Экзаменационный билет ТВ 1

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный медицинский университет»
Министерства здравоохранения
Российской Федерации
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
«БИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И
ТЕХНОЛОГИИ»
Дисциплина: «Теория вероятности»
Направление подготовки: «Биотехнические системы и технологии
Факультет: «Медико-биологический»
Учебный год: 2014-2015
Экзаменационный билет №1
ИЗ КАЖДОГО ЗАДАНИЯ ВЫ ДОЛЖНЫ РЕШИТЬ ПО ОДНОЙ ЗАДАЧЕ – то есть
всего ШЕСТЬ (6) ЗАДАЧ.
Требования к оформлению работы:
1. Указать номер ЗАДАНИЯ И ЕГО РАЗДЕЛ, и номер решаемой задачи.
2. Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие.
3. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя
все действия по ходу решения и делая необходимые рисунки и схемы.
ВНИМАНИЕ! ЕСЛИ В РАБОТЕ ОТСУТСТВУЕТ
ПОЛНОСТЬЮ КАКОЕЛИБО ЗАДАНИЕ, ТО ИЗ ОБЩЕГО КОЛИЧЕСТВА НАБРАННЫХ БАЛЛОВ
ОТНИМАЕТСЯ 5 БАЛЛОВ!
РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ необходимо сопровождать пояснениями:
- указывать метод решения и пояснять решение задачи;
- приводить основные формулы и обосновывать их выбор;
- анализировать полученные результаты и делать выводы.
Только в этом случае за РЕШЁННУЮ ЗАДАЧУ ставится максимальное количество
баллов!
РАЗДЕЛ 1. Случайные события
1. В бригаде, состоящей из 4 женщин и 3 мужчин, разыгрываются 4 билета в театр.
Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2
мужчин?
12 баллов
2. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в
начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите
вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в)
попадет 2 раза.
12 баллов
3. Завод отправил на аптечный склад 5000 термометров.
Вероятность поломки
каждого термометра в пути равна
0,0002. Какова вероятность того, что 1) на
аптечный склад прибудет 3 поврежденных термометра? 2) менее трех? 3) более
трех? 4) хотя бы один?
15 баллов
4. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой
группы курса 4, из второй - 6, из третьей группы 5 студентов. Вероятности того, что
студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института,
соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге
соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот
студент?
15 баллов
РАЗДЕЛ 2. Одномерные случайные величины.
1. Случайная величина задана следующим законом распределения:
X
10
12
15
16
18
P
0,4
0,1
0,2
?
0,1
Найти: 1) неизвестную
вероятность; 2) математическое ожидание, дисперсию и
среднеквадратическое отклонение; 3) функцию распределения случайной величины F ( X ) и
построить график функции распределения; 4) вероятность того, что X  ( x1 ; x4 ) .
Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.
баллов
14
2. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F ( X ) .
Требуется убедиться, что заданная функция F ( X ) является функцией распределения
некоторой случайной величины, проверив свойства F ( X ) . В случае положительного
ответа найдите: а) дифференциальную функцию f (x) ; в) математическое ожидание
случайной
величины X ;
c)
дисперсию
случайной
величины
X
и
среднеквадратическое отклонение; d) построить графики интегральной F ( X ) и
дифференциальной f(x) функций; e) определить вероятность попадания величины X
в интервал (  ;  ) двумя способами (используя интегральную и дифференциальную
функции), а затем проиллюстрировать этот результат на графиках F ( X ) и f (x) .
0, x  2
1

F ( X )   x  1,2  x  4
2
1, x  4
  0;   3
15 баллов
3. В нормальном
законе распределения математическое ожидание равно 27,
среднеквадратическое отклонение равно 0,55. Чему равно  , если вероятность того,
что случайная величина принимает значения меньше  , равна 0,81.
12
баллов
4. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону с математическим ожиданием 164 см и среднеквадратическим
отклонением 5,5 см. Найти плотность вероятности и вычислить вероятность того, что
рост наудачу выбранной женщины будет не меньше 170 см.
14 баллов
РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины
Задача 1. Закон распределения системы (x, y) задан таблицей
-1
0
1
Y
X
1
0,1 0,1 0,1
0
0,3 0,1 0,3
Найдите:
1) законы распределения случайных величин Х и У в отдельности;
2) закон распределения Х при условии, что У  y 2 ;
3) закон распределения Y при условии, что X  x 2 ;
4) вероятность события ( Х  x1; У  y2 ) ;
5) выясните, зависимы ли случайные величины Х и У .
15 баллов
Задача 2. Плотности вероятностей независимых случайных величин x и y соответственно
равны:
1

1

, если y  1
, если x  1,

2


(
1

y
)
2
f
(
y
)

.
f1 ( x )   1  x

2
0, если y  1

0,
если x  1,


Найти: а) функцию распределения системы (x, y); б) плотности вероятности величин x и y;
в) функции распределения x и y. Являются ли x и y независимыми?
15 баллов
РАЗДЕЛ 4. Предельные теоремы ТВ
1. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3% . Найти вероятность того,
что при проверке партии из 1000 пластинок выявится отклонение от установленного
процента брака меньше, чем на 1% .
14 баллов
2. Случайная величина задана таблицей
Х
1
2
3
5
7
8
Р
0,1
0,3
0,2
0,1
0,2
0,1
Пользуясь неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что случайная величина Х
примет значение не больше 7
15 баллов
3. Сколько стоит провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения
m
 p  0,06
n
неравенства
превысила 0,78 , если вероятность появления данного события в
отдельном испытании 0,7 ?
14 баллов
РАЗДЕЛ 5. Случайные процессы: пуассоновские процессы.
Задача 1. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за I минуту, равно 3. Найти
вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2;
в) 4 самолета.
15 баллов
РАЗДЕЛ 6. Первичная статистическая обработка выборочных данных
Задача. В результате измерений длины листьев садовой земляники получены следующие
данные (см): 5,2; 5,6; 7,2; 6,6; 8,6; 8,2; 7,8; 7,8; 6,4; 8,0 (см). Сделайте точечную оценку
основных генеральных параметров и интервальную оценку генеральной средней на уровне
значимости 0,05. Постройте полигон распределения.
15 баллов
КАК ОЦЕНИВАЕТСЯ РЕЗУЛЬТАТ
ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИЗ ПЕРВОГО ЗАДАНИЯ ВЫ РЕШИЛИ 3-Ю ЗАДАЧУ, ИЗ
ВТОРОГО – 3-Ю И Т.Д. И ВСЕ ЗАДАЧИ РЕШЕНЫ БЕЗУКОРИЗНЕННО, Т.Е СОГЛАСНО
ТРЕБОВАНИЯМ.
РЕЗУЛЬТАТ ВАШЕЙ РАБОТЫ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ТАБЛИЦЕ:
ЗАДАНИЕ
Теория 1
2
3
4
5
6
Суммарное
(тест)
количество
Задача
3
3
2
1
3
1
баллов
Максимальное 10
количество
12
12
15
14
14
11
88
баллов
за задачу
И ЕЩЁ РАЗ ОБРАЩАЕМ ВАШЕ ВНИМАНИЕ НА ТО, ЧТО МАКСИМАЛЬНОЕ
КОЛИЧЕСТВО БАЛЛОВ СТАВИТЬСЯ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ВЫ
РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ сопровождали пояснениями:
-
указывали метод решения и поясняли решение задачи;
приводили основные формулы и обосновывали их выбор;
анализировали полученные результаты и делали выводы.
УСПЕХОВ ВАМ В ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ!
М.П.
Зав. кафедрой математики и информатики ___________ З.А. Филимонова