080100_ekonomika_lineynalganalitgeometriya

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ
Директор БИ СГУ
доцент А.В.Шатилова
___________________________
"__" __________________20__ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Направление подготовки
080100 Экономика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная и заочная
Балашов 2011
Содержание
1.
Цели освоения учебной дисциплины
3
2.
3.
Место учебной дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
Структура и содержание учебной дисциплины
Образовательные технологии
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины
3
3
4.
5.
6.
7.
8.
2
7
9
9
18
19
1. Цели освоения дисциплины
Одной из примет нашего времени является математизация научного
знания, интенсивное проникновение математики в другие науки. Поэтому
при составлении программы и отборе материала для курса «Линейной
алгебры» в основу был положен принцип повышения уровня
фундаментальной математической подготовки с усилением ее экономической
направленности. Но математика является не только мощным средством
решения прикладных задач и универсальным языком науки, она является
также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование
следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе
фундаментальной подготовки современного экономиста.
Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая
геометрия» являются: овладение основными фактами, идеями и методами
линейной алгебры и аналитической геометрии и их приложений; развитие
математического мышления, способностей доказывать теоремы, создавать
математические модели для решения экономических задач, исследовать
математические объекты аналитическими методами; осознание места
линейной алгебры и аналитической геометрии в системе математических
знаний; развитие способности применять методы других дисциплин в
математике и наоборот; знакомство с основными этапами развития
математики в области алгебры и геометрии.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина относится к базовой части математического цикла (Б2. Б2)
и изучается в 1 семестре. Она является, наряду с
дисциплинами
«Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая
статистика», «Математические методы в экономике» фундаментом высшего
математического и профессионального образования бакалавра по
направлению «Экономика».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Процесс изучения дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая
геометрия» направлен на формирование следующих компетенций:
а) общекультурных (ОК):
способен понимать сущность и значение информации в развитии
современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы,
возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования
информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны
(ОК-12);
владеет основными методами, способами и средствами получения,
хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером
как средством управления информацией, способен работать с информацией в
глобальных компьютерных сетях (ОК-13);
б) профессиональных (ПК)
3
способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые
для расчета экономических и социально-экономических показателей,
характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
способен на основе типовых методик и действующей нормативноправовой базы рассчитать экономические и социально-экономические
показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов, (ПК2);
способен выполнять необходимые для составления экономических
разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты
работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
аналитическая, научно-исследовательская деятельность
способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых
для решения поставленных экономических задач (ПК-4);
способен выбрать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей,
проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы
(ПК-5);
способен на основе описания экономических процессов и явлений
строить стандартные теоретические и эконометрические модели,
анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты
(ПК-6);
способен использовать для решения аналитических и исследовательских
задач современные технические средства и информационные технологии
(ПК-10);
способен использовать для решения коммуникативных задач
современные технические средства и информационные технологии (ПК-12);
способен преподавать экономические дисциплины в образовательных
учреждениях различного уровня, используя существующие программы и
учебно-методические материалы (ПК-14);
способен принять участие в совершенствовании и разработке учебнометодического обеспечения экономических дисциплин (ПК-15).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать:
– основные понятия линейной алгебры и аналитической геометрии;
– основные свойства и теоремы линейной алгебры и аналитической
геометрии;
– основные методы линейной алгебры и аналитической геометрии;
по разделу «Элементы линейной алгебры»: понятие матрицы, виды
матриц, действия над ними; понятие определите и его свойства; основные
понятие системы линейных уравнений; методы решения систем линейных
уравнений (Крамера, Гаусса); критерий совместности общей системы
линейных уравнений; системы неоднородных линейных уравнений и
количество их решений; определение векторного пространства, базиса и
размерности; определение подобных матриц, собственного вектора и
4
собственного значения матрицы; определение квадратичной формы; закон
инерции квадратичных форм; модель Леонтьева многоотраслевой экономики,
линейную модель торговли; понятие комплексного числа; алгебраическую и
тригонометрическую запись; действия над комплексными числами в
алгебраической и тригонометрической форме; определение комплексной
плоскости; геометрическую интерпретацию действий с комплексными
числами; правила возведения в степень и извлечение корня; переход к
показательной форме комплексного числа; определение многочлена, степени
многочлена, корней многочлена; формулировку теоремы о делении с
остатком; определение наибольшего общего делителя; алгоритм
Евклида; определение наименьшего общего кратного; определение
неприводимого над полем многочлена; возможность разложения
