Перевод на 2 курс 3 семестр

Аттестационные испытания при переводе, восстановлении, поступлении на
второе высшее образование на мате матический факультет
Математика (бакалавриат). Перевод на 2 курс 3 семестр.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Предмет математического анализа. Исторические сведения.
Действительные числа и их свойства. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа. Сложение, умножение и сравнение действительных чисел. Аксиома непрерывности.
Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями и изображение действительных чисел на прямой.
Примеры числовых множеств: интервалы, отрезки, промежутки и др. Ограниченные и неограниченные множества. Неограниченность сверху множества натуральных чисел.
Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема существования верхней и нижней граней.
Свойства верхних и нижних граней числовых множеств.
Задачи, приводящие к понятию предела последовательности. Определение предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Примеры. Ограниченные и неограниченные последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
Бесконечно малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие последовательности и
их связь с бесконечно малыми. Арифметические свойства предела последовательности; теоремы о
пределе суммы, произведения и частного. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о
пределе промежуточной последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности. Число е. Теорема Кантора. Подпоследовательности. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема
Больцано-Вейерштрасса. Использование предела последовательности для измерения геометрических величин. Частичные пределы последовательности. Верхний и нижний пределы.
История возникновения и развития понятия функции. Числовые функции. Способы задания
и график функции. Арифметические операции над функциями. Композиция функций. Обратная
функция. Монотонные функции. Периодические функции. Чётные и нечётные функции. Основные
элементарные функции. Степенная функция с натуральным, целым и рациональным показателями.
Определение степени с действительным показателем. Показательная функция и её свойства. Логарифмическая функция и её свойства. Тригонометрические гиперболические и обратные к ним
функции.
Задачи, приводящие к понятию предела функции. Определение предела функции. Примеры. Предел функции по Гейне. Арифметические свойства предела функции; теоремы о пределе
суммы, произведения и частного. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе
промежуточной функции. Теорема о пределе композиции. Предел отношения синуса к аргументу,
стремящемуся к нулю. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие и их связь
с бесконечно малыми. Расширение понятия предела функции на бесконечно удаленные точки. Показательно-степенная функция. Пределы, связанные с числом е. Предел по множеству. Пределы
функции слева и справа.
Определение непрерывности функции в точке и на множестве. Примеры непрерывных
функций. Свойства непрерывных функций; непрерывность суммы, произведения, частного и композиции. Теорема о непрерывности обратной функции. Точки разрыва и их классификация. Точки
разрыва монотонной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема о промежуточном значении, теоремы об ограниченности и о наибольшем и наименьшем значениях. Равномерная непрерывность функции на множестве. Примеры равномерно и неравномерно непрерывных функций. Свойства равномерно непрерывных функций. Теорема о равномерной непрерывности функции непрерывной на отрезке.
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение дифференцируемости функции
и производной. Производные основных элементарных функций. Геометрический и физический
смыслы дифференцируемости и производной. Уравнение касательной и нормали к графику дифференцируемой функции. Дифференцирование суммы, произведения, частного, композиции и об-
ратной функции. Дифференциал, его геометрический и физический смыслы. Инвариантность
формы дифференциала относительно замены переменной. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа 0/0 и /. Формула Тейлора. Вычисление приближенных значений функций с помощью
формулы Тейлора.
Экстремум функции. Исследование функции на возрастание, убывание и экстремум с помощью производных. Выпуклые функции и точки перегиба. Необходимое и достаточное условие
выпуклости дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
Асимптоты.
Различные способы задания кривых на плоскости и пространстве. Параметрически заданные кривые. Примеры. Кривые, заданные уравнением в полярных координатах. Примеры.
Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Нахождение касательных к параметрически заданным кривым на плоскости и пространстве.
Определение первообразной функции и неопределённого интеграла. Таблица неопределённых интегралов основных элементарных функций. Свойства неопределённого интеграла: вынесение постоянного множителя за знак интеграла, интегрирование суммы. Интегрирование по частям,
подстановка и замена переменных в неопределённом интеграле.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональных
функций. Подстановки Эйлера. Интегрирование дифференциального бинома. Интегрирование
тригонометрических и гиперболических функций.
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Интегральные суммы Римана и
определённый интеграл. Простейшие свойства определённого интеграла: вынесение постоянного
множителя за знак интеграла, интегрирование суммы, интегрирование неравенств. Ограниченность интегрируемой функции. Верхние и нижние суммы Дарбу. Критерий интегрируемости.
Верхний и нижний интегралы функции. Аддитивность определённого интеграла. Интегрируемость непрерывной функции и ограниченной функции, имеющей конечное множество точек разрыва. Интегрируемость монотонной функции.
Определённый интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Непрерывность
определённого интеграла как функции верхнего предела. Дифференцирование интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой
переменной в определённом интеграле.
Понятие квадрируемой фигуры на плоскости и её площади. Свойства квадрируемых фигур.
Критерий квадрируемости. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла. Нахождение площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора, заданного
