questions for the exam FDFO - (МИИГАиК)

Экзаменационные вопросы по математике
для студентов 1 курса ФДФО (ВО) МГУГиК, 1-2 семестр.
Кафедра высшей математики
Составитель кандидат физико-математических наук, доцент
Емгушева Г.П.
Глава 1. Введение в анализ.
1. Функция, ее способы задания. Классификация функций - ее основные характеристики.
2. Основные элементарные функции и их графики.
3. Числовые последовательности. Определения монотонной и ограниченной последовательности.
Предел последовательности. Основные теоремы о пределах.
4. Предел функции в точке и на бесконечности. Понятие об односторонних пределах. Бесконечно
большая функция.
5. Бесконечно малые функции, их свойства Основные теоремы о пределах функций. Связь между
функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.
6. Признаки существования пределов. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение
бесконечно малых функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
7. Непрерывность функции в точке и в области. Основные свойства непрерывных функций.
Понятие о точках разрыва функции.
Глава 2. Дифференцирование функций одной переменной.
8. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее физический и
геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой.
9. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Гладкая функция.
Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций.
10. Таблица производных элементарных функций. Дифференцирование неявных и параметрически
заданных функций.
11. Производные
Дифференциал
высших
порядков.
функции.
Теоремы
Механический
о
смысл
производной
второго
порядка.
дифференциалах.
Применение
дифференциала
к
приближенным вычислениям.
12. Правила Лопиталя. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Экстремум функции. Необходимое и достаточное условия экстремума функции, чертежи к ним.
13. Применение второй производной к выпуклости графика функции и точкам перегиба.
Вертикальная и наклонная асимптоты графика функции.
Глава 3. Неопределенный интеграл.
14. Первообразная. Неопределенный интеграл, его основные свойства. Таблица основных
интегралов.
15. Непосредственное интегрирование, примеры. Замена переменной в интеграле (подстановка).
Интегрирование по частям, типы интегралов для которых применяется интегрирование по
частям.
16. Дробно-рациональная функция (рациональная дробь). Четыре типа простейших дробей.
Интегрирование трех простейших типов рациональных дробей.
17. Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка,
три основные подстановки. Интегралы вида
Глава 4. Определенный интеграл.
18. Определенный интеграл, теорема о существовании определенного интеграла, его геометрический
и физический смыслы. Формула Ньютона-Лейбница.
19. Основные свойства определенного интеграла.
Геометрические смыслы теоремы о среднем и
теоремы об оценке интеграла.
20. Вычисление определенного интеграла с помощью замены переменной и интегрирования по
частям. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.
21. Несобственные интегралы первого и второго рода, их геометрические смыслы. Признаки
сходимости несобственных интегралов.
22. Геометрические
приложения
определенного
интеграла:
площадь
плоской
фигуры
в
прямоугольных, параметрических и полярных координатах.
23. Длина дуги плоской фигуры в прямоугольных, параметрических и полярных координатах. Объем
тела, объем и поверхность тела вращения.
Глава 5. Элементы линейной алгебры.
24. Матрицы и их виды. Сложение, вычитание и умножение на число матриц, их свойства.
25. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные и каноническая матрица. Умножение
матриц. Перестановочные матрицы. Свойства произведения матриц. Транспонированные
матрицы и их свойства.
26. Определители и их свойства. Миноры, алгебраические дополнения.
27. Понятие обратной матрицы. Ранг матрицы, базисный минор. Свойства ранга матрицы.
28. Системы линейных алгебраических уравнений. Расширенная матрица и решение системы
линейных алгебраических
уравнений.
Совместная и несовместная система
уравнений.
Однородная система и тривиальное решение.
29. Теорема Кронекера-Капелли. Определение количества решений совместной системы линейных
уравнений с помощью ее ранга. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом
Крамера.
30. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Два критерия
существования ненулевого решения системы линейных алгебраических уравнений.
Глава 6. Элементы векторной алгебры.
31. Векторы и операции над ними. Коллинеарные и компланарные вектора. Свойства произведения
вектора на число и свойства линейных операций над векторами.
32. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора.
Направляющие косинусы.
33. Действия над векторами в координатной форме, условие коллинеарности векторов. Скалярное
произведение векторов и его свойства.
34. Векторное произведение векторов и его свойства. Приложение векторного произведения
векторов. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства и приложения.
Глава 7. Аналитическая геометрия на плоскости.
35. Декартовая и полярная система координат, формулы связи. Основные приложения метода
координат на плоскости: расстояние между двумя точками, деление отрезка в заданном
отношении.
36. Различные виды уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом, общее уравнение
прямой, уравнение прямой, проходящей через заданную точку и в заданном направлении, через
две заданные точки, уравнение прямой в отрезках.
37. Полярное и нормальное уравнение прямой на плоскости. Угол между прямыми, условия
параллельности и перпендикулярности двух прямых, расстояние от точки до прямой.
38. Линии второго порядка на плоскости: окружность и эллипс. Свойства эллипса.
39. Линии второго порядка на плоскости: гипербола и парабола, их свойства.
Глава 8. Аналитическая геометрия в пространстве.
40. Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнения плоскости, проходящих через заданную
точку, через три точки.
41. Уравнение плоскости в отрезках и нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до
плоскости.
42. Различные виды уравнения прямой в пространстве: векторное, параметрическое, каноническое,
уравнение прямой, проходящей через две точки, общие уравнения прямой.
Литература.
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Изд-во «АЙРИС-ПРЕСС».М.2007.
2. Шипачев В.С. Основы высшей математики. Изд-во «Высшая школа».М.1989.