многочлена по степеням двучлена х—а; определение многочлена над C, R,
Q, многочлена от нескольких переменных;
по разделу «Основы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве»: понятия направленных отрезков, векторов, свойства операций
над векторами, понятия и свойства линейно зависимых и независимых систем векторов, координат векторов, понятия базиса, ортогонального и ортонормированного базисов, скалярное произведение векторов и его свойства,
понятия векторного пространства и подпространства; определения и свойства векторного и смешанного произведений векторов; понятия аффинной
системы координат на плоскости; формулы преобразования аффинных и
прямоугольных координат на плоскости; понятие полярной системы координат, формулы связи между полярными и прямоугольными координатами;
способы задания прямой на плоскости, виды уравнений прямой; формулу для
вычисления расстояния от точки до прямой; взаимное расположение двух
прямых; понятия пучков пересекающихся и параллельных прямых, их уравнения; формулу для вычисления угла между двумя прямыми; постановку задачи линейного программирования (ЗЛП); виды математических моделей;
алгоритм графического решения ЗЛП; возможность проведения экономического анализа ЗЛП с использованием графического метода; виды и определения линий второго порядка, их свойства и канонические уравнения, уравнения в полярных координатах; приведение общего уравнения линии второго
порядка к каноническому виду; классификацию линий второго порядка;
уметь:
– решать типовые математические задачи, с использованием основных
понятий модуля;
– применять теоретические сведения к решению задач практического и
профессионального характера;
по разделу «Элементы линейной алгебры»: выполнять действия над
матрицами; вычислять определители второго и третьего порядка, применять
свойства определителя к их вычислению, вычислять определители любого
порядка с помощью разложения их по строке или столбцу; находить решение
системы линейных уравнений с помощью методов Крамера, Гаусса; выяснять
количество решений систем линейных уравнений с помощью критерия
5
совместности; находить решение систем неоднородных линейных уравнений
и определять количество их решений; определять базис и размерность
векторного пространства; осуществлять переход к новому базису;
устанавливать подобие матриц; находить собственные векторы и
собственные значения матрицы; строить квадратичную форму; находить
решение модели Леонтьева, линейной модели торговли; записывать
комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах;
выполнять действия над комплексными числами в алгебраической и
тригонометрической формах; находить область на комплексной плоскости (в
простейших случаях); возводить в степень и извлекать корни; переходить к
показательной форме комплексного числа; находить степень многочлена;
делить многочлен на двучлен х—а и находить корни многочлена;
применять теорему о делении с остатком; находить НОД, НОК;
проводить разложение многочлена по степеням двучлена х—а;
по разделу «Основы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве»: выполнять операции над векторами; выяснять линейную зависимость или независимость систем векторов; вычислять скалярное произведение векторов и углы между векторами; вычислять расстояния между точками, делить отрезок в данном отношении; строить точки в аффинной, прямоугольной и полярной системах координат на плоскости, использовать
формулы преобразования аффинных и прямоугольных координат на плоскости, формулы связи между полярными и прямоугольными координатами при
решении задач; составлять уравнения прямой на плоскости и в пространстве
в различных видах в аффинной и прямоугольной системах координат, составлять уравнение плоскости; вычислять расстояние от точки до прямой,
определять угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол
между плоскостями; выяснять взаимное расположение двух прямых на плоскости и в пространстве. выводить канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы; приводить общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду, применять определения и свойства векторного и смешанного произведений векторов к решению практических задач; решать ЗЛП графическим методом; проводить экономический анализ ЗЛП;
владеть:
– навыками применения современного математического инструментария в
области линейной алгебры и аналитической геометрии для решения прикладных задач;
–математическими методами решения типовых организационноуправленческих задач.
6
4. Структура и содержание
аналитическая геометрия»
модуля «Линейная алгебра и
Общая трудоемкость модуля составляет 7 зачетных единиц, 252 часа.
Сокращения: СР — самостоятельная работа, КР — контрольная работа.
№
п/п
Раздел дисциплины
Се
мес
тр
1
1
Элементы
линейной алгебры
2
Основы
1
аналитической
геометрии
на
плоскости и в
пространстве
Нед
еля
сем
ест
ра
Виды учебной
работы, включая
самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в
часах)
Л
1-6 28
ПЗ
28
СРС
56
718
26
26
52
54
54
108
7
Итого
Формы текущего контроля
успеваемости
Формы промежуточной
аттестации
Работа на практических
занятиях,
выполнение
домашних заданий, КР
№1, СР №1, СР №2
Работа на практических
занятиях,
выполнение
домашних заданий, КР
№ 2 и 3, СР № 3, СР № 4,
СР №5, итоговый тест
Экзамен
36
Содержание разделов дисциплины
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА
Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами (сложение,
умножение на число, произведение). Обратная матрица. Ранг матрицы,
теорема о ранге матрицы. Элементарные преобразования матриц.
Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Способы
вычисления определителей.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Основные понятия. Методы решения систем линейных уравнений:
метод обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса. Критерий
совместности. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений.
Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система
решений.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО АНАЛИЗА
Векторное пространство. Базис и размерность векторного
пространства. Переход к новому базису. Евклидово пространство. Линейный
7
оператор и его матрица. Подобные матрицы. Собственные векторы и
собственные значения матрицы. Квадратичные формы. Закон инерции
