ИСЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТОД ШАЛЯ И ШУБЕРТА 1
реклама
ÈÑ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß: ÌÅÒÎÄ ØÀËß È ØÓÁÅÐÒÀ Âàëåíòèíà Êèðè÷åíêî 1. Èñ÷èñëåíèå Øóáåðòà Èñ÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ ñ÷èòàåò ÷èñëî ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè. Îäíà èç ñàìûõ ïåðâûõ çàäà÷ èñ÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè ýòî çàäà÷à Àïîëëîíèÿ. Çàäà÷à 1.1 (Àïîëëîíèé). Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòåé, êàñàþùèõñÿ òð¼õ çàäàííûõ îêðóæíîñòåé íà ïëîñêîñòè? Ýòà çàäà÷à áûëà ðåøåíà åù¼ â Äðåâíåé Ãðåöèè â òðåòüåì âåêå äî íàøåé ýðû. Îòâåò çàâèñèò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ îêðóæíîñòåé. Ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü êîíôèãóðàöèè èç òð¼õ îêðóæíîñòåé, äëÿ êîòîðûõ îòâåò áåñêîíå÷åí. Äëÿ îñòàëüíûõ êîíôèãóðàöèé îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìàêñèìàëüíûé âîçìîæíûé îòâåò âîñåìü, à âîîáùå îòâåò ìîæåò áûòü è ëþáûì ìåíüøèì ÷èñëîì, êðîìå ñåìè.  çàäà÷å Àïîëëîíèÿ âñå îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ òð¼õ äàííûõ, ìîæíî íàéòè ÿâíî. Íàïðèìåð, ïîïðîáóéòå ïîñòðîèòü òàêèå îêðóæíîñòè ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Îäíàêî, â áîëüøèíñòâå äðóãèõ çàäà÷ èñ÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè ìîæíî íàéòè ÷èñëî îáúåêòîâ ñ çàäàííûìè ãåîìåòðè÷åñêèì ñâîéñòâàìè, íå íàõîäÿ ïðè ýòîì ñàìè îáúåêòû. ×àñòî äàæå áûâàåò, ÷òî íàéòè ÿâíî ñàìè îáúåêòû íåâîçìîæíî, çàòî íåñëîæíî âû÷èñëèòü, ñêîëüêî èõ áóäåò.  äåâÿòíàäöàòîì âåêå èñ÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ áûëà îäíîé èç ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè. Áûëî ðåøåíî ìíîæåñòâî êîíêðåòíûõ çàäà÷, à êðîìå òîãî, íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ãåðìàí Øóáåðò ðàçðàáîòàë åäèíûé ýôôåêòèâíûé ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ðåøàòü çàäà÷è èñ÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè ñðåäñòâàìè àëãåáðû. Øóáåðò íàçâàë ñâîé ìåòîä èñ÷èñëåíèåì óñëîâèé, íî òåïåðü ìåòîä Øóáåðòà ÷àùå íàçûâàþò èñ÷èñëåíèåì Øóáåðòà. Ïðîèëëþñòðèðóåì ìåòîä Øóáåðòà íà òàêîì ïðèìåðå. Çàäà÷à 1.2 (Øóáåðò).  òð¼õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíî ÷åòûðå ïîïàðíî ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ïðÿìûõ, ïåðåñåêàþùèõ âñå ÷åòûðå çàäàííûå ïðÿìûå? Âîçìîæíûõ îòâåòîâ ÷åòûðå: äâå, îäíà, íè îäíîé èëè áåñêîíå÷íî ìíîãî. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü ïî-ðàçíîìó. Îäèí èç ñïîñîáîâ âûòåêàåò èç çàäà÷è 1.3. Ìû æå ðàçáåð¼ì ðåøåíèå Øóáåðòà. Ïðè ýòîì íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü òîëüêî òå êîíôèãóðàöèè èç ÷åòûð¼õ ïðÿìûõ, äëÿ êîòîðûõ îòâåò êîíå÷åí è ïðè ýòîì 1 2 Âàëåíòèíà Êèðè÷åíêî Ðèñ. 1 ìàêñèìàëåí. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ÷óòü-÷óòü ïîäâèãàòü ïðÿìûå â òàêîé êîíôèãóðàöèè, òî îòâåò íå èçìåíèòñÿ. Ýòî îäèí èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðèíöèïîâ èñ÷èñëåíèÿ Øóáåðòà ïðèíöèï ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà. Ïîëüçóÿñü ýòèì ïðèíöèïîì ìîæíî çàìåíÿòü îäíó êîíôèãóðàöèþ ïðÿìûõ íà äðóãóþ, áîëåå ïðîñòóþ. Èäåÿ Øóáåðòà âìåñòî ÷åòûð¼õ ïîïàðíî ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèé ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé: ïðÿìûå l1 è l2 ïåðåñåêàþòñÿ, è ïðÿìûå l3 è l4 òîæå (ñì. ðèñ. 1). Ïóñòü ïðÿìûå l1 è l2 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå a. Òîãäà îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç P . Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ l3 è l4 îáîçíà÷èì ÷åðåç a0 , à ñîäåðæàùóþ èõ ïëîñêîñòü ÷åðåç P 0 . Ëåãêî äîêàçàòü ãåîìåòðè÷åñêè, ÷òî ðîâíî äâå ïðÿìûõ ïåðåñåêàþò âñå ÷åòûðå ïðÿìûõ l1 , l2 , l3 è l4 : ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè a è a0 , è ïðÿìàÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé P è P 0 . Ìû æå äîêàæåì ýòî àëãåáðàè÷åñêè ñ ïîìîùüþ èñ÷èñëåíèÿ óñëîâèé. Ïðåèìóùåñòâî àëãåáðàè÷åñêîãî ìåòîäà â åãî óíèâåðñàëüíîñòè îí ðàáîòàåò è â áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷àõ, ãäå ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè óæå íå õâàòàåò. Îïðåäåëèì óñëîâèå σi íà ïðÿìóþ l òàêèì îáðàçîì: óñëîâèå σi âûïîëíåíî, åñëè ïðÿìàÿ l ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ li . Óñëîâèÿ ìîæíî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü. Ïîä ñóììîé íåñêîëüêèõ óñëîâèé áóäåì ïîíèìàòü âûïîëíåíèå õîòÿ áû îäíîãî èç óñëîâèé (òî, ÷òî â ëîãèêå íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèåé), à ïîä ïðîèçâåäåíèåì âûïîëíåíèå âñåõ óñëîâèé îäíîâðåìåííî (òî åñòü êîíúþíêöèþ). Òîãäà, ñêàæåì, óñëîâèå σ1 + σ2 åñòü óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ ñ l1 èëè l2 , à âûïîëíåíèå óñëîâèÿ σ1 σ2 ðàâíîñèëüíî ïåðåñå÷åíèþ ñ îáåèìè ïðÿìûìè l1 è l2 . Óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé l ñî âñåìè ÷åòûðüìÿ ïðÿìûìè l1 , l2 , l3 , l4 ýòî óñëîâèå σ1 σ2 σ3 σ4 . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñëîæåíèå è óìíîæåíèå óñëîâèé óäîâëåòâîðÿåò îáû÷íûì ñâîéñòâàì ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, òàêèì êàê ïåðåìåñòèòåëüíûé, ñî÷åòàòåëüíûé è ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîíû. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü äâà óñëîâèÿ ðàâíûìè, åñëè èì óäîâëåòâîðÿþò îäíè è òå æå ïðÿìûå. Íàøà öåëü çàìåíèòü óñëîâèå σ1 σ2 σ3 σ4 íà ðàâíîå åìó, íî áîëåå ïðîñòîå óñëîâèå. ÈÑ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß: ÌÅÒÎÄ ØÀËß È ØÓÁÅÐÒÀ 3 Îáîçíà÷èì çà ρa óñëîâèå, ÷òî ïðÿìàÿ l ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó a, à çà τP óñëîâèå, ÷òî ïðÿìàÿ l ëåæèò â ïëîñêîñòè P . Òîãäà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî σ1 σ2 = ρa + τP . Àíàëîãè÷íî, σ3 σ4 = ρa0 + τP 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, σ1 σ2 σ3 σ4 = ρa ρa0 + ρa τP 0 + τP ρa0 + τP τP 0 . Òåïåðü çàìåíèì óñëîâèå â ëåâîé ÷àñòè è êàæäîå èç ÷åòûð¼õ óñëîâèé â ïðàâîé ÷àñòè íà ÷èñëî ïðÿìûõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîìó óñëîâèþ. Çäåñü ìû èñïîëüçóåì åù¼ îäèí ôóíäàìåíòàëüíûé ïðèíöèï èñ÷èñëåíèÿ Øóáåðòà àëãåáðàè÷åñêèå òîæäåñòâà íà óñëîâèÿ ïðè òàêèõ çàìåíàõ äàþò âåðíûå ÷èñëåííûå ðàâåíñòâà. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êàæäîìó èç óñëîâèé ρa ρa0 è τP τP 0 óäîâëåòâîðÿåò ðîâíî îäíà ïðÿìàÿ, à óñëîâèÿì ρa τP 0 è τP ρa0 íè îäíîé. Ïîýòîìó ìû îïÿòü ïîëó÷àåì, ÷òî ÷èñëî ïðÿìûõ, ïåðåñåêàþùèõ l1 , l2 , l3 , l4 , ðàâíî äâóì. Ïðèìåðíî òàêèì îáðàçîì Øóáåðò ñâîäèë ñëîæíûå óñëîâèÿ ê áîëåå ïðîñòûì è â äðóãèõ çàäà÷àõ. Òî, ÷òî ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé äàñò òîò æå îòâåò, ÷òî è îáùèé, Øóáåðò íå îáîñíîâûâàë, è ïîýòîìó åãî ñîâðåìåííèêè íåîäíîêðàòíî ïûòàëèñü óëè÷èòü åãî, ïðèâîäÿ ïðèìåðû, â êîòîðûõ âûðîæäåííûé ñëó÷àé äà¼ò íåâåðíûé îòâåò. Îäíàêî, âî âñåõ âû÷èñëåíèÿõ Øóáåðòà îòâåò ïîëó÷àëñÿ ïðàâèëüíûì. Äàâèä Ãèëüáåðò âêëþ÷èë ïðîáëåìó îáîñíîâàíèÿ èñ÷èñëåíèÿ Øóáåðòà â ñâîé çíàìåíèòûé ñïèñîê ïðîáëåì ïîä íîìåðîì 15. Ïîïûòêè ðåøèòü ýòó ïðîáëåìó ñïîñîáñòâîâàëè ðàçâèòèþ íåêîòîðûõ âàæíûõ íàïðàâëåíèé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè, òàêèõ êàê àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ñ òåõ ïîð ìåòîäû Øóáåðòà áûëè ÷àñòè÷íî îáîñíîâàíû ñ ïîìîùüþ òåîðèè ïåðåñå÷åíèé (ïîñëåäíÿÿ è áûëà ñîçäàíà âî ìíîãîì äëÿ òîãî, ÷òîáû ôîðìàëèçîâàòü èñ÷èñëåíèå Øóáåðòà), íî â ïîëíîì îáú¼ìå 15-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà ïîêà íå ðåøåíà. Èñ÷èñëåíèþ óñëîâèé è åãî ìíîãî÷èñëåííûì ïðèëîæåíèÿì ê êîíêðåòíûì çàäà÷àì èñ÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè Øóáåðò ïîñâÿòèë öåëóþ êíèãó Kalk ul der abzahlenden Geometrie, èçäàííóþ â 1879 ãîäó. Ñïóñòÿ ñòî ëåò êíèãà Øóáåðòà áûëà âïåðâûå ïåðåèçäàíà, à èíòåðåñ ê èñ÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè âíîâü âûðîñ îêàçàëîñü, ÷òî îíà âàæíà äëÿ òåîðèè ñòðóí, íîâîé ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, ïðèçâàííîé åäèíûì îáðàçîì îáúÿñíèòü ïðèðîäó âñåõ ôèçè÷åñêèõ âçàèìîäåéñòâèé. Çàäà÷à 1.3. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå â òð¼õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ïåðåñåêàþùèå òðè ïîïàðíî ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå, çàìåòàþò ïîâåðõíîñòü, çàäàííóþ óðàâíåíèåì ñòåïåíè äâà. (Íà ñàìîì äåëå, òàêàÿ ïîâåðõíîñòü ëèáî îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä, ëèáî ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä, íî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Øóáåðòà ýòî íåâàæíî.) 2. Çàäà÷à Øòåéíåðà Òåïåðü ìû îáñóäèì îäíó èç ñàìûõ çíàìåíèòûõ çàäà÷ èñ÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè äåâÿòíàäöàòîãî âåêà, îáîáùàþùóþ çàäà÷ó Àïîëëîíèÿ. Çàäà÷ó ïîñòàâèë èçâåñòíûé íåìåöêèé ãåîìåòð ßêîá Øòåéíåð â 1848 ãîäó, à ðåøèë èçâåñòíûé 4 Âàëåíòèíà Êèðè÷åíêî ôðàíöóçñêèé ãåîìåòð Ìèøåëü Øàëü â 1864 ãîäó. ×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó, ìû ñíà÷àëà îáîáùèì ïîíÿòèå îêðóæíîñòè òàê, ÷òîáû îíî âêëþ÷èëî â ñåáÿ òàêèõ áëèæàéøèõ ðîäñòâåííèêîâ îêðóæíîñòåé, êàê ýëëèïñû, ãèïåðáîëû è ïàðàáîëû.  