уравнением в полярных координатах.
Понятие спрямляемой кривой на плоскости и её длины. Вычисление длины гладкой кривой
с помощью определённого интеграла.
Понятие кубируемого тела в пространстве и его объёма. Вычисление объёма тела вращения
с помощью определённого интеграла. Вычисление площади поверхности тела вращения.
Приложение определённого интеграла к нахождению некоторых физических величин: пути, массы, работы, статических моментов, координат центра тяжести и др.
Студенты должны уметь
1. Строить эскизы графиков функций, используя линейные и модульные преобразования графиков.
2. Исследовать ограниченность множеств и находить их грани.
3. Используя определение предела, доказывать сходимость и расходимость последовательностей.
4. Вычислять пределы последовательностей.
5. Используя определение предела, доказывать равенства, связанные с пределом функции.
6. Вычислять пределы функций.
7. Доказывать по определению непрерывность функции в точке.
8. Находить и классифицировать точки разрыва функций.
9. Дифференцировать функции.
10. Находить производные высших порядков.
11. Вычислять пределы функций с помощью правил Лопиталя и формулы Тейлора.
12. Исследовать функции и строить их графики.
13. Вычислять неопределённые и определённые интегралы.
14. Вычислять площади плоских фигур, длины плоских кривых, объёмы и площади поверхностей тел вращения с помощью определённого интеграла.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1,2,3. – М.: Дрофа, 2003-2006.
2. Архипов Г.И., В.А. Садовничий, Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. –
М: Дрофа, 2004.
3. Зорич В.А. Математический анализ, т.1,2. – М.: МЦНМО, 2007.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, т.1,2. – М.: Физматлит, 2006.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1,2. – СПб.: Лань, 2006.
6. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Физматлит, 2001.
7. Асланов Р.М., Джабраилов М.С., Колягин С.Ю., Топунов М.В. Математический анализ,
ч.1,2. – М.: Изд-во МПГУ, 2005-2006.
8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: АСТ,
2005.
9. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу, т.1,2,3. – М.: Физматлит, 2003.
10. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, кн.1, 2. – М.: Высшая школа, 2002.
11. Брайчев Г.Г., Колягин С.Ю., Топунов М.В. Интегральное исчисление функций нескольких
переменных. – М.: Прометей, 2002.
12. Колягин С.Ю., Быкова О.Н. Практические занятия по математическому анализу, ч.1. –
М.: Изд-во МПГУ, 2009.
АЛГЕБРА
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия
над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корня nой степени из комплексного числа. Корни n-ой степени из единицы. Первообразные корни.
2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы. Фактормножество. Сюръективные, инъективные и биективные функции. Композиция функций.
3. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И КЛАССЫ ВЫЧЕТОВ
Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух целых чисел. Алгоритм
Евклида. Теорема о разложении натурального числа в произведение простых чисел. Каноническое
разложение натурального числа.
Свойства отношения сравнимости по натуральному модулю. Классы вычетов по модулю n.
Операции над классами вычетов.
4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы.
Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Область целостности.
Поле. Простейшие свойства поля. Примеры полей. Подполе.
5. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ НАД ПОЛЕМ
Полиномы над полем. Степень полинома. Теорема о делении с остатком. Теорема Безу.
Схема Горнера. Рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами.
Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида.
Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.
6. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Кольцо квадратных матриц. Обратимость квадратных матриц, обратная матрица. Способ
вычисления обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Определитель n-го порядка и его свойства Определитель произведения двух матриц. Способы вычисления определителей n-го порядка.
Вычисление обратной матрицы с помощью определителей.
7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение и
исследование системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных. Общее решение системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных
уравнений (теорема Кронекера-Капелли).
Матричная запись решения систем линейных уравнений. Теорема Крамера.
8. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ
Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и ранг системы векторов. Базис и размерность конечномерного векторного пространства.
Изоморфизмы векторных пространств. Необходимое и достаточное условие изоморфизма
конечномерных векторных пространств.
Подпространства. Линейные многообразия. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Условие, при котором сумма подпространств является прямой.
Линейные операторы. Ядро и образ линейного оператора, ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта. Матрица оператора в данном базисе. Матрица перехода от
базиса к базису. Связь между матрицами оператора в различных базисах. Собственные векторы и
собственные значения линейного оператора. Свойство корней характеристического уравнения
оператора. Условия приведения матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Векторное пространство со скалярным умножением, примеры. Ортогональная система векторов, ее независимость. Процесс ортогонализации.
Евклидово векторное пространство. Норма вектора.
ПЕРЕЧЕНЬ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1. Решить систему уравнений с действительными коэффициентами методом последователь-
ного исключения переменных:
х1 + 2х2 + 3х3 + х4 = 1,
-2х1 + 2х2 - 4х3 + 2х4 = 6,
3х1 + 2х2 + 8х3 + х4 = -3.
2. Решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными с комплексными коэффициентами методом Крамера:
7 х1 -3 х2=1,
3 х1 + х2=5.
3. Решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами: x2 - (1 + i)x + 6+3i = 0.
4. Найти геометрическое место точек, изображающих комплексные числа, если заданы ограничения на модуль или аргумент: а) 1  | z - 2i | < 2; б) 2 < | z |  3, 0  arg z <