квадратичных форм.
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ
Использование алгебры матриц. Использование систем линейных
уравнений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый
анализ). Линейная модель торговли.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Понятие комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая
запись. Действия над комплексными числами в алгебраической и
тригонометрической форме. Комплексная плоскость. Геометрическая
интерпретация действий с комплексными числами. Возведение в степень и
извлечение корня. Показательная форма комплексного числа.
МНОГОЧЛЕНЫ
Степень многочлена. Деление многочлена на двучлен х—а и корни
многочлена. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий
делитель. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное. Неприводимые
над полем многочлены. Формальная производная многочлена. Разложение
многочлена по степеням двучлена х—а. Многочлены над C, R, Q.
Многочлены от нескольких переменных.
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛСКОСТИ И
В ПРОСТРАНСТВЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Направленные отрезки. Эквиполлентные направленные отрезки. Векторы.
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Линейная
зависимость векторов. Координаты вектора. Ортонормированный базис.
Скалярное произведение векторов. Векторные подпространства.
МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольная
система координат. Деление отрезка в данном отношении. Ориентация
плоскости. Ориентация пространства. Ориентированный угол. Площадь
ориентированного треугольника. Полярная система координат. Векторное
произведение векторов, алгебраические свойства. Выражение векторного
произведения через координаты перемножаемых векторов. Геометрический
смысл векторного произведения векторов. Смешанное произведение
векторов, свойства. Геометрический смысл смешанного произведения
векторов.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
8
Способы задания прямой на плоскости, виды уравнений. Общее уравнение
прямой. Геометрический смысл знака трехчлена Ах+Ву+С. Расстояние от
точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых. Пучки прямых. Угол
между двумя прямыми. Элементы линейного программирования. Общая
постановка задачи. Виды математических моделей. Основные методы
линейного программирования. Алгоритм решения задач. Выбор
оптимального варианта выпуска изделий. Экономический анализ задач с
использованием графического метода.
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Эллипс, вывод канонического уравнения, свойства. Гипербола, вывод
канонического уравнения, свойств. Парабола, вывод канонического
уравнения, свойства. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных
координатах. Общее уравнение линии второго порядка, приведение его к
каноническому виду. Классификация линий второго порядка.
ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Способы задания плоскости в пространстве, виды уравнений. Общее
уравнение плоскости. Условие перпендикулярности вектора и плоскости.
Особенности расположения плоскости по отношению к системе координат в
зависимости от вида общего уравнения. Расстояние от точки до плоскости.
Угол между плоскостями. Геометрический смысл знака многочлена
Ах+Ву+Сz+D. Взаимное расположение плоскостей. Пучки плоскостей.
Прямая в пространстве, способы задания прямой, виды уравнений. Взаимное
расположение прямых. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и
плоскостью.
5. Образовательные технологии
Специфика дисциплины и объем учебного материала предполагают
как лекционную форму изложения материала, так и использование
различных активных форм обучения. В процессе чтения лекций
рекомендуется
использовать
мультимедийное
оборудование.
Информационные и интерактивные технологии уместны при обсуждении
проблемных и неоднозначных вопросов, требующих выработки решения в
ситуации неопределенности и аргументированного изложения своих
взглядов, профессиональной позиции. В целом содержание курса отличает
практическая направленность и максимальная приближенность к актуальным
запросам практической деятельности.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации
используется рейтинговая система оценки знаний.
Система текущего контроля включает:
9
1. контроль посещения и работы на практических занятиях;
2. контроль выполнения студентами заданий для самостоятельной
работы;
3. контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
письменной итоговой контрольной работы.
Работа на практических занятиях оценивается преподавателем (по
пятибалльной шкале) по итогам подготовки и выполнения студентами
практических заданий, активности работы в группе и самостоятельной
работе. Пропуск практических занятий предполагает отработку по
пропущенным темам. Неотработанный (до начала экзаменационной сессии)
пропуск более 50% практических занятий по курсу является основанием для
недопуска к экзамену по курсу.
Контрольные работы проводятся после изучения основных тем и
предназначены для оценки знаний, умений и навыков, приобретенных в
процессе теоретических и практических занятий курса.
Текущий контроль успеваемости включает в себя оценку активности на
занятиях, самостоятельную работу, контрольные работы, промежуточные
тесты, коллоквиумы и т.д.
Обязательно учитывается посещаемость студентами различных видов
учебных занятий, что значительно улучшает её.
К самостоятельной работе студентов относится: детальная проработка
лекций, учебной литературы, самостоятельное доказательство указанных
преподавателем теорем, выполнение домашних заданий, выполнение
контрольных работ, тестов, самостоятельных работ.
СОДЕРЖАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольная работа № 1
Матрицы и определители
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Вычислитель определители:
3 4
5
2 4
а)
; б) 2
7
0 .
6 5
7  2  12
2. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения
элементов а12 и а31.
Вычислить определитель:
а) разложив его по элементам 4-ой строки;
б) по элементам 1-ого столбца;
в) предварительно получив нули в 4-ой строке.
1 1 2 0
3 6 2 5 .
1 0 6
4
2 3 5 1
3. Даны две матрицы А и В.
10
Найти: а) АВ; б) ВА; в) А-1; г) А А-1; д) А-1 А.
 2 1  2
 2 1  3