êîîðäèíàòàõ (x, y) âñå ýòè êðèâûå ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèåì ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 (∗) ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå êîýôôèöèåíòîâ a, b, c, d, e è f . Êðèâàÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì (∗) íàçûâàåòñÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà èëè êîíèêîé, åñëè a, b è c íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî. Âòîðîå íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ëþáóþ êîíèêó ìîæíî ïîëó÷èòü êàê êîíè÷åñêîå ñå÷åíèå, òî åñòü ïåðåñå÷åíèå ïðÿìîãî êðóãîâîãî êîíóñà, çàäàííîãî óðàâíåíèåì αz 2 = x2 + y 2 (ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà α), ñ íåêîòîðîé ïëîñêîñòüþ â òð¼õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Íàïðèìåð, êîíèêè ïîëó÷àþòñÿ, êîãäà ñâåò îò íàñòîëüíîé ëàìïû ñ àáàæóðîì êîíè÷åñêîé ôîðìû ïàäàåò íà ñòåíû. Áóäåì íàçûâàòü âûðîæäåííûìè òå êîíèêè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ êàê ñå÷åíèÿ êîíóñà ïëîñêîñòÿìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Âñå îñòàëüíûå êîíèêè íàçîâ¼ì íåâûðîæäåííûìè. Óïðàæíåíèå 2.1. Ïðîâåðüòå, ÷òî íåâûðîæäåííàÿ êîíèêà ýòî èëè ýëëèïñ (îêðóæíîñòü ìû ñ÷èòàåì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ýëëèïñà), èëè ãèïåðáîëà, èëè ïàðàáîëà, à âûðîæäåííàÿ êîíèêà ýòî òî÷êà, ïðÿìàÿ èëè ïàðà ïðÿìûõ. Çàìåòèì, ÷òî êîíèêà îïðåäåëÿåòñÿ øåñòüþ êîýôôèöèåíòàìè (a, b, c, d, e, f ), íî ïðè ýòîì ïðîðïîðöèîíàëüíûå íàáîðû êîýôôèöèåíòîâ (òî åñòü íàáîðû (a, b, c, d, e, f ) è (λa, λb, λc, λd, λe, λf ), ãäå λ 6= 0) çàäàþò îäíó è òó æå êîíèêó. Òàê ÷òî íà ñàìîì äåëå êîíèêè çàâèñÿò îò ïÿòè íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ. Ïîýòîìó âî âñåõ èñ÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷àõ ðå÷ü ïîéä¼ò î êîíèêàõ, çàäàííûõ ïÿòüþ íåçàâèñèìûìè óñëîâèÿìè (òîãäà ÷èñëî òàêèõ êîíèê, êàê ïðàâèëî, êîíå÷íî). Íàïðèìåð, åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì çàäà÷è Àïîëëîíèÿ áóäåò òàêàÿ çàäà÷à. Çàäà÷à 2.2 (Øòåéíåð). Ñêîëüêî íåâûðîæäåííûõ êîíèê êàñàåòñÿ äàííûõ ïÿòè êîíèê? Êàê è â çàäà÷å Øóáåðòà, íàñ èíòåðåñóåò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé êîíå÷íûé îòâåò. Âìåñòå ñ çàäà÷åé Øòåéíåð ñðàçó äàë è îòâåò, íî íåâåðíûé. Îòâåò Øòåéíåðà 7776 (ýòî 65 ). Øòåéíåð íå ïðèâîäèë ïîëíîãî ðåøåíèÿ, à ëèøü çàìåòèë, ÷òî ÷èñëî êîíèê, êàñàþùèõñÿ äàííîé êîíèêè è ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ÷åòûðå äàííûå òî÷êè ðàâíî ìàêñèìóì 6 (ýòî ïðàâäà, êàê ìû âñêîðå óâèäèì), ÷èñëî êîíèê, êàñàþùèõñÿ äâóõ äàííûõ êîíèê è ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òðè äàííûå òî÷êè ðàâíî ìàêñèìóì 62 (è ýòî ïðàâäà), à äàëåå ïî àíàëîãèè. Íà ñàìîì äåëå, óæå ÷èñëî êîíèê, êàñàþùèõñÿ òð¼õ äàííûõ êîíèê è ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè âñåãäà ñòðîãî ìåíüøå ÷åì 63 .  1859 ãîäó ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Ýðíåñò äå Æîíêüåð íàø¼ë ïðàâèëüíûé îòâåò â çàäà÷å Øòåéíåðà, íî íå ðåøèëñÿ îïóáëèêîâàòü åãî, íàñòîëüêî áûë âåëèê àâòîðèòåò Øòåéíåðà. Äå Æîíêüåð áûë ó÷åíèêîì Øàëÿ è, ïîìèìî çàíÿòèé ìàòåìàòèêîé, ñëóæèë âî ôðàíöóçñêîì ôëîòå, ãäå äîñëóæèëñÿ äî ÷èíà àäìèðàëà. ÈÑ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß: ÌÅÒÎÄ ØÀËß È ØÓÁÅÐÒÀ 5 Ïðàâèëüíûé îòâåò 3264. Ïåðâûì åãî îïóáëèêîâàë Øàëü. Øàëü ðåøèë çàäà÷ó Øòåéíåðà (è ìíîæåñòâî äðóãèõ çàäà÷ ïðî êîíèêè), èñïîëüçóÿ èñ÷èñëåíèå óñëîâèé, ïîõîæåå íà èñ÷èñëåíèå Øóáåðòà, íî â áîëåå ãðîìîçäêîé ôîðìå, òàê êàê Øàëü ìåíüøå ïîëüçîâàëñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè òîæäåñòâàìè ïðè âû÷èñëåíèÿõ ñ óñëîâèÿìè. Ìû ðàçáåð¼ì ðåøåíèå Øàëÿ â èçëîæåíèè Øóáåðòà.  