4
.
30
9
5. Выполнить указанные действия над комплексными числами: а) (1  i ) ; б)  3  i  .


7
(1  i )
 1 i 
6. Найти все обратимые элементы и все делители нуля в данном кольце классов вычетов:
а) Z12; б) Z40; в) Z23.
7. Разложить полином f(x) по степеням двучлена х - х0 с помощью схемы Горнера:
f(x)= x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 1, x0 = -1
8. Определить кратность корня -2 для полинома x5 + 7х4 + 16x3 + 8x2 - 16x - 16 с помощью
схемы Горнера.
9. Найти рациональные корни целочисленного полинома:
а) 6х4 + 19x3 - 7x2 - 26х+ 12; б) х5 - 2х4 - 4x3 + 4x2 - 5х+ 6; в) 24х5 + 10х4 - x3 - 19x2 - 5х+ 6.
10. Найти НОД данных полиномов и его линейное выражение: f(x)= x4 + x3 +4x2 -2x -1, g(x)= 2x3
- x2 +3x -2.
11. Определить, является ли множество группой (кольцом, полем) относительно данных операций:
а) является ли множество G={<a, b> | a0, a, bQ} группой относительно операции ,
определенной следующим образом: <a, b>  <c, d> = <ac, ad+b> ?
б) является ли множество P1 = {<m, n> | m, nN} кольцом относительно операций  и ,
заданных следующим образом <m, n>  <k, l> = <m+k, n+l> , <m, n>  <k, l> = <mk +nl, ml+nk>?
12. Найти базис системы векторов и координаты всех векторов системы в найденном базисе:
a1 = (2, 1, -3, 1), a2 = (2, 2, -6, 2), a3 = (6, 3, -9, 3), a4 = (1, 1, 1, 1).
13. Найти ранг матрицы:
2
3
 1

1
/
2
1
3
/2

1 / 3 2 / 3
1

1 / 4 1 / 2 3 / 4

4 

2 .
4 / 3

1 
14. Найти базис и размерность суммы и пересечения данных подпространств:
L1= <(2, -1, 0, -2), (3, -2, 1, 0), (1, -1, 1, -1)> и L2= <(3, -1, -1, 0), (0, -1, 2, 3), (5, -2, -1, 0)>.
15. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений:
х1 + 2х2 + 4х3 - 3х4 = 0,
3х1 + 5х2 + 6х3 - 4х4 = 0,
4х1 + 5х2 - 2х3 + 3х4 = 0,
3х1 + 8х2 + 24х3 -19х4 = 0.
16. Вычислить обратную матрицу для матрицы
3

