2БТСиТ Материалы для подготовки к экзамену Для специальности: 201000 – Биотехнические системы и технологии Дисциплина: Теория вероятности 4-й семестр 2013-2014 уч. год ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ПИСЬМЕННОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ В каждый вариант экзаменационного билета будут включены задачи из разделов: РАЗДЕЛ 1. Случайные события. Повторные независимые испытания РАЗДЕЛ 2. Одномерные (дискретные и непрерывные) случайные величины. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины РАЗДЕЛ 4. Предельные теоремы ТВ РАЗДЕЛ 5. Случайные процессы: пуассоновские процессы. Марковские случайные процессы. РАЗДЕЛ 6. Первичная статистическая обработка выборочных данных Экзаменационный билет будет содержать всего 6 ЗАДАНИЙ. В каждом ЗАДАНИИ вам будет предложено несколько ЗАДАЧ различной трудности на выбор. Таким образом, ИЗ КАЖДОГО ЗАДАНИЯ ВЫ ДОЛЖНЫ РЕШИТЬ ПО ОДНОЙ ЗАДАЧЕ – то есть всего ШЕСТЬ (6) ЗАДАЧ. Требования к оформлению работы: 1. Указать номер ЗАДАНИЯ И ЕГО РАЗДЕЛ, и номер решаемой задачи. 2. Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие. 3. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые рисунки и схемы. ВНИМАНИЕ! ЕСЛИ В РАБОТЕ ОТСУТСТВУЕТ ПОЛНОСТЬЮ КАКОЕ-ЛИБО ЗАДАНИЕ, ТО ИЗ ОБЩЕГО КОЛИЧЕСТВА НАБРАННЫХ БАЛЛОВ ОТНИМАЕТСЯ 5 БАЛЛОВ! - РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ необходимо сопровождать пояснениями: указывать метод решения и пояснять решение задачи; приводить основные формулы и обосновывать их выбор; анализировать полученные результаты и делать выводы. Только в этом случае за РЕШЁННУЮ ЗАДАЧУ ставится максимальное количество баллов! 1 2БТСиТ Материалы для подготовки к экзамену РАЗДЕЛ 1. Случайные события 1. В бригаде, состоящей из 4 женщин и 3 мужчин, разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин? 12 баллов 2. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза. 12 баллов 3. Завод отправил на аптечный склад 5000 термометров. Вероятность поломки каждого термометра в пути равна 0,0002. Какова вероятность того, что 1) на аптечный склад прибудет 3 поврежденных термометра? 2) менее трех? 3) более трех? 4) хотя бы один? 15 баллов 4. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй - 6, из третьей группы 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент? 15 баллов РАЗДЕЛ 2. Одномерные случайные величины. 1. Случайная величина задана следующим законом распределения: X 10 12 15 16 18 P 0,4 0,1 0,2 ? 0,1 Найти: 1) неизвестную вероятность; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение; 3) функцию распределения случайной величины F ( X ) и построить график функции распределения; 4) вероятность того, что X ( x1 ; x4 ) . Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах. 14 баллов 2. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F ( X ) . Требуется убедиться, что заданная функция F ( X ) является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства F ( X ) . В случае положительного ответа найдите: а) дифференциальную функцию f (x ) ; в) математическое ожидание случайной величины X ; c) дисперсию случайной величины X и среднеквадратическое отклонение; d) построить графики интегральной F ( X ) и дифференциальной f(x) функций; e) определить вероятность попадания величины X в интервал ( ; ) двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции), а затем проиллюстрировать этот результат на графиках F ( X ) и f (x ) . 0, x 2 1 F ( X ) x 1,2 x 4 2 1, x 4 0; 3 15 баллов 3. В нормальном законе распределения математическое ожидание равно 27, среднеквадратическое отклонение равно 0,55. Чему равно , если вероятность того, что случайная величина принимает значения меньше , равна 0,81. 12 баллов 4. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 164 см и среднеквадратическим отклонением 5,5 см. Найти плотность вероятности и вычислить вероятность того, что рост наудачу выбранной женщины будет не меньше 170 см. 14 баллов РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины Задача 1. Закон распределения системы (x, y) задан таблицей Y -1 0 1 2 2БТСиТ Материалы для подготовки к экзамену X 1 0 0,1 0,3 0,1 0,1 0,1 0,3 Найдите: 1) законы распределения случайных величин Х и У в отдельности; 2) закон распределения Х при условии, что У y 2 ; 3) закон распределения Y при условии, что X x 2 ; 4) вероятность события ( Х x1; У y2 ) ; 5) выясните, зависимы ли случайные величины Х и У . 15 баллов Задача 2. Плотности вероятностей независимых случайных величин x и y соответственно равны: 1 , если x 1, f1 ( x ) 1 x 2 0, если x 1, 1 (1 y 2 ) , если y 1 f 2 ( y) . 0, если y 1 Найти: а) функцию распределения системы (x, y); б) плотности вероятности величин x и y; в) функции распределения x и y. Являются ли x и y независимыми? 15 баллов РАЗДЕЛ 4. Предельные теоремы ТВ 1. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3% . Найти вероятность того, что при проверке партии из 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на 1% . 14 баллов 2. Случайная величина задана таблицей Х 1 2 3 5 7 8 Р 0,1 0,3 0,2 0,1 0,2 0,1 Пользуясь неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что случайная величина Х примет значение не больше 7 15 баллов 3. Сколько стоит провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения нераm p 0,06 превысила 0,78 , если вероятность появления данного события в отвенства n дельном испытании 0,7 ? 14 баллов РАЗДЕЛ 5. Случайные процессы: пуассоновские процессы. Задача 1. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за I минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета. 15 баллов РАЗДЕЛ 6. Первичная статистическая обработка выборочных данных Задача. В результате измерений длины листьев садовой земляники получены следующие данные (см): 5,2; 5,6; 7,2; 6,6; 8,6; 8,2; 7,8; 7,8; 6,4; 8,0 (см). Сделайте точечную оценку основных генеральных параметров и интервальную оценку генеральной средней на уровне значимости 0,05. Постройте полигон распределения. 15 баллов 3 2БТСиТ Материалы для подготовки к экзамену КАК ОЦЕНИВАЕТСЯ РЕЗУЛЬТАТ ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИЗ ПЕРВОГО ЗАДАНИЯ ВЫ РЕШИЛИ 3-Ю ЗАДАЧУ, ИЗ ВТОРОГО – 3-Ю И Т.Д. И ВСЕ ЗАДАЧИ РЕШЕНЫ БЕЗУКОРИЗНЕННО, Т.Е СОГЛАСНО ТРЕБОВАНИЯМ. РЕЗУЛЬТАТ ВАШЕЙ РАБОТЫ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ТАБЛИЦЕ: ЗАДАНИЕ Задача Теория (тест) Максимальное 10 количество баллов за задачу 1 2 3 4 5 6 3 3 2 1 3 1 Суммарное количество баллов 12 12 15 14 14 11 88 И ЕЩЁ РАЗ ОБРАЩАЕМ ВАШЕ ВНИМАНИЕ НА ТО, ЧТО МАКСИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО БАЛЛОВ СТАВИТЬСЯ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ВЫ РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ сопровождали пояснениями: - указывали метод решения и поясняли решение задачи; - приводили основные формулы и обосновывали их выбор; - анализировали полученные результаты и делали выводы. УСПЕХОВ ВАМ В ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ! 4