п т 

1. Матрицы.
Определение
числовой
матрицы
размера
т п . Способы
обозначения матрицы. Элемент матрицы. Множество матриц одинакового
размера. Конечная и бесконечная матрица. Действительная матрица. Виды
матриц: матрица-строка, матрица-столбец, нулевая матрица, квадратная
матрица (главная и побочная диагонали квадратной матрицы), диагональная
матрица, единичная матрица, матрица первого порядка, ступенчатая матрица
(ведущие элементы), треугольные матрицы, симметричная и антисимметричная
(кососимметричная) матрица. Равные матрицы. Свойства равных матриц.
Сумма матриц. Свойства суммы матриц. Произведение матрицы на скаляр.
Свойства произведения матрицы на скаляр.
2. Произведение двух матриц. Свойства произведения матриц. Коммутирующие
матрицы. Свойства нулевой матрицы. Свойство единичной матрицы. Символ
Кронекера. Транспонирование матриц. Свойства транспонированной матрицы .
3. Элементарные преобразования матриц. Теорема о приведении квадратной
матрицы к треугольному виду.
4. Определитель (детерминант) квадратной матрицы. Определение и обозначения
детерминанта
п -порядка. Алгебраическое дополнение элемента а ij . Минор,
дополнительный к элементу а ij . Определитель первого порядка. Определитель
второго порядка. Определитель третьего порядка. Мнемонические правила
Саррюса для определителей третьего порядка: правило треугольника и
правило приписывания двух столбцов (двух строк).
5. Свойства определителей и следствия из свойств. Проверка справедливости
свойств определителей на примере определителей второго порядка.
6. Обратная матрица. Определение обратной матрицы. Вычисление обратной
матрицы с помощью присоединённой матрицы. Свойства обратной матрицы.
Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.
Мнемоническое правило для нахождения присоединённой матрицы к матрице
второго порядка. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований.
7. Системы линейных алгебраических уравнений: общий вид, неизвестные,
коэффициенты системы, свободные члены. Понятие о линейной комбинации
п
математических объектов. Основные определения: однородная о неоднородная
системы,
квадратная
система,
решение
системы
линейных
уравнений,
совместная и несовместная система, определённая и неопределённая система,
частное и общее решение, одинаковые и разные решения, эквивалентные
системы, тривиальное решение. Теорема об эквивалентных системах линейных
алгебраических уравнений. Запись системы линейных уравнений в матричной
форме. Матричный способ решения квадратных систем линейных уравнений.
8. Формулы Крамера. Необходимое и достаточное условие существования
определённых
квадратных
систем
линейных
алгебраических
уравнений.
Признаки существования несовместных и неопределённых квадратных систем
линейных алгебраических уравнений.
9. Минор матрицы
k -порядка. Ранг матрицы: определение, обозначение, область
возможных значений. Базисный минор матрицы, базисные строки и базисные
столбцы матрицы. Теорема о базисном миноре матрицы. Теорема о сохранении
ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.
10. Теорема
Кронекера-Капелли.
Расширенная
матрица
системы
линейных
алгебраических уравнений. Теорема о числе решений.
11. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. «Прямой»
и «обратный» ход метода Гаусса.
12. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства решений
однородных линейных систем. Фундаментальная система решений однородной
линейной системы. Базисные (главные) и свободные неизвестные. Теорема о
структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических
уравнений.
Необходимое
и
достаточное
условие
существования
нетривиального решения однородной квадратной линейной системы. Теорема о
структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических
уравнений.
13. Геометрический вектор. Равенство геометрических векторов. Начальная и
конечная точки. Длина (модуль) вектора. Нулевой вектор. Коллинеарные и
компланарные
векторов:
векторы.
правило
Линейные
операции
параллелограмма,
над
правило
векторами.
Сложение
замыкания
открытого
многоугольника (правило треугольника). Разность двух векторов. Умножение
вектора на число. Орт вектора. Необходимое и достаточное
условие
коллинеарности двух ненулевых векторов в векторной форме.
14. Свойства линейных операций над векторами. Пространства геометрических
векторов
V1 ,V2 ,V3 .
15. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Теорема о
линейной зависимости системы векторов в
V1 ,V2 ,V3 . Базис пространства V n .
Координаты и компоненты вектора в базисе
V n . Теорема о единственности
разложения вектора по базису. Базис пространств
пространства
Необходимое
V1 ,V2 ,V3 . Размерность
V n . Линейные операции над векторами в координатной форме.
достаточное
условие
коллинеарности
координатной форме.
16. Линейные пространства. Примеры линейных пространств.
двух
векторов
в
17. Линейный оператор. Собственные значения и собственные векторы линейного
оператора.
18. Матрица линейного оператора. Изменение вектора и матрицы линейного
оператора при замене базиса.
19. Евклидовы пространства. Квадратичные формы. Приведение квадратичной
формы к каноническому виду.
20. Декартовы системы координат. на плоскости и в (трёхмерном) пространстве.
Проекция точки на ось. Радиус-вектор точки относительно начала. Декартовы
координаты
вектора.