1
5

2

1
4 
2
3
3
с помощью элементарных преобра-
зований и с помощью алгебраических дополнений.
17. Вычислить определитель 4-го порядка:
4
3
3
3
4
2
3
3
5
5
2
4
2
4
2
3
18. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданных в некотором базисе матрицей:
 2

 1
 0

1
2
0
1 
.
 1
1 
3
5  4 2
19. Найти размерность ядра (образа) линейного оператора, заданного матрицей  2 4  6 3  .
11 17  8 4 


1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.:Наука, 1977.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.:
Просвещение, 1993.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во
"Лань", 2005.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1970.
Сборник задач по алгебре / Под ред. А.И. Кострикина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Винберг Э.Б. Курс алгебры. – М.:Факториал, 1999.
Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973.
10. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1980.
ГЕОМЕТРИЯ
1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
Направленные отрезки. Векторы. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило параллелограмма. Правило многоугольника. Разность векторов. Умножение вектора на число. Свойства. Коллинеарные и компланарные векторы. Теорема о коллинеарных векторах. Теорема о компланарных векторах.
Линейная зависимость векторов. Свойства. Геометрический смысл линейной зависимости
двух и трех векторов. Теорема о линейной зависимости четырех векторов.
Координаты вектора в базисе. Теоремы о координатах суммы векторов и произведения вектора на число. Критерии коллинеарности и компланарности векторов в координатах.
Проекция направленного отрезка на прямую. Теорема о проекции эквиполентных направленных отрезков. Векторная проекция вектора на ось. Скалярная проекция вектора на ось. Теорема о проекции суммы векторов. Теорема о проекции прозведения векторов.
Угол между векторами. Теорема об ортогональной проекции вектора.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Ортонормированный базис. Таблица скалярного умножения. Вычисление скалярного произведения векторов и длины вектора в ортонормированном базисе. Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе.
Векторное подпространство. Примеры векторных подпространств. Векторное подпространство векторов, параллельных плоскости.
Ориентация пространства V 3 . Векторное произведение векторов. Свойства. Таблица векторного умножения. Формула для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе.
Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл смешанного произведения трех
некомпланарных векторов. Вычисление смешанного произведения векторов в произвольном базисе. Формула для вычисления смешанного произведения векторов в правом ортонормированном
базисе. Теорема о вычислении объема тетраэдра.
2. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
Аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Теорема о
координатах вектора. Прямоугольная декартова система координат. Теорема о длине отрезка.
Простое отношение трех точек. Свойства.
Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой на плоскости и в пространстве.
Условие, определяющее фигуру на плоскости (в пространстве). Алгебраическая линия. Алгебраическая поверхность. Теорема о порядке алгебраической линии (поверхности). Пример алгебраической линии второго порядка. Окружность. Множество, задаваемое уравнением
x 2  y 2  2 Ax  2By  C  0 . Пример алгебраической поверхности. Сфера. Множество, задаваемое
уравнением x 2  y 2  z 2  2 Ax  2By  2Cz  D  0 .
3. ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Различные виды уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой по точке и вектору
нормали. Теорема о прямой (на плоскости). Взаимное расположение прямой и аффинной системы
координат.
Геометрический смысл знака трехчлена Ах+Ву+С. Взаимное расположение двух прямых на
плоскости. Теорема о совпадении двух прямых.
Метрические задачи теории прямой (расстояние от точки до прямой, угол между прямыми).
Различные виды уравнений плоскости. Задание плоскости по точке и вектору нормали. Взаимное
