Лекция 2. Случайные величины

Математические основы измерений
Математическая обработка результатов измерения
Лектор:
ст. преподаватель каф. ИИТ
Вавилова Галина Васильевна
Содержание
1.
Случайная величина
1. Дискретная случайная величина
2. Непрерывная случайная величина
2.
3.
Числовые характеристики СВ
Законы распределения случайных
величин
2
1. Случайная величина
Случайная
величина
(СВ)
•величина, которая в результате опыта может
принимать то или иное значение, причём до
завершения опыта неизвестно какое.
3
1.1 Дискретная случайная
величина
Дискретная
случайная
величина
(ДСВ)
•случайную величину, которая может принимать
отдельные, изолированные значения с
определенными вероятностями
4
Закон распределения
•любое правило, устанавливающее
соответствие между значениями случайной
Закон
величины и вероятностями ее наступления.
распределения
5
Ряд распределения ДСВ
•совокупность всех возможных значений xi и
соответствующих им вероятностей pi  P( X  xi )
Ряд
распределения
x1
x2
...
xn
p1
p2
...
pn
p1  p2  ...  pn  1
• Графическое изображение ряда распределения
Многоугольник
распределения
6
Функция распределения СВ
Функция
распределения
• функция F(x), значение которой в точке х равно
вероятности того, что случайная величина X
будет меньше этого значения х, то есть
F(x)=P{X<x}
F ( x)   pi
xi  x
1.2
1
0.4
0.8
T
y
F1( x) 0.6
0.2
0.4
0.2
0
0
0
2
4
T
x
6
8
0 1.67 3.33 5 6.67 8.33 10
x
7
1.2 Непрерывная случайная
величина
• Случайная величина, возможные значения
которой непрерывно заполняют некоторые
конечные или бесконечные промежутки
Непрерывная
случайная
величина (НСВ)
X
F ( x) 
 f ( x)dx

8
Плотность распределения НСВ
Плотность
распределения
(или плотность
вероятности)
•производная функции распределения
случайной величины, обозначаемая f(x).
F(x)
• График плотности распределения
Кривая
распределения
9
Интегральный и дифференциальный
законы распределения
X
F ( x) 
 f ( x)dx
Функция распределения

f ( x)  lim
x 0
P( x  X  x  x)
F ( x  x)  F ( x) dF ( x)
 lim

x

x
dx
x 0
Плотность распределения
10
Свойства функции распределения
F(-∞ ) = 0
F(+∞ ) = 1
F(xmin) = 0
F(xmax ) = 1
F(x1) ≤ F(x2),
при x1 < x2
P(a ≤ X < b) =
= F(b) - F(a)
11
Свойства плотности
распределения
Плотность
распределения
неотрицательна:
f(x) ≥ 0.
Условие
нормировки:

 f ( x)dx  1

12
Случайные величины
Дискретная СВ
Непрерывная СВ
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Ряд
распределения
Функция
распределения
Плотность
распределения
13
2. Числовые характеристики СВ
• среднее значение случайной величины
Математическое
ожидание
 xi  PX  xi  для

 i 
mx  M x   
для
  x  f x dx

 
ДСВ,
НСВ.
14
Мода и медиана
Мода
(Mx, Mo)
Медиана
•наиболее вероятное значение СВ, т.е. то значение,
для которого вероятность pi (для дискретной СВ) или
f(x) (для непрерывных СВ) достигает максимума.
•значение СВ, для которого выполняется условие
P(X<Me) = P(X≥Me)
(Me)
15
Начальный и центральный моменты СВ
,
Начальный момент s-го порядка
•математическое ожидание s-й степени этой
случайной величины: αs = M[Xs].
Центрированная СВ
• отклонение СВ от математического ожидания:
0
X  X  mx
Центральный момент
• момент центрированной случайной величины
Центральный момент порядка s
• математическое ожидание s-й степени
центрированной случайной величины:  s

 0s 
s
 M  X   M  X  mx 
 

16
2. Числовые характеристики
случайной величины
Коэффициент асимметрии (или скошенности)
A
Коэффицинет эксцесса (или островершинности)
E
3
3
4
3
4

17
Дисперсия
Дисперсия
•математическое
ожидание
квадрата
соответствующей центрированной случайной
величины. Характеризует разброс СВ относительно
среднего значения (мат. ожидания)
  xi  m x 2  PX  xi    xi 2  PX  xi   (m x ) 2
 i
i


Dx   
2


x

m
 f x dx   x 2  f  x dx  (m x ) 2

x




для
ДСВ,
для
НСВ.
Вычислить дисперсию можно:
 
DX   M X 2  m x2
18
Среднее квадратическое
отклонение
Среднее
квадратическое
отклонение
(СКО)
• Характеристика  x   X   DX 
• характеризует ширину диапазона значений
СВ.
• [ m - 3σ; m + 3σ ]
Правило 3σ
19
3. Некоторые частные законы
распределения СВ

Законы распределения дискретных случайных величин

Законы распределения непрерывных случайных величин
20
,
,
Биномиальное распределение
,
p k  P(.  k )  C nk p k q n  k
где 0 < p < 1,
q = 1 – p, k = 0, 1, …, n,
,
Основные
характеристики :
M ( X )  np
D( X )  npq
A
E
q p
npq
1  6 pq
npq
21
Геометрическое распределение
p k  P(  k )  p k q
где 0 < p < 1,
q = 1 – p,
Функция вероятности
k = 0, 1, …, n,
Функция распределения
Основные характеристики
1 p
M (X ) 
p
q
D( X )  2
p
A
2 p
1 p
p2
E  6
1 p
.
22
,
,
Пуассоновское распределение
,
.
p k  P(   k ) 
где k= 0, 1, 2, …,
k
k!
e  ,
λ > 0 – параметр пуассоновского распределения.
Функция вероятности
Основные характеристики
M ( X )   D( X )  
A
Функция распределения
1
2
E  1
23
Законы распределения непрерывных
случайных величин
24
Равномерное распределение
,
,
,
Функция вероятности
x  a, b
 0,
p ( x )   1
, x  a, b
 b  a
.
Функция распределения
 0,
x  a
F ( x)  
b  a
 1
xa
a xb
xb
Основные характеристики:
ab
M (X ) 
2
2

b  a
D( X ) 
12
A0
E
6
5
25
Экспоненциальное
(показательное) распределение
,
,
,
Функция вероятности
x0
 0,
p ( x)   x
e , x  0
Функция распределения
x0
 0,
F ( x)  
 x
1  e , x  0
Основные характеристики:
Основные характеристики:
M ( X )  1 D( X )  2 A  2
E6
26
,
,
,
.
Нормальное распределение
p ( x) 
  x   2 
1

exp  
2

2

2 


Функция вероятности
Функция распределения
Основные характеристики :
M (X )  
D( X )   2
A0 E0
27
,
Распределение Стьюдента
,
,
p n( x) 
 n 1
n 1
Г

2  2
1
x 
. 2  
1  
,xR
n 
n 
n
Г 
2
Функция вероятности
Функция распределения
Основные характеристики :
Основные характеристики :
M ( X )  0, если n  1
D( X ) 
n
, если n  2
n2
A  0, если n  3
E
6
, если n  4
n4
28
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
29