A  8  7  6 и B  3  5 4 .
1 2
 3 4
1 
2 


Самостоятельная работа № 1
Методы решения систем линейных уравнений
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности
решить ее:
а) по формулам Крамера:
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
2 x  y  3 z  7
3x  2 y  4 z  8
1) 2 x  3 y  z  1 ; 2) 2 x  4 y  5 z  11 .
3 x  2 y  z  6
 x  2 y  z  1
2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:
 x  y  z  0
5 x  3 y  4 z  0
а) 2 x  3 y  4 z  0 ; б) 3x  2 y  z  0 .
4 x  11 y  10 z  0
8 x  y  3z  0
Самостоятельная работа № 2
«Модель Леонтьева»
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
В таблице содержатся данные баланса трех отраслей промышленности за
некоторый период времени (в условных денежных единицах). Требуется
найти объем валового выпуска (в.в.) каждого вида продукции, если конечный
продукт (к.п.) по отраслям увеличить соответственно на величину,
указанную в последнем столбце.
Отрасли
1
2
3
К. п. В. в. Увеличение
1
30
15
40
65
150
25
2
15
45
20
70
150
25
3
30
15
20
135
200
30
Самостоятельная работа № 3
«Различные способы задания прямой на плоскости»
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1,у1) парал
лельно вектору р ( р1 , р 2 ) , в каноническом виде.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2,1) и В(10,3).
3. Найти координаты направляющего вектора прямой 2х-5у+1=0.
Записать уравнение этой прямой в отрезках, отсекаемых на осях
координат.
11
4. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;3) параллельно