расположение плоскости и аффинной системы координат.
Геометрический смысл знака четырехчлена Ax  By  Cz  D . Взаимное расположение двух
плоскостей в пространстве. Теорема о совпадении плоскостей.
Метрические задачи теории плоскостей (расстояние от точки до плоскости, угол между
плоскостями). Различные способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Метрические задачи теории прямых и плоскостей (угол между прямыми, угол между прямой
и плоскостью, расстояние от точки до прямой, расстояние между скрещивающимися прямыми).
4. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Векторное пространство. Примеры. Базис. Координаты вектора и их свойства. Векторное
подпространство. Примеры. Линейная оболочка векторов и ее задание системой однородных линейных уравнений.
Билинейная форма. Матрица и ранг билинейной формы. Евклидова структура на векторном
пространстве.
Базис сопряженных векторов. Длина вектора, угол между векторами. Ортонормированный
базис. Формулы для вычисления длины вектора и угла между векторами в ортонормированном
базисе.
Аффинное пространство. Примеры. Свойства. Евклидово пространство. k-мерные плоскости
аффинного пространства.
5. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Эллипс. Гипербола. Парабола. Каноническое уравнение эллипса, гиперболы, параболы.
Эксценириситет. Теорема об асимптотах гиперболы. Директориальное свойство эллипса и гиперболы. Ориентация плоскости. Направленный угол. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Мнимые точки плоскости. Общее уравнение линии второго порядка. Теорема о пересечении линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления относительно линии второго
порядка. Асимптоты, их уравнения.
Центр линии второго порядка. Центральные и нецентральные линии второго порядка.
Касательная и диаметр линии второго порядка. Теорема о касательной. Теорема о диаметре.
Сопряженные направления и сопряженные диаметры. Теоремы о множестве диаметров центральных и нецентральных линий второго порядка. Аналитический критерий сопряженных направлений. Главные направления относительно линии второго порядка. Теорема о количестве главных
направлений. Главный диаметр. Теорема о главных диаметрах.
Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Классификация линий второго порядка.
6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Метод сечений. Цилиндрические и конические поверхности. Примеры цилиндрических и
конических поверхностей второго порядка. Невырожденный конус. Уравнение цилиндрической
поверхности. Уравнение конической поверхности второго порядка.
Эллипсоиды. Двуполостный гиперболоид. Однополостный гиперболоид. Эллиптический
параболоид. Гиперболический параболоид. Исследование методом сечений. Свойства. Теорема об
однополостном гиперболоиде и о гиперболическом параболоиде как дважды линейчатых поверхностях. Свойства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида и гиперболического
параболоида.
Поверхности вращения. Теорема о поверхности вращения.
7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Отображения и преобразования плоскости. Примеры. Движения плоскости. Примеры движений. Аффинный репер на плоскости. Основная теорема теории движений. Свойства движений.
Два рода движений. Теорема о движениях 1 и 2 рода. Формулы движения. Формулы параллельного переноса, поворота, осевой симметрии, скользящей симметрии. Инвариантные точки и прямые
движений. Классификация движений 1 и 2 рода. Композиция движений. Разложение движения в
композицию осевых симметрий.
Группа преобразований множества. Группа движений и ее подгруппы.
Преобразование подобия. Теорема о композиции подобий и обратном подобии. Гомотетия.
Формулы и свойства гомотетии. Теорема о разложении подобия. Свойства подобий. Формулы подобий. Классификация подобий.
Аффинные преобразования плоскости. Свойства аффинных преобразований. Родство и его
свойства.
8. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА.
Движения пространства. Примеры. Свойства. Основная теорема теории движений. Теорема
