Вопросы по МАТЕМАТИКЕ (Менеджмент). 1 семестр.

Вопросы по МАТЕМАТИКЕ (Менеджмент). 1 семестр.
1. Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в
пространстве. Косоугольные системы координат.
2. Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве.
3. Деление отрезка в заданном отношении.
4. Полярная система координат. Сферическая система координат.
5. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.
6. Преобразование координат для прямоугольной и полярной систем
координат.
7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности
порядка.
8. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.
9. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых.
10. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном
направлении.
11. Угол между двумя прямыми.
12. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
13. Уравнение прямой в отрезках на осях.
14. Общее уравнение прямой на плоскости.
15. Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности.
16. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса и его свойства.
17. Парабола. Каноническое уравнение параболы и его свойства.
18. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы и его свойства.
19. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как алгебраические линии
второго порядка.
20. Геометрический вектор (длина вектора, нуль-вектор, равенство
геометрических векторов, коллинеарность и компланарность).
Координатные орты.
21. Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты
геометрического вектора. Радиус-вектор.
22. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на
плоскости и в пространстве.
23. Действия с геометрическими векторами в координатной форме.
24. Признак коллинеарности векторов.
25. Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства.
26. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты.
Длина вектора. Угол между векторами.
27. Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических
векторов.
28. Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.
29. Общее уравнение плоскости в пространстве.
30. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
31. Поверхность в пространстве. Алгебраическая поверхность и её порядок.
32. Поверхность второго порядка (сфера, эллипсоид, параболоид и
гиперболоид).
33. Матрицы и их классификация. Действия с матрицами. Экономические
примеры.
34. Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и
«звёздочки».
35. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
Определитель произвольного порядка.
36. Свойства определителя.
37. Терема об определителе произведения квадратных матриц.
38. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной
матрицы.
39. Элементарное преобразование матрицы. Элементарное преобразования
матрицы как умножение матриц.
40. Матричный способ вычисления обратной матрицы.
41. Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга
матрицы с помощью элементарных преобразований.
42. Транспонирование и его свойства.
43. Система линейных уравнений и её решение.
44. Теорема об элементарных преобразованиях системы линейных
уравнений. Метод Гаусса для решений совместной системы линейных
уравнений.
45. Однородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и
неопределенная система.
46. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.
47. Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений.
48. Матричная запись системы линейных уравнений.
49. Векторное представление системы линейных уравнений.
50. Теорема Кронекера-Капелли.
51. Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной
матрицы.
52. Формулы Крамера.
53. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы.
54. Характеристическое уравнение.
55. Линейное (векторное) пространство.
56. Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве.
57. Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.
58. Базис линейного пространства. Примеры.
59. Теорема о разложении вектора по базису.
60. Линейная оболочка векторов.
Примерные задачи на экзамене по высшей математике в 105 – 108 группах:
1. Исследовать и решить систему:
2 x1  3x2  x3  x4  3
 x  2 x  3x  x  1
 1
2
3
4

3x1  x2  4 x3  2 x4  4
4 x1  x2  7 x3  3x4  5
 2  1

2 5 
2. Найти все собственные векторы матрицы A  
3. Найти базис линейной оболочки, образованной векторами системы
S  {a1 , a2 , a3 , a4 } , если:
a1  {1,2,3, 2,1}, a2  {2,5, 1, 2,3},
a3  {0,9,5, 6,5}, a4  {3,3, 4,0,2}
Разложить произвольный вектор системы S, не входящий в базис, по найденному
базису.