вектору а (1;2) , в параметрическом виде.
Самостоятельная работа № 4
«Графический метод решения ЗЛП»
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
Составить математическую модель предложенной экономической
ситуации и решить задачу линейного программирования графическим
методом. Провести экономический анализ.
Фирма изготавливает два вида красок для внутренних (В) и наружных (Н)
работ. Для их производства используют исходные продукты: пигмент и
олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы
указаны в таблице.
Расход исходных
продуктов
Суточный
на 1 т краски
запас, т
Краска Н Краска В
Пигмент
1
2
6
Олифа
2
1
8
Исходны
й
продукт
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для
внутренних работ никогда не превышает 2 т в сутки. Цена продажи 1 т
краски для наружных работ — 3 ден.ед., для внутренних — 2 ден.ед. Какое
количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы выручка
от реализации продукции была максимальной?
Самостоятельная работа № 5
«Линии второго порядка»
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Составить каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет
3
, а
3
большая полуось 3.
2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если гипербола проходит
через точки М1(4;0) и М2 (4 17 ;4).
3. Привести уравнение линии 9 х 2  4 y 2  36  0 к каноническому виду и
определить элементы, определяющие данную линию.
Контрольная работа № 2
" Элементы векторной алгебры на плоскости.
Уравнение прямой на плоскости. Линии второго порядка»"
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ
ВАРИАНТ




1. Найти скалярное произведение a и 2b  3a , если a 1,2, b 0,1 .




2. При каком значении  векторы a  3b и b  a ортогональны, если


a 1,2, b 0,1?
12
3. Для прямой (АВ) составить общее уравнение, уравнение в отрезках,
уравнение с угловым коэффициентом, если А(-2, 1) и В (6, -2).
4. Даны координаты точек А(3,2), В(-2, 5), С (6, -2). Составить уравнения
медианы и высоты, проведенных из вершины А треугольника АВС, а также
средней линии (ЕД), параллельной основанию ВС. Вычислить длину
найденной высоты.
5. Привести уравнение кривой x 2  4 y 2  2 x  56 y  181  0 к каноническому
виду, определить вид кривой, начертить ее в канонической системе
координат. Найти координаты фокусов и вершин.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
"Метод координат в пространстве. Различные способы задания прямой
и плоскости"
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 : A1 3, 1, 4 , A2  1, 6, 1 ,
A3  1, 1, 6  , A4 0, 4,  1 . Найти:
а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A3 ;
в) площадь грани A2 A3 A1 ;
г) объем пирамиды A1 A2 A3 A4 ;
д) уравнение прямой A3 A2 ;
е) уравнение плоскости A2 A3 A1 ;
ж) угол между ребром A1 A4 и гранью A2 A3 A1 ;
з) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A2 A3 A1 ;
и) длину высоты, опущенной из вершины A4 на грань A2 A3 A1 .
2. Определить взаимное расположение прямых:
 x  2 y  3z  4  0, x  y  z  1  0,
и