Длина
вектора
в
декартовой
системе
координат.
Скалярная проекция вектора на ось. Угол между двумя векторами. Угол между
вектором и осью. Свойства (скалярной) проекции вектора на ось.
21. Скалярное произведение двух ненулевых векторов: определения и свойства.
Скалярное произведение двух векторов, заданных своими декартовыми
координатами. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух
векторов в векторной и координатной форме. Угол между двумя векторами.
Направляющие косинусы вектора. Геометрическая интерпретация скалярного
произведения двух векторов.
22. Векторное произведение двух ненулевых векторов: определения и свойства.
Векторное произведение двух векторов, заданных своими декартовыми
координатами. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух
векторов в векторной и координатной форме. Геометрическая интерпретация
векторного произведения двух векторов. Двойное векторное произведение.
23. Смешанное произведение трёх векторов: определение и свойства (2).
Смешанное произведение трёх векторов, заданных своими декартовыми
координатами. Необходимое и достаточное условие компланарности трёх
векторов в векторной и координатной форме. Геометрическая интерпретация
смешанного произведения трёх векторов.
24. Полярная система координат на плоскости: полюс, полярная ось, полярный
радиус, полярный угол. Единичные векторы полярной системы координат.
Связь декартовых и полярных координат точки плоскости.
25. Плоскость.
Уравнение
плоскости,
проходящей
через
данную
точку
перпендикулярно данному вектору. Теорема об уравнении плоскости в
декартовых координатах. Уравнение плоскости в общей форме. Уравнение
плоскости «в отрезках».
26. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия
перпендикулярности и параллельности двух плоскостей.
27. Прямая на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору. Уравнение прямой в общей форме.
Уравнение прямой «в отрезках». Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.
28. Прямая на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Уравнение прямой в канонической форме. Параметрическое уравнение прямой.
Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности
двух прямых при разных способах задания прямой на плоскости.
29. Прямая в (трёхмерном) пространстве. Каноническое уравнение прямой.
Уравнение прямой в параметрической форме. Уравнение прямой, проходящей
через две данные точки.
30. Общее уравнение прямой в (трёхмерном) пространстве. Приведение общего
уравнения прямой к каноническому уравнению: общая процедура и частный
пример.
31. Угол
между
прямой
и
плоскостью.
Условие
перпендикулярности
параллельности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости.
32. Эллипс:
каноническое
уравнение
в
декартовых
координатах,
область
расположения, центр и вершины, большая и малая полуоси, центр и оси
симметрии, фокусы, эксцентриситет, фокальное свойство, директориальное
свойство, оптическое свойство.
33. Гипербола: каноническое уравнение в декартовых координатах, область
расположения, центр и вершины, действительная и мнимая полуоси, центр и
оси симметрии, фокусы, эксцентриситет, фокальное свойство, директориальное
свойство,
оптическое
свойство.
Сопряжённая
гипербола.
Равнобочная
гипербола. Ветви гиперболы. Асимптоты гиперболы.
34. Парабола: каноническое уравнение в декартовых координатах, область
расположения, вершина, оси симметрии, фокус, эксцентриситет, фокальнодиректориальное свойство, оптическое свойство.
35. Поверхности второго порядка. Эллипсоид; однополостный и двуполостный
гиперболоиды;
эллиптический
и
гиперболический
параболоиды;
конус;
эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры. Каноническое
уравнение в декартовых координатах. Центр, оси и плоскости симметрии.
Поверхности вращения. Сечения плоскостями, параллельными координатным
плоскостям.
36. Элементы
Логические
математической
связки
логики.
(определение,
Простое
и
обозначение,
сложное
примеры):
высказывание.
конъюнкция;
дизъюнкция; отрицание (инверсия); импликация (логическое следование),
гипотеза, заключение; эквивалентность (равнозначность); сложение по модулю
два (симметрическая разность).
37. Множество. Элемент множества. Подмножество. Равные множества. Строгое
подмножество. Конечное и бесконечное множества. Взаимно однозначное
соответствие двух множеств. Счётное и несчётное множества. Мощность
конечного множества. Пустое множество. Универсальное множество. Способы
задания множеств: перечислением, описанием характеристических свойств,
порождающей
процедурой.
Операции
над
множествами:
объединение,
пересечение, разность, дополнение. Диаграммы Венна. Непересекающиеся
множества.
38. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Иррациональные
числа.
Действительные
числа.
Числовая
ось.
Конечные
и
бесконечно
удалённые точки числовой оси. Расширенная числовая ось. Интервалы:
открытые
интервалы,
окрестность точки,

замкнутые
интервалы,
полуоткрытые
-окрестность точки, проколотая

интервалы,
-окрестность.
39. Ограниченное множество. Верхняя и нижняя грани множества. Точная верхняя
и точная нижняя грани множества: супремум и инфимум. Неограниченное
множество.
Последовательность
чисел.
Ограниченная
и неограниченная
последовательности.
40. Функция: определение и обозначения. Независимая и зависимая переменные.
Область определения и область значений функции. Сюръекция. Инъекция.