çàäà÷å Øòåéíåðà (êàê è â äðóãèõ çàäà÷àõ èñ÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèè äåâÿòíàäöàòîãî âåêà) ðå÷ü èä¼ò î ÷èñëå êîìïëåêñíûõ êîíèê, òî åñòü êîýôôèöèåíòû a, b, c, d, e, f ìîãóò áûòü ëþáûìè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ýòî çàäà÷ó óïðîùàåò, ïîòîìó ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ êîíôèãóðàöèé èç ïÿòè êîíèê ïîëó÷àåòñÿ îäèí è òîò æå îòâåò, à èìåííî, ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé ñðåäè êîíå÷íûõ.  ÷àñòíîñòè, ëþáûå ïÿòü êîíèê âñåãäà ìîæíî ÷óòü-÷óòü ïîäâèãàòü òàê, ÷òîáû îòâåò â çàäà÷å Øòåéíåðà äëÿ íîâîé êîíôèãóðàöèè áûë ìàêñèìàëüíûì ñðåäè êîíå÷íûõ îòâåòîâ. Òî åñòü ïðèíöèï ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà â êîìïëåêñíîì ñëó÷àå ñèëüíåå ÷åì, â âåùåñòâåííîì. Ñâÿçàíî ýòî ñ òåì, ÷òî ëþáîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äâà êîìïëåêñíûõ êîðíÿ ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé, òîãäà êàê âåùåñòâåííûõ êîðíåé ìîæåò áûòü èëè äâà, èëè íè îäíîãî. Åñëè æå èñêàòü òîëüêî ÷èñëî âåùåñòâåííûõ êîíèê, òî îòâåò (êàê è â çàäà÷å Àïîëëîíèÿ) áóäåò ñóùåñòâåííî çàâèñåòü îò âûáîðà êîíôèãóðàöèè èç ïÿòè êîíèê.  íàøå âðåìÿ î÷åíü ïîïóëÿðíà âåùåñòâåííàÿ èñ÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ, êîòîðàÿ, â ÷àñòíîñòè, èùåò êîíôèãóðàöèè, äëÿ êîòîðûõ âñå ðåøåíèÿ îêàæóòñÿ âåùåñòâåííûìè. Íàïðèìåð, â çàäà÷å Øòåéíåðà ñóùåñòâóåò êîíôèãóðàöèÿ èç ïÿòè ãèïåðáîë, äëÿ êîòîðîé âñå 3264 êîíèêè îêàçûâàþòñÿ âåùåñòâåííûìè (1997, Ronga, Tognoli, Vust). Êðîìå òîãî, äëÿ ëþáîé êîíôèãóðàöèè èç ïÿòè ýëëèïñîâ ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðåííîñòÿìè, íàéä¼òñÿ ïî êðàéíåé ìåðå 32 âåùåñòâåííûõ êîíèêè, êàñàþùèåñÿ âñåõ ïÿòè ýëëèïñîâ (2005,Welschinger). Äëÿ îñòàëüíûõ êîíôèãóðàöèé íèêàêèõ îöåíîê íà ÷èñëî âåùåñòâåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è Øòåéíåðà ïîêà íå èçâåñòíî. Çàäà÷à 2.3. Ïðè êàêîì ðàñïîëîæåíèè òð¼õ îêðóæíîñòåé íà ïëîñêîñòè çàäà÷à Àïîëëîíèÿ äëÿ íèõ èìååò 8 âåùåñòâåííûõ ðåøåíèé? 3. Ðåøåíèå Øàëÿ Ñíà÷àëà ïåðåôîðìóëèðóåì çàäà÷ó Øòåéíåðà íà ÿçûêå èñ÷èñëåíèÿ óñëîâèé. Ïóñòü κQ óñëîâèå êàñàíèÿ ñ äàííîé êîíèêîé Q. Íàì íóæíî íàéòè ÷èñëî íåâûðîæäåííûõ êîíèê, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ κQ1 · . . . · κQ5 äëÿ ïÿòè äàííûõ êîíèê Q1 ,. . . , Q5 . Äëÿ ïðîñòîòû ìû áóäåì îáîçíà÷àòü âñå óñëîâèÿ κQi ÷åðåç κ. Òàêàÿ âîëüíîñòü â îáîçíà÷åíèÿõ îïðàâäûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà â êîìïëåêñíîì ñëó÷àå íàñ âåäü èíòåðåñóåò òîëüêî ÷èñëî êîíèê (à íå ñàìè êîíèêè), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ κQ1 · . . . · κQ5 , à ÷èñëî áóäåò îäíèì è òåì æå äëÿ ïî÷òè âñåõ íàáîðîâ Q1 ,. . . , Q5 . Âîîáùå, èñ÷èñëåíèå Øóáåðòà âî ìíîãîì îñíîâàíî íà òàêèõ äâóñìûñëåííûõ (è äàæå ìíîãîñìûñëåííûõ) îáîçíà÷åíèÿõ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îïåðèðîâàòü ñ ðàçíûìè óñëîâèÿìè êàê ñ ýêâèâàëåíòíûìè. Òîëüêî ñ 6 Âàëåíòèíà Êèðè÷åíêî ðàçâèòèåì òåîðèè ãîìîëîãèé â ïåðâîé ïîëîâèíå äâàäöàòîãî âåêà ñòàëî âîçìîæíûì ñòðîãî îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíîñòü óñëîâèé, ñïðÿòàííóþ â îáîçíà÷åíèÿõ Øóáåðòà. Øàëü äîãàäàëñÿ, ÷òî óñëîâèå κ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç áîëåå ïðîñòûå óñëîâèÿ.  