y  3z  0.
x

2
y

z

1

0
,


ИТОГОВЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ
ВАРИАНТ




  
1. Если даны векторы а 2, 0,  1, b 4, 2, 3, c 0,  1, 3 , то вектор d  2a  3b  c
имеет координаты:
1. (-8, -5, -8); 2. (-8, 5, 10); 3. (–8, -7, -8); 4. (-8, 7, 10).
2. В параллелограмме ABCD O – точка пересечения диагоналей, а точки E, F, G, K – середины соответствующих сторон АВ, ВС, CD и AD. Найти
вектор, равный АК  ОС  GC :
1. EK ; 2. EG ; 3. DA ; 4. GE .
3. При каком значении k точка А(-2, k-2) принадлежит прямой, заданной
уравнением x-3y+5=0.
1. –3; 2. –1; 3. 3; 4. 1.
4. Укажите пару коллинеарных векторов
13
1. (-1, 3, 5) и (2, -3, 4); 2. (-1, 3, 5) и (2, -6, -10);
3. (0, -2, 5) и (1, 0, 1/5); 4. (1, -1, 2) и (2, 0, -1).
5. Уравнение прямой, проходящей через точку А (-2, 3), параллельно
прямой, заданной уравнением 2х-у+5=0 имеет вид:
1. 2х-у+7=0; 2. х+2у-4=0; 3. 2х-у-7=0; 4. 2х-у+1=0.
6. Найдите косинус угла между прямыми, заданными уравнениями
 х  1  2t ,
 y  1  3t.
у=2х+3 и 
1.
2 2
2
3 2
2
; 2.
; 3. 
; 4. 
.
5
2
4
2
7. Выяснить взаимное расположение прямых, заданных уравнениями
у=2х+5 и –4х+2у+3=0:
1. пересекаются;
2. совпадают;
3. параллельны;
4. скрещиваются.
8. Среди приведённых уравнений укажите уравнение, задающее эллипс:
х2 у2
х2 у2
х2 у2
х2 у2
1.    1 ; 2.

 0 ; 3.

 1 ; 4.

 1.
5
4
5
4
5
4
5
4
9. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей длины полуосей 12 и
6, имеет вид:
1.
х2
у2
х2
у2
х2
у2
х2 у2

 1 ; 2.

 1 ; 4. 

 1.

 1 ; 3.
144 36
144 36
144 36
36 9
10. Напишите уравнение высоты треугольника АВС, проведенной из
вершины А, если А(2, -3), В(-6, 2), С(4, 0):
1. х+5у+13=0; 2. х+у+1=0; 3. 5х-у-13=0; 4. х-у-5=0.
11. Ранг матрицы

1

 2
 4
 5

2
1
1
4

 8

 3
0 
2 
равен:
1. 4; 2. 3; 3. 2; 4. 1.
 2  4
  1 0
12. Дано А  
 ; В  

3 0 
 2 3
Найти 2 А  В .
 3  4
 3  4
 5 6
 5  8
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 

4
3
4

1

3
4
4

3








 2 3
 :
1 0
13. Вычислите произведение АВ, если А= 1  2 и В= 
1 4
 ; 2. 0 3 ; 3. 45 ; 4. 0 1 .
5 6
1. 
14. Найти х из уравнения
2 3 х
4
5
1. 6; 2.5; 3. 1; 4. 0.
14
2
15. Решением матричного уравнения АХ=В является матрица Х, вычисляемая следующим образом:
1. В 1 А ; 2. А1 В ; 3. АВ 1 ; 4. ВА 1 .
16. Сколько решений имеет данная система уравнений
 х  5 у  z  3,

2 x  4 y  3z  2,
3x  y  3z  7.

1. Одно; 2. Два; 3. Не имеет решений; 4. Бесконечно много решений.
17. При каком значении k система линейных однородных уравнений
имеет бесконечно много решений?
18. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(2, 2, 2), В(1, 3,
3), С(3, 4,2):
1.
3 2
6
; 2.
; 3.
2
2
19.
Установить,
14
; 4. 3.
2



а 1,  1, 2, b 3, 5, 0, c 5, 3, 4 ?
компланарны
ли
векторы
1. Да; 2. Нет; 3. Векторы коллинеарны; 4. Векторы ортогональны.
20. Составить уравнение плоскости проходящей через три точки
А(-1, 0, 0), В(0, 0, 5), С(0, -2, 0):
1. –10х+5у-2z+10=0; 2. 10х-5у-2z-10=0;
3. 10х+5у-2z+10=0; 4. 10х+5у-2z-10=0.
21.На рисунке изображено множество допустимых решений задачи
линейного программирования и вектор .
Наименьшее значение целевой функции этой задачи равно
1) 17
2) 2
3) 3
4) 5
5) 0
15
22.В задаче линейного программирования
,
оптимальное значение целевой функции равно
1)
2) 16
3) 8
4) 20
5) 6
23.Разность между числом свободных и базисных переменных системы
равна
1) 2
2) 1
3) –1
4) –2
5) 3
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ
1. Матрица. Действия над матрицами (сложение и умножение).
2. Определитель. Вычисление определителей второго и третьего порядка.
3. Свойства определителей.
4. Разложение определителя по строке или столбцу.
5. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.
6. Обратная матрица. Способы вычисления обратной матрицы (2 способа).
Свойства обратных матриц.
7. Системы линейных уравнений. Основные понятия.
8. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
9. Критерий совместности общей системы линейных уравнений. Метод
Гаусса.
10.Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
11.Векторное пространство. Базис и размерность векторного пространства.
12. Переход к новому базису. Евклидово пространство.
13.Линейный оператор и его матрица.
14.Подобные матрицы.
15.Собственные векторы и собственные значения матрицы.
16.Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм.
17.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
18.Линейная модель торговли.
19.Построение поля комплексных чисел. Понятие мнимой единицы. Определение комплексного числа.
20.Комплексные числа. Действия над комплексными числами, заданными в
алгебраической форме (сложение, умножение).
21.Сопряженные комплексные числа. Действия над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме (вычитание и деление).
16
22.Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме (умножение и возведение в
степень).
23.Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме (деление и извлечение корней).
24.Степень многочлена. Действия над многочленами.
25.Делимость многочленов. Теорема о делении многочлена с остатком.
26.Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида.
27.Корни многочлена. Разложение на множители многочлена с действительными коэффициентами.
28.Направленный отрезок. Вектор. Коллинеарные и компланарные векторы.
Теорема об откладывании вектора от точки.
29.Действия над векторами: сложение, вычитание.
30.Умножение вектора на число. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.
31.Линейно зависимые, линейно независимые системы векторов. Свойства.
32.Базис. Ортонормированный базис. Теорема о разложении вектора по системе векторов.
33.Аффинная система координат на плоскости и в пространстве (определения, координаты точки, координаты вектора, ортонормированный репер,
длина вектора).
34.Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Координаты
вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами.
35.Координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении λ. Расстояние между точками. Модуль вектора.
36.Скалярное произведение векторов. Свойства. Вычисление угла между
векторами.
37.Прямая на плоскости. Направляющий вектор. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой «в отрезках».
38.Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором. Параметрические уравнения прямой.
39.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
40.Общее уравнение прямой.
41.Прямая в прямоугольной системе координат. Вектор нормали. Уравнение
прямой, заданной точкой и нормальным вектором.
42.Угол между прямыми и расстояние от точки до прямой на плоскости.
43.Векторное произведение векторов: определение, свойства, выражение
векторного произведения через координаты перемножаемых векторов,
применение к решению задач.
44.Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление,
применение к решению задач.
45.Способы задания плоскости, виды уравнений.
46.Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Взаимное
расположение двух плоскостей.
17
47.Способы задания прямой в пространстве, виды уравнений.
48.Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и
плоскостью.
49. Общая постановка задачи линейного программирования. Виды математических моделей.
50.Алгоритм графического решения ЗЛП.
