4. Случайные величины (видео).

Теория вероятностей и
математическая статистика
Занятие 4.
Дискретные и непрерывные
случайные величины. Функция
распределения. Плотность
распределения.
Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н.,
Шерстнёва Анна Игоревна
Определение. Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и
только одно возможное значение, наперёд не известное и зависящее от случайных причин, которые
заранее не могут быть учтены.
Случайные величины: X, Y, Z,…, их значения: x, y, z,…
Примеры.
1. Количество родившихся мальчиков среди 100
новорождённых.
2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле.
Чем отличаются случайные величины из этих двух
примеров?
1. Количество родившихся мальчиков среди 100
новорождённых.
Случайная величина принимает отдельные,
изолированные значения.
Дискретная случайная величина.
2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле.
Случайная величина принимает любое
значение из некоторого промежутка.
Непрерывная случайная величина.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретная случайная величина
Как определить дискретную случайную величину?
1. Перечислить возможные значения.
Пример 1. Число, выпавшее при бросании кубика.
Пример 2. Число, выпавшее при бросании кубика
со смещённым центром тяжести (часто выдаёт 6).
2. Указать вероятности возможных значений.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными
значениями и их вероятностями.
Закон распределения полностью определяет
дискретную случайную величину.
Способы задания закона распределения
дискретной случайной величины.
Таблично:
X
p
x1
p1
x2 …
p2 …
xn
pn
p1+ p2 +…+ pn= 1
Аналитически:
Графически:
p( xi )  f (i ), i  1, 2, ..., n
p1
x1
p2
x2
p3
p4
x3
x4
– многоугольник
распределения
Пример.
В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Среди
них один билет с выигрышем в 10 тысяч рублей и
десять – с выигрышем в 1 тысячу рублей.
Случайная величина – сумма выигрыша.
Возможные значения:
89
p1 
100
Х
0
10
p2 
100
1
89 10
р
100 100
10
x1  0
x3  10
1
p3 
100
р
1
100
закон распределения
x2  1
многоугольник
распределения
Х
0 1
10
Непрерывная случайная величина
Непрерывная случайная величина принимает любое
значение из некоторого промежутка.
Как определить непрерывную случайную величину?
Способ задания перечислением возможных
значений не подходит.
p( X  x)
x1
x2
x
p( X  x) – функция от переменной х
Определение. Функцией распределения случайной
величины Х называется функция F(x), задающая
вероятность того, что случайная величина Х
принимает значение, меньшее x, то есть
F(x) = p(X < x).
Функцию F(x) также называют интегральной
функцией распределения.
Функция распределения полностью определяет
непрерывную случайную величину.
Замечание. Понятие функции распределения вводится таким образом не только для непрерывных
случайных величин, но и для дискретных.
Свойства функции распределения
1) 0  F ( x)  1
2) Если x1 < x2, то
F(x) = p(X < x)
F ( x1 )  F ( x 2 )
3) p(a  X  b)  p( X  b)  p( X  a)  F (b)  F (a)
4) Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу (a, b), то а) F(x)=0 при x  a
и б) F(x)=1 при x  b
5) Если Х – непрерывная случайная величина, то
вероятность того, что она примет одно
определённое значение равна нулю: p(X=x) = 0.
Случайная величина задана на отрезке (a, b).
1
a
Пример.
Х
2
5
7
р 0.2 0.5
0.3
1
0.7
0.2
1 2
4
5
b
F(x) = p(X < x).
F (1)  p( X  1)  0
F ( 2 )  p ( X  2)  0
F ( 4)  p( X  4)  0.2
F (5)  p( X  5)  0.2
Х F (7)  p( X  7)  0.2  0.5  0.7
F (8)  p( X  8)  0.2  0.5  0.3  1
7
Непрерывную случайную величину можно задать
функцией распределения.
Существует ещё один способ задания непрерывной
случайной величины.
Определение.
Плотностью
распределения
вероятностей непрерывной случайной величины
Х называют функцию, являющуюся производной
от функции распределения:
f (x) = F’(x).
Также функцию f(x) называют плотностью
вероятности или дифференциальной функцией
распределения.
Свойства плотности распределения
b
1) p( a  X  b)   f ( x )dx
a
2) F ( x ) 
p(a < x < b)
x
 f ( x)dx

f (x)
a
b
3) f ( x)  0

4)
 f ( x)dx  1

f (x)
Основные дискретные распределения
1. Биномиальное распределение
p – вероятность события А
Х – число появлений события А в n независимых
испытаниях
Возможные значения:
k = 0, 1, 2, …, n
Обозначим q=1 – p. Тогда
p(k) = pkqn-kCnk
р – параметр распределения
n
(
p

q
)