о неподвижной прямой. Признак зеркальной симметрии. Признак поворота. Движения пространства 1 и 2 рода. Композиция движений пространства. Классификация движений пространства.
Преобразование подобия пространства. Разложение подобия в композицию движения и гомотетии. Аффинном преобразовании пространства. Основная теорема. Примеры. Группа аффинных преобразований.
ПЕРЕЧЕНЬ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ:
1. Даны векторы и . Постройте векторы
5
,
.
2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , О – точка пересечения диагоналей параллелепипеда.
Найдите координаты векторов
в базисе {
.
3. a (5,-2,0), b (0,-3,4), c (-6,0,1). Образуют ли векторы a , b , c базис?
4. Являются ли векторы компланарными a (3,-4,1), b (-2,1,1), c (-1,3,-2)?
5. Представить вектор d (3,-2,14) как линейную комбинацию векторов a , b , c , если a (-1,5,4),
b (0,1,0), c (2,-3,5).
6. Пусть { , , } - ортонормированный базис. При каких значениях  векторы a  2i  j  3 k и
b   2 i  4 j  3k перпендикулярны?
7. Дана аффинная система координат
. Постройте точки А(3,0), В(0,-4), С(2,3), D(-5, ½).
8. АВСD – параллелограмм, А(-2,1), В(1,3), С(4,0). Найдите координаты вершины D.
9. Будет ли угол АВС острый, прямой, или тупой, если А(0,0), В(2,0), С(1, 3 ) (ПДСК)?
10. Точка С лежит на отрезке АВ и АС : СВ = 2 : 3. а) Найдите простое отношение (АВ,С); б)
зная координаты точек А(1, 1) и В(2, -1), найдите координаты точки С.
11. Зная координаты вершин треугольника АВС А(5,-4), В(-1,2), С(5,1) в прямоугольной декартовой системе координат, найдите длину медианы АМ.
12. Найдите параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку Р(-2,3) параллельно
прямой 2х-5у+1=0; б) проходящей через точки М1(0, -2) и М2(3, - 4); в) проходящей через
точку М0(1, -3) и параллельной оси Ох.
13. Даны две вершины треугольника АВС А(-1, 5), В(3,2) и точка Н(5, -3) пересечения его высот
(
). Составьте уравнения сторон этого треугольника.
14. Исследуйте взаимное расположение следующих пар прямых:
а) х+3у-3=0 и 2х-2у-6=0; б) х+2у+1=0 и 2х+4у+3=0;
в) у=3 и х+у=0;
г) х-у-3=0 и 2х-2у-6=0; д) х=1+t, у=2- t и х=2t, у=3-2t; е) х+2у+3=0 и х=1- t, у=2+2t.
15. Вычислите расстояние от точки М до прямой l, если М(2, 4) и l: 3х+4у+3=0.
16. Найдите уравнения касательных к окружности
5, проходящих через точку М(-1, 3).
ABCDA1B1C1D1
17. В аффинной системе координат даны координаты вершин параллелепипеда
:
А(2,-1,1), В(1,3,4), А1(4,2,0), D(6,0,1). Найдите координаты остальных вершин.
18. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
, если {
- ортонормированный базис.
19. Найдите отношение объема параллелепипеда к объему тетраэдра, ребрами которого служат
диагонали трех граней параллелепипеда, выходящие из одной его вершины.
20. Найдите длину высоты DH тетраэдра ABCD , если А(2, 4, -1), В(2, 5, 0), С(6, 4, 0), D (5, 10, -1).
21. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах
,
.
и , если
,
22. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 ,
яние между прямыми AB и A1C .
23. Найдите
длину высоты
. Найдите рассто-
параллелепипеда,
построенного
на
векторах
,
,
, где { ,
}- ортонормированный базис.
24. Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей
x  y  z  1  0 и 2 x  3 y  z  2  0 , и перпендикулярной к плоскости x  y  2 z  1  0 (ПДСК).
25. Через точку А(-5,16,15) проведены плоскости: одна содержит ось Ox , другая - Oy . Найдите
угол между этими плоскостями (ПДСК).
26. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку К(2, 1, -1), которая перпендикулярна
прямым x  y  3  0, x  2 y  z  0 и x  1  4t , y  2  7t , z  1  t (ПДСК).
27. Найдите уравнения проекции прямой 2 x  y  z  1  0, 2 x  2 y  z  1  0 на плоскость
x  y  2 z  2  0 в направлении вектора p  2,1,1 (аффинная система координат).
28. Найдите уравнения прямой, проходящей через точку А(2,-1,0), которая пересекает под прямым
углом прямую x  t , y  1  3t , z  1  2t (ПДСК).
29. Через точку В(0, 0, 1) проведите плоскость, перпендикулярную к плоскости x  z  2  0 и об
разующую с плоскостью x  4 y  8 z  12  0 угол 4 (ПДСК).
x  2 y 1 z