51. Экономический анализ задач с использованием графического метода.
Пассивные и активные ограничения.
52.Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий второго
порядка. Уравнение окружности.
53.Определение эллипса. Уравнение эллипса. Свойства.
54.Определение гиперболы. Уравнение гиперболы. Свойства.
7.
Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение
дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
а) основная литература:
1. Аналитическая геометрия. Практические занятия. Часть 1: Учебнометодическое пособие/ Сост. Ю.И. Михайлов, О.А. Задкова, Е.Ю. Павлова, Н.А. Синельникова. – Балашов: Изд-во «Николаев», 2003. – 92 с.
2. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре
[Электронный ресурс] 3-е изд.,испр. / Беклемишева Л.А., Беклемишев
Д.В., Петрович А.Ю. и др. - Санкт-Петербург: "Лань", 2008.. - 496 c Режим
доступа:
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=178&pl1_id=76. – Загл. с
экрана.
3. Фурлетова, О. А. Аналитическая геометрия : практические занятия
[Электронный ресурс] : учеб.-метод. пособие для студентов математ. и
физ.-мат. специальностей пед. вузов, Ч. II/ О. А. Фурлетова, Е. Ю.
Павлова; Балашов. ин-т (филиал) ГОУ ВПО "Саратов. гос. ун-т им Н. Г.
Чернышевского". – Электрон. дан. – Балашов: Изд-во "Николаев", 2009. 56
с.
–
Режим
доступа:
http://www.bfsgu.ru/elbibl/direction/mposobia/m6/izd.doc. – Загл. с экрана.
4. Фурлетова, О.А. Аналитическая геометрия. Ч. 2: учеб. методич. пособие
для студентов математич. и физ.-математич. специальностей пед. высш.
учеб. заведений / О.А. Фурлетова, Е.Ю. Павлова. – Балашов: Николаев,
2009. – 56 с.
5. Шипачев, В. С. Основы высшей математики [Электронный ресурс] :
учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова. – 7-е
изд. – Электрон. дан. – М.: Юрайт: Высш. образование, 2009. – 478 с. –
Режим доступа: http://library.sgu.ru/uch_lit/90.pdf. – Загл. с экрана.
18
б) дополнительная литература:
1. Горемыкина, Г.И. Введение в линейное программирование [Текст]:
учеб. пособие для студ. экон. и физ.-мат. фак. / Г. И. Горемыкина, М. А.
Ляшко. - Балашов: Изд-во "Николаев", 2011. - 128 с.
2. Горемыкина, Г.И. Элементы теории матриц: математические основы,
алгоритмы, приложения [Текст]: учеб. пособие для студ. экон. и физ.-мат.
фак. / Г. И. Горемыкина, М. А. Ляшко. - Балашов: Изд-во "Николаев",
2011. - 128 с.
3. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании [Текст] : учеб./ М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М: Дело, 2000. –
688 с.
4. Курс высшей математики для экономистов [Текст]: учеб./ Под ред.
В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2001. – 656 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office;
2. Источники из электронной библиотеки БИСГУ.
www.exponenta.ru
Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с
математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematical Maple и др.
Методические разработки, примеры решения задач, выполненные с
использованием математических пакетов. Форум и консультации для
студентов и школьников.
www.math.ru/lib
Большая библиотека, содержащая как книги, так и серии брошюр, сборников.
В библиотеке представлены не только книги по математике, но и по физике и
истории науки.
www.mccme.ru/free-books
Свободно распространяемые книги издательства МЦНМО.
htth//window.edu.ru
Единое окно доступа к образовательным ресурсам сайта Министерства
образования и науки РФ.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Стандартно оборудованная лекционная аудитория для проведения
интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска, компьютер,
обычная доска, пластиковая доска;
Изучение данной дисциплины должно обеспечиваться доступом
каждого студента к информационным ресурсам – институтскому
библиотечному фонду и сетевым ресурсам Интернет.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению 080100
«Экономика».
19
Авторы:
доцент кафедры математики, кандидат педагогических наук, доцент
Фурлетова О.А.;
старший преподаватель кафедры математики Павлова Е.Ю.
Программа разработана в 2011 г. (одобрена на заседании кафедры
математики, протокол № 4 от «25» марта 2011 года).
Подписи:
Авторы:
канд. пед. наук доцент ___________________ Фурлетова О.А.
ст. преподаватель _______________________ Павлова Е.Ю.
Зав.кафедрой математики______________к.ф.м. н., доцент Ляшко М.А.
Декан факультета МЭИ___________к.п.н., доцент Кертанова В.В.
(факультет, где разрабатывалась программа)
Декан факультета МЭИ
к.п.н., доцент Кертанова В.В.
.(факультет, где реализуется программа)
20