Бином Ньютона:
n
k k n k
C
 np q
k 0
2. Распределение Пуассона
n – очень большое, p – очень мала,
np  
Х – число появлений события А в n независимых
испытаниях
Возможные значения:
k = 0, 1, 2, …, n
Тогда p(k) = pkqn-kCnk.
Можно показать, что lim
p( k ) 
k 
 e
k!
n 
k
Cn
k n k
p q

k e 
k!
λ – параметр распределения

3. Геометрическое распределение
p – вероятность события А
Х – число испытаний, которое нужно провести до
первого появления события А
Возможные значения:
все натуральные числа
k = 1, 2, 3, …
Обозначим q=1 – p. Тогда
p(k) = qk-1p
р – параметр распределения
p, qp, q2p, q3p, q4p, ... – геометрическая прогрессия
4. Гипергеометрическое распределение
В партии из N изделий имеется М стандартных.
Из партии случайно выбирают n изделий.
Х – число стандартных изделий среди отобранных
Возможные значения:
p( k ) 
k = 0, 1, 2, …, min (M,n)
k
CM
C Nn kM
C Nn
N, M, n – параметры распределения
Основные непрерывные распределения
1. Показательное распределение
x0
 0,
f ( x )    x
e , x  0
x0
 0,
F ( x)  
 x
1

e
, x0

λ – параметр распределения
1
f(x)
F(x)
2. Равномерное распределение
В интервале (a, b) постоянная плотность распределения
xa
 0,
 1
f ( x)  
, a xb
b  a
xb
 0,
xa
 0,
x a
F ( x)  
, a xb
b  a
xb
 1,
a, b – параметры распределения
f(x)
1/(b–a)
a
F(x)
1
b
a
b
3. Нормальное распределение
1
f ( x) 
e
 2
( x  a )
2
2
2
1
F ( x) 
 2
x
e

a, σ – параметры распределения
f(x)
a
( x a ) 2
2 2
dx
4. Распределение χ2 (распределение Пирсона)
Пусть независимые случайные величины Х1, Х2, …, Хk
имеют нормальное распределение, причём математическое ожидание каждой из них равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 1.
Тогда сумма квадратов этих величин:
 2  X 12  X 22  ...  X k2
имеет
 – распределение с k степенями свободы.
2
k – параметр распределения
1) Случайная величина χ2 ≥ 0.
2) При увеличении числа степеней свободы распределение Пирсона медленно приближается к нормальному.
5. Распределение Стьюдента (t – распределение)
Пусть X и Y – независимые случайные величины.
X имеет нормальное распределение с матаматическим
ожиданием, равным 0, и средним квадратическим
отклонением, равным 1.
Y имеет  2– распределение с k степенями свободы.
Тогда величина
X
T
Y /k
имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы
k – параметр распределения
При увеличении числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.
6. Распределение Фишера (F – распределение)
Пусть X и Y – независимые случайные величины.
2

X имеет
– распределение с k1 степенями свободы.
Y имеет  2 – распределение с k2 степенями свободы.
Тогда величина
X / k1
F
Y / k2
имеет распределение Фишера с k1 и k2 степенями
свободы.
k1 и k2 – параметры распределения
Так как X ≥ 0 и Y ≥ 0, то F ≥ 0.
Контрольные вопросы
1. Что такое случайная величина?
2. Какие бывают случайные величины?
3. Чем отличаются дискретные и непрерывные случайные
величины?
4. Что такое закон распределения дискретной случайной
величины?
5. Как можно задать закон распределения случайной
величины?
6. Что такое многоугольник распределения?
7. Как можно задать непрерывную случайную величину?
8. Что такое функция распределения?
9. Перечислите основные свойства функции распределения.
10.Как найти вероятность попадания значений случайной
величины в определённый интервал с помощью функции
распределения?
Контрольные вопросы
11. Что такое плотность распределения вероятностей
случайной величины?
12.Для каких случайных величин может быть найдена
плотность распределения вероятностей?
13.Перечислите основные свойства плотности распределения.
14.Как найти вероятность попадания значений случайной
величины в определённый интервал с помощью плотности
распределения?
15.Как найти функцию распределения случайной величины,
если известна плотность распределения?
16.Перечислите основные дискретные распределения.
17.Перечислите основные непрерывные распределения.