4
2 и x  7  6t , y  1  8t , z  3  4t (ПДСК).
30. Найдите расстояние между прямыми 3
31. Написать каноническое уравнение эллипса с эксцентриситетом   3 и большой полуосью
3
a  3.
32. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее директрисами равно
8
и   3.
3
2
33. Написать уравнения асимптот линии второго порядка 4 x 2  12 xy  9 y 2  36 x  100  0 .
2
34. Дана парабола y  10 x . Найти касательные к этой параболе в точках ее пересечения с прямой
y  4x  5 .
35. Найти касательную к гиперболе
x2
y2

1
9
4
,
проходящую через точку
 3,1 .
x2
y2

1
16
4
,
36. Написать уравнения двух сопряженных диаметров эллипса
один из которых паx

2
y

1

0
раллелен прямой
.
37. Написать уравнение главного диаметра и найти координаты вершины параболы
x 2  2 x  y  1  0 (ПДСК).
38. Определить вид линии второго порядка, не приводя ее уравнение к каноническому виду
2
2
а) 2 xy  4 x  2 y  5  0 ; б) 9 x  24 xy  16 y  29 x  110 y  50  0 ;
39. Составить уравнение конуса с вершиной (0,0,3), направляющая которого задана уравнениями
x2
y2

 1, z  0
2
4
(ПДСК).
2
2
40. Составить уравнения цилиндра, если его направляющая имеет уравнения 2 y  3z  1  0, x  1,
p  1, 2,3
а образующая параллельна вектору
(АСК).
41. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида
4 x 2  y 2  16 z , которые пересекаются в точке А(2,0,1) (ПДСК).
42. Составить
2
2
уравнения
прямолинейных
образующих
однополостного
гиперболоида
2
x
y
z


1
9
4 16
, перпендикулярных оси Oy (ПДСК).
43. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического
4x 2  y 2  z , которые образуют с прямой x  y  0, z  0 угол 450 (ПДСК).
x y
 1
2 2
,
44. Изобразить геометрическое тело, ограниченное плоскостью
2
2
и поверхностью x  y  z .
параболоида
плоскостями координат
45. Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данной прямой и
окружности делился точкой пополам.
46. Построить квадрат, если дан его центр и две точки, принадлежащие противоположным сторонам квадрата.
47. Написать формулы движения, единственная инвариантная прямая которого параллельна пряB 0,1  B  2,1
мой x  y  6  0 и  
.
48. Найти уравнение прообраза прямой 3x  y  2  0 при движении 1 рода, при котором прямая
2 x  y  0 инвариантна, а прямая 4 x  3 y  0 переходит в прямую 4 x  3 y  4  0 .
M  6, 2
49. Найти образ точки
при движении, не имеющем инвариантных точек и переводящем

A  0,1  A  3, 2 B  1,0  B  2,1
,а
.
 3, 2  при движении первого рода, для которого точка
50. Найти координаты прообраза точки
 0, 0  инвариантна, прямая x  3 y  1  0 переходит в прямую 3x  y  1  0 .
51. Доказать, что формулы, записанные в ПДСК, задают движение, определить его вид и задающие элементы, записать уравнения инвариантных прямых, найти образ и прообраз прямой
2
2
x  y  1  0 при этом движении, образ и прообраз окружности  x  1   y  1  1 .
2
2
2
2
1
3
3
3
1
1
x
y, y  
x
y
x   x 
y
, y 
x y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2;
1)
;
2)
1
3
3
3
1
1
x  x 
y
, y 
x y


x

x

2,
y

y

6
2
2
2
2
2
2 ; 5) x   x  2, y   y  2 ;
3)
; 4)
x 
M 1, 2
52. Найти уравнение прообраза прямой 5 x  3 y  0 при гомотетии с центром в точке 0   , которая переводит прямую 2 x  y  1  0 в прямую 2 x  y  5  0 .
53. Построить прообраз данной прямой при гомотетии, заданной парой соответствующих точек
A  A и инвариантной прямой b .
a  a a a
54. Сдвиг задан парой соответствующих прямых
и инвариантной прямой b . Построить образ данного треугольника (квадрата, параллелограмма) при данном сдвиге. Сколько
решений имеет задача?
55. Определить вид движения пространства x '  y, y '   z  2, z '  x .


Литература.
1. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия . -Часть 1. - М.: Просвещение, 1987.
2. Базылев В.Т., Дуничев К. И. , Иваницкая В.П. Геометрия. - Часть 1. - М.: Просвещение,
1974.
3. Постников М.М. Аналитическая геометрия Семестр 1, 1986.