Вопросы к экзамену по математике 1 семестр, ФДО, Строители, бакалавры Тема «Линейная алгебра» 1. Матрицы и их разновидности. Линейные операции над матрицами и их свойства. 2. Умножение матриц. Свойства умножения матриц. 3. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление. 4. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. 5. Свойства определителей. 6. Понятие об определителях n-го порядка. 7. Системы n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными и их решение по формулам Крамера. 8. Обратная матрица. Теорема о единственности. Теорема о существовании (доказать для матриц 2-го порядка). 9. Системы n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными и их решение матричным методом. 10. Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований. 11. Системы n-линейных алгебраических уравнений с m неизвестными. Общие понятия. Терема Кронекера – Капели. Теорема о числе решений. 12. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Признаки существования ненулевого решения. Тема « Векторная алгебра» 1. Векторные и скалярные величины. Определение вектора и его модуля. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами в геометрической форме. Вывести необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов. 3. Проекция вектора на ось, ее основные свойства. 4. Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Координаты точки. Стандартные базисы на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису. 5. Обосновать выполнение линейных операций над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности векторов в координатной форме. Вывести правило нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца. 6. Вывести формулы деления отрезка в заданном отношении. 7. Определение скалярного произведения векторов. Доказать его свойства. 8. Вывести формулу для нахождения скалярного произведения векторов в координатной форме. 9. Применение скалярного произведения векторов. 10. Определение векторного произведения векторов, его свойства. 11. Вывести формулы для нахождения векторного произведения векторов в координатной форме. 12. Применение скалярного произведения векторов. 13. Определение смешанного произведения векторов. Доказать его основные свойства. 14. Вывести формулу для нахождения смешанного произведения векторов в координатной форме. 15. Применение скалярного произведения векторов. Тема «Аналитическая геометрия» 1. Прямоугольная декартова система координат. Задачи аналитической геометрии. 2. Полярная система координат. Связь с прямоугольной системой координат. 3. Линия на плоскости (в R2) и ее уравнение в прямоугольной системе координат. Вывести уравнение окружности. 4. Параметрическое задание линии в R2. Параметрическое уравнение окружности. 5. Вывести различные виды уравнений прямой линии на плоскости (с угловым коэффициентом, каноническое, параметрические, общее). 6. Вывести формулы для вычисления угла между прямыми в R2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. (Для всех видов уравнений прямой.) 7. Расстояние от точки до прямой на плоскости. 8. Эллипс: определение, вывод уравнения, исследование формы, построение. Эксцентриситет. 9. Гипербола: определение, вывод уравнения, исследование формы, построение. Эксцентриситет. 10. Парабола: определение, вывод уравнения, исследование формы, построение. 11. Преобразование прямоугольной системы координат: параллельный перенос, поворот. 12. Поверхность и ее уравнение в R3. Вывести уравнение сферы. 13. Линия и ее уравнение в R3. Параметрические уравнения линии. Винтовая линия. 14. Вывести уравнение плоскости в R3. 15. Вывести формулу для вычисления угла между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности. 16. Вывести формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. 17. Вывести канонические и параметрические уравнения прямой в R3. 18. Общие уравнения прямой в R3. Переход от общих уравнений к каноническим и обратно. 19. Вывести формулу для вычисления угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. 20. Вывести формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью вR3. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Тема «Введение в математический анализ» 1. Понятие числовой последовательности и ее предела. 2. Понятие предела функции непрерывного аргумента. Односторонние пределы. Теорема о существовании предела. 3. Ограниченные и неограниченные функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел (с доказательством). 4. Теорема о сжатой переменной (с доказательством). Теорема о переходе к пределу в неравенствах. 5. Первый замечательный предел (с доказательством). Второй замечательный предел. 6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций (с доказательством). 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. 8. Теорема о связи функции, ее предела и величины бесконечно малой (с доказательством) 9. Теорема о пределе алгебраической суммы, произведения и частного функций (доказать для суммы и произведения). 10. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене эквивалентных бесконечно малых функций (с доказательством). 11. Понятие непрерывности функции. Различные определения непрерывности. Доказать их эквивалентность. 12. Теорема о непрерывности алгебраической суммы, произведения и частного функций (с доказательством). 13. Непрерывность сложной и обратной функции. 14. Теорема о непрерывности элементарных функций. 15. Точки разрыва функции и их классификация. 16. Свойства функций непрерывных на отрезке.