Биекция. Точки. Числовая функция. Равные функции. Обратная функция.
Сложная функция.
41. Способы задания функций. Элементарные функции. Классы элементарных
функций.
42. Графики элементарных функций:
y  kx  b , y  x 2 k , y  x 2 k 1 , y  1 / x 2 k ,
1
y  1 / x 2 k 1 ,
2

2
y  2 k x , y  2 k 1 x , y  x 3 , y  x 3 , y  x 3 ,
y  ctg x ,
y  sin x, y  cos x,
y  arcsin x, y  arccos x, y  arctg x, y  arctg x , y  ch x , y  sh x .
43. Бесконечно малая величина и её свойства. Бесконечно большая величина и её
свойства. Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин.
44. Предел переменной величины и его свойства.
45. Предел
функции
в
точке.
Критерий
Коши.
Примеры.
Геометрическая
интерпретация предела функции в точке.
46. Числовая
последовательность.
Геометрическая
интерпретация
Предел
числовой
последовательности.
предела
числовой
последовательности.
Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Расходящаяся
числовая последовательность.
47. Теоремы о пределах функции в точке: теорема о единственности, теорема о
двух функциях. теорема об ограниченности, теорема о трёх функциях.
48. Предел функции на бесконечности. Примеры.
49. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно
малых функций. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших
функций. Примеры.
50. Арифметические
операции
с
пределами.
Односторонние
пределы.
Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке.
Предел рациональной функции.
51. Три определения непрерывности функции в точке. Непрерывность функции в
точке
х 0 слева и справа. Необходимое и достаточное условие непрерывности
функции в точке. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
52. Свойства функций, непрерывных в точке: теорема о сохранении знака
неравенства, теорема о сохранении знака функции.
53. Непрерывность элементарных функций.
54. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел и другие
ln 1  x 
,
x 0
x
пределы: lim
55. Арифметические
lim
x0
tg x
arcsin x
arctg x
, lim
, lim
.
x 0
x x 0
x
x
операции
с
непрерывными
функциями.
Теорема
о
непрерывности сложной функции. Точки разрыва и их классификация.
56. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема о нуле функции, теорема
о
промежуточных
значениях,
теорема
об
ограниченности,
теорема
о
достижении точных граней.
57. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
58. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных
бесконечно малых функций. Теорема о пределе отношения эквивалентных
бесконечно малых функций. Теорема о сумме бесконечно малых функций
разного порядка.
59. Производная функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале.
Геометрическая
интерпретация
производной.
Уравнение
касательной
и
нормали к графику функции. Кинематическая интерпретация производной
функции. Лево- и правосторонняя производные. Необходимое и достаточное
условие существования производной функции в точке.
60. Гладкие функции и гладкие кривые. Точки излома. Бесконечные производные.
61. Функции, дифференцируемые в точке. Необходимое и достаточное условие
дифференцируемости
дифференцируемой
функции
функции.
в
точке.
Теорема
Дифференциал
о
непрерывности
функции.
Геометрическая
интерпретации дифференциала функции. Приложение дифференциала к
приближённым вычислениям.
62. Правила дифференцирования.
63. Дифференцирование
сложной
функции
(цепное
правило).
Производная
обратной функции.
64. Таблица производных. Логарифмическое дифференцирование. Производные
функций, заданных параметрически. Графическое дифференцирование.
65. Производные и дифференциалы высших порядков. Формулы Лейбница.
66. Правило
Лопиталя.
Раскрытие
неопределённостей
типа
(  ), (0  ), (0 0 ,  0 ,1 ) .
67. Дифференциальные теоремы о среднем: теорема Ролля и её геометрическая
интерпретация.
68. Дифференциальные
Геометрическая
теоремы
интерпретация
о
среднем:
теоремы
теоремы
Лагранжа
и
Коши.
Лагранжа.
Формула
конечных
приращений Лагранжа. Связь теорем Ролля, Лагранжа и Коши.
69. Неубывающая и невозрастающая функция на отрезке. Необходимое и
достаточное условие неубывания и невозрастания функции на отрезке.
Признаки возрастания и убывания функции на отрезке. Возрастающая и
убывающая функция в точке. Признаки возрастания и убывания функции в
точке.
70. Локальный экстремум функции. Точки экстремума. Необходимое условие
существования экстремума функции. Критические точки. Достаточное условие
существования экстремума функции. Общая процедура нахождения экстремума
функции в точке.
71. Приложение второй производной для исследования функции на экстремум.
Процедура нахождения абсолютного максимума и абсолютного минимума
функции на отрезке.
72. Исследование формы кривой и точки перегиба. Признаки выпуклости и
вогнутости кривой в точке. Необходимое условие существования точки
перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.
73. Вертикальные
и
наклонные
асимптоты:
определение,
необходимые
и
достаточные условия существования. Взаимное расположение кривой и её
асимптоты.
74. Теорема Тейлора.Формула Маклорена для некоторых элементарных функций:
y  e x , y  sin x , y  cos x , y  ln( 1  x) , y  (1  x) n .