êà÷åñòâå ñàìûõ ïðîñòûõ óñëîâèé Øàëü âçÿë óñëîâèå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç äàííóþ òî÷êó è óñëîâèå êàñàíèÿ ñ äàííîé ïðÿìîé (òðàäèöèîííî ýòè óñëîâèÿ îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè µ è ν , ñîîòâåòñòâåííî). Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ µ è ν ìîæíî óìíîæàòü íà íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Íàïðèìåð, îïðåäåëèì óñëîâèå 2µ êàê cóììó óñëîâèÿ ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç òî÷êó a1 è óñëîâèÿ ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç òî÷êó a2 , ãäå a1 è a2 ðàçëè÷íû (òî åñòü ìû îïÿòü çëîóïîòðåáëÿåì îáîçíà÷åíèÿìè è ïèøåì 2µ âìåñòî µa1 + µa2 ). Ïóñòü íàì óäàëîñü ïðåäñòàâèòü óñëîâèå κ â âèäå ñóììû mµ + nν äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë m è n. Òîãäà κ5 = (mµ + nν)5 ìîæíî ôîðìàëüíî ïðåîáðàçîâàòü, ðàñêðûâàÿ ñêîáêè: κ5 = m5 µ5 + 5m4 nµ4 ν + 10m3 n2 µ3 ν 2 + 10m2 n3 µ2 ν 3 + 5mn4 µν 4 + n5 ν 5 . (1) Çàìåòèì, ÷òî êàæäîìó ìîíîìó µk ν 5−k ìîæíî ïðèäàòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòî â òî÷íîñòè óñëîâèå, ÷òî êîíèêà ïðîõîäèò ÷åðåç k äàííûõ òî÷åê è êàñàåòñÿ (5 − k) äàííûõ ïðÿìûõ. Èç ïðèíöèïà ñîõðàíåíèÿ òîæäåñòâ ïîëó÷àåì, ÷òî ôîðìàëüíîå òîæäåñòâî (1) îñòàíåòñÿ âåðíûì, åñëè çàìåíèòü κ5 íà ÷èñëî êîíèê, êàñàþùèõñÿ ïÿòè äàííûõ êîíèê, à êàæäûé ìîíîì µk ν 5−k íà ÷èñëî êîíèê, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç k äàííûõ òî÷åê è êàñàþùèõñÿ (5 − k) äàííûõ ïðÿìûõ. Ñàì Øàëü ýòèì ïðèíöèïîì íå ïîëüçîâàëñÿ, è ëèøü â 1873 ãîäó ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Æîðæ-Àíðè Ãàëüôåí çàìåòèë, ÷òî èñïîëüçîâàíèå òîæäåñòâà (1) óïðîùàåò ðàññóæäåíèÿ Øàëÿ. Èìåííî çàìå÷àíèå Ãàëüôåíà ïîäòîëêíóëî Øóáåðòà ê ñîçäàíèþ èñ÷èñëåíèÿ óñëîâèé.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû íàéä¼ì, ÷òî µ5 = ν 5 = 1, µ4 ν = µν 4 = 2, µ3 ν 2 = µ2 ν 3 = 4. Ïîýòîìó |κ5 | = m5 + 10m4 n + 40m3 n2 + 40m2 n3 + 10mn4 + n5 , (2) ãäå |κ5 | îáîçíà÷àåò ÷èñëî êîíèê, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ κ5 . Ïðè÷¼ì ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî óñëîâèÿ κ, ïðåäñòàâèìîãî â âèäå mµ + nν (ìû ïîêà íèãäå íå èñïîëüçîâàëè, ÷òî κ ýòî èìåííî óñëîâèå êàñàíèÿ ñ êîíèêîé).  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû, ïîëüçóÿñü ïîëÿðíîé äâîéñòâåííîñòüþ, äîêàæåì, ÷òî åñëè óñëîâèå êàñàíèÿ ñ êîíèêîé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå mµ+nν , òî òîãäà îáÿçàòåëüíî m = n, òî åñòü κ = n(µ + ν). Îñòàëîñü íàéòè n. Ñëåäóÿ Øóáåðòó, ìû îïÿòü ðàññìîòðèì ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé âìåñòî îáùåãî. Âìåñòî óñëîâèÿ êàñàíèÿ κQ ñ íåâûðîæäåííîé êîíèêîé Q (ñêàæåì, ñ ãèïåðáîëîé xy − 1 = 0), ïîïðîáóåì îïèñàòü óñëîâèå êàñàíèÿ κQ0 ñ âûðîæäåííîé êîíèêîé Q0 , ñîñòîÿùåé èç ïàðû ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ l1 è l2 (íàïðèìåð, âìåñòî ãèïåðáîëû ìîæíî âçÿòü êîíèêó xy = 0). Òîãäà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî íåâûðîæäåííàÿ êîíèêà Q0 êàñàåòñÿ êîíèêè Q0 , åñëè âûïîëíåíî îäíî èç òð¼õ óñëîâèé: êîíèêà Q0 êàñàåòñÿ ïðÿìîé l1 , êàñàåòñÿ ïðÿìîé l2 , èëè ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ p ïðÿìûõ ÈÑ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß: ÌÅÒÎÄ ØÀËß È ØÓÁÅÐÒÀ 7 l1 è l2 . Ïðè ýòîì äîñòàòî÷íî äàëåêî îò òî÷êè p âûðîæäåííóþ êîíèêó Q0 ìîæíî î÷åíü õîðîøî ïðèáëèçèòü íåêîòîðîé íåâûðîæäåííîé êîíèêîé Q (íàïðèìåð, ãèïåðáîëà xy = 1 õîðîøî ïðèáëèæàåò ïàðó ïðÿìûõ xy = 0 âäàëè îò íà÷àëà êîîðäèíàò). Ïîýòîìó κQ = mµ + 2ν , îòêóäà n = 2. Ïîäñòàâèâ m = n = 2 â òîæäåñòâî (2), ïîëó÷èì ïðàâèëüíûé îòâåò â çàäà÷å Øòåéíåðà: |κ5 | = 25 (1 + 10 + 40 + 40 + 10 + 1) = 25 · 102 = 3264. Óïðàæíåíèå 3.1 (ïðîâåðêà ðàññóæäåíèÿ Øòåéíåðà). Äëÿ k = 1, 2, 3, 4, èñïîëüçóéòå ìåòîä Øàëÿ, ÷òîáû íàéòè ÷èñëî íåâûðîæäåííûõ êîíèê, êàñàþùèõñÿ k äàííûõ êîíèê è ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç (5 − k) äàííûõ òî÷åê. Ìû (êàê è Øàëü) íå îáîñíîâàëè, ÷òî óñëîâèå êàñàíèÿ ñ êîíèêîé âûðàæàåòñÿ ÷åðåç óñëîâèÿ µ è ν . Ýòî íåòðèâèàëüíûé ôàêò. Ïî÷åìó, íàïðèìåð, íåëüçÿ âûðàçèòü ýòî óñëîâèå òîëüêî ÷åðåç µ? Âîîáùå, èäåÿ âûðàæàòü ñëîæíûå óñëîâèÿ ÷åðåç ïðîñòûå ïîÿâèëàñü ñíà÷àëà ó äå Æîíêüåðà, è îí êàê ðàç ïûòàëñÿ âûðàæàòü âñ¼ òîëüêî ÷åðåç óñëîâèå µ. Åñëè áû ìû òàê äåéñòâîâàëè, òî ìû áû ïîëó÷èëè, ÷òî κ = 6µ, ïîñêîëüêó |κµ4 | = 6 (ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç óïðàæíåíèÿ 3.1, íî åãî ìîæíî âûâåñòè, íå ïîëüçóÿñü ìåòîäîì Øàëÿ). Òîãäà |κ5 | = 65 |µ5 | = 65 , à ýòî â òî÷íîñòè íåïðàâèëüíûé îòâåò Øòåéíåðà. Îäíàêî ìåòîä Øàëÿ (âûðàæàòü óñëîâèÿ ÷åðåç µ è ν ) äà¼ò ïðàâèëüíûé îòâåò. Âñêîðå ïîñëå òîãî, êàê Øàëü îïóáëèêîâàë ñâîé ìåòîä, ñðàçó íåñêîëüêî ìàòåìàòèêîâ (â òîì ÷èñëå Ãàëüôåí, Ôåðäèíàíä Ëèíäåìàíí, Øóáåðò è åãî ó÷åíèê 17-ëåòíèé ãèìíàçèñò Àäîëüô Ãóðâèö) ñòðîãî äîêàçàëè ïðèìåíèìîñòü ìåòîäà Øàëÿ â áîëüøîì ÷èñëå ñëó÷àåâ (â òîì ÷èñëå, â çàäà÷å Øòåéíåðà). Êàçàëîñü, ÷òî ìåòîä Øàëÿ óíèâåðñàëåí. Îäíàêî â 1876 ãîäó Ãàëüôåí ïðèâ¼ë ïðèìåð óñëîâèÿ íà íåâûðîæäåííûå êîíèêè, êîòîðîå íåëüçÿ âûðàçèòü òîëüêî ÷åðåç óñëîâèÿ µ è ν . Ýòî ïîëîæèëî íà÷àëî äîëãîé äèñêóññèè ìåæäó Øóáåðòîì è Ãàëüôåíîì. Øóáåðò ñ÷èòàë, ÷òî óñëîâèÿ âñ¼ ðàâíî íóæíî âûðàæàòü ÷åðåç µ è ν , à òî, ÷òî îòâåò ïðè ýòîì íå áóäåò èìåòü èñ÷èñëèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ (êàê îòâåò Øòåéíåðà), íå òàê âàæíî. Ãàëüôåí æå ñ÷èòàë, ÷òî íóæíî ââîäèòü äîïîëíèòåëüíûå áàçîâûå óñëîâèÿ, õîòÿ ýòî è äåëàåò ìåòîä Øàëÿ áîëåå ãðîìîçäêèì (òàê êàê ìîæíî ïðèäóìàòü èñ÷èñëèòåëüíóþ çàäà÷ó ïðî êîíèêè, ðåøåíèå êîòîðîé òðåáóåò ëþáîãî íàïåð¼ä çàäàííîãî ÷èñëà áàçîâûõ óñëîâèé).  îáùåì, ñïîð ø¼ë î òîì, ÷òî ëó÷øå êðàñèâàÿ òåîðèÿ èëè ïîëåçíûå ïðèëîæåíèÿ.  êîíöå êîíöîâ Øóáåðò ñîãëàñèëñÿ ñ Ãàëüôåíîì, à èäåè Ãàëüôåíà ïðèñóòñòâóþò òåïåðü âî ìíîãèõ êðàñèâûõ è ïðè ýòîì óíèâåðñàëüíûõ ðåçóëüòàòàõ, ñâÿçàííûõ ñ èñ÷èñëèòåëüíîé ãåîìåòðèåé. 