболоидов и параболоидов.
Вопросы по Линейной Алгебре
1. Перестановка. Нечетность и четность перестановки
2. Подстановка. Четность и нечетность подстановки.
3. Миноры и алгебраические дополнения.
4. Теорема Лапласа.
5. Определение детерминанта n-ого порядка. Свойства.
6. Свойства определителя n-ого порядка.
7. Свойства определителя n-ого порядка.
8. Свойства определителя n-ого порядка.
9. Определитель, в котором с некоторой его строки прибавили другую строку,
умноженную на постоянное число.
10. Теорема Крамера для системы линейных уравнений.
11. Матрицы. Вид матрицы. Операции над матрицами.
12. Свойства операций над матрицами.
13. Произведение матриц. Свойства операций умножения матриц.
14. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
15. Свойства обратной матрицы. Доказать, что вырожденная матрица не имеет
обратной.
16. Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц.
17. Матричные уравнения. Решения систем линейных уравнений в матричной форме.
18. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров.
19. Теорема о ранге матриц.
20. Теорема Кронекера-Капелли.
21. Общий случай решения систем m – линейных уравнений n- неизвестными.
22. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
23. Определение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса.
24. N – мерные векторы. Аксиоматическое определение n – мерного векторного
пространства.
25. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Эквивалентность двух
определений.
26. Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов. Доказать одно из
них.
27. Теорема о системе векторов, содержащей нулевой вектор.
28. Теорема о расширении линейно зависимой системы векторов.
29. Теорема о подсистеме линейно независимых векторов.
30. Необходимые и достаточные условия линейной независимости данной системы
векторов.
31. Два определения координат векторов в n-мерном пространстве.
32. Базис n-мерного линейного пространства. Теорема о разложении произвольного
вектора линейного пространства по векторам базиса.
33. Переход к новому базису в n-мерном пространстве.
34. Теорема о соответствии линейному оператору А в векторном пространстве
некоторой квадратной матрицы.
35. Линейный оператор. Примеры.
36. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
37. Характеристический многочлен и характеристическая матрица линейного
оператора.
38. Евклидово векторное пространство. Длина вектора, угол между векторами.
39. Ортонормированный базис.
40. Системы однородных линейных уравнений. Ненулевые решения систем
однородных линейных уравнений.