4. Èñ÷èñëèòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ êîíèê  ýòîì ðàçäåëå ìû ðåøèì âñå çàäà÷è ïðî êîíèêè, îòâåòû â êîòîðûõ ìû èñïîëüçîâàëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è Øòåéíåðà. Äëÿ êàæäîãî k = 0, 1,. . . , 5, ìû íàéä¼ì ÷èñëî íåâûðîæäåííûõ êîíèê, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç k äàííûõ òî÷åê íà 8 Âàëåíòèíà Êèðè÷åíêî ïëîñêîñòè è êàñàþùèõñÿ (5 − k) äàííûõ ïðÿìûõ. Êàê âñåãäà, íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ìàêñèìàëüíûé êîíå÷íûé îòâåò. Íà÷í¼ì ñ ñàìîé ïðîñòîé çàäà÷è. Çàäà÷à 4.1. Ñêîëüêî íåâûðîæäåííûõ êîíèê ïðîõîäèò ÷åðåç ïÿòü òî÷åê? Ïîíÿòíî, ÷òî âûðîæäåííûå êîíèêè, òî åñòü ïàðû (âîçìîæíî ñîâïàäàþùèõ) ïðÿìûõ, íå ìîãóò ïðîõîäèòü ÷åðåç ïÿòü òî÷åê, èç êîòîðûõ íèêàêèå òðè íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, ïîýòîìó ñëîâî íåâûðîæäåííûé â óñëîâèè ýòîé çàäà÷è ìîæíî îïóñòèòü. Çàìåòèì, ÷òî åñëè êîíèêà, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì (∗), ïðîõîäèò ÷åðåç äàííóþ òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (x0 , y0 ), òî êîýôôèöèåíòû (a, b, c, d, e, f ) óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíîìó ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ax20 + bx0 y0 + cy02 + dx0 + ey0 + f = 0. Êîýôôèöèåíòû êîíèêè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè, óäîâëåòâîðÿþò äâóì îäíîðîäíûì ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ýòî íàáëþäåíèå ëåæèò â îñíîâå òàêîãî ïðè¼ìà. Êîíèêè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè ìîæíî çàìåíèòü íà îêðóæíîñòè. Äåëî â òîì, ÷òî îêðóæíîñòè ýòî êîíèêè, óäîâëåòâîðÿþùèå äâóì îäíîðîäíûì ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì: a = c, b = 0. Íà ñàìîì äåëå, îêðóæíîñòè ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê êîíèêè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç äâå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè, òîëüêî òî÷êè ýòè áóäóò ìíèìûìè è áåñêîíå÷íî óäàë¼ííûìè. Ïîýòîìó ïðè k ≥ 2 âìåñòî ÷èñëà êîíèê, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç k òî÷åê è êàñàþùèõñÿ (5 − k) ïðÿìûõ ìîæíî èñêàòü ÷èñëî îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç (k − 2) òî÷êè è êàñàþùèõñÿ (5 − k) ïðÿìûõ. Ýòî ïðîùå, òàê êàê ìîæíî èñïîëüçîâàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòóèöèþ. Áîëåå òîãî, ïðè k = 2, 4, 5, ìîæíî ïîäîáðàòü êîíôèãóðàöèþ èç (k − 2) òî÷åê è k ïðÿìûõ òàê, ÷òî âñå îêðóæíîñòè îêàæóòñÿ âåùåñòâåííûìè. Ïîýòîìó ìîæíî èñïîëüçîâàòü è íàøè çíàíèÿ èç ïëàíèìåòðèè.  ÷àñòíîñòè, ÷èñëî êîíèê, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ïÿòü äàííûõ òî÷åê, ðàâíî ÷èñëó (âåùåñòâåííûõ) îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òðè äàííûå òî÷êè. Êàê ìû çíàåì, ÷åðåç òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ïðîõîäèò ðîâíî îäíà îêðóæíîñòü. ×òîáû ïðèäàòü òî÷íûé ñìûñë òåðìèíó áåñêîíå÷íî óäàë¼ííàÿ òî÷êà íóæíî âìåñòî êîíèêè, çàäàííîé óðàâíåíèåì (∗), ðàññìîòðåòü êîíóñ â òð¼õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, çàäàííûé îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì ax2 + bxy + cy 2 + dxz + eyz + f z 2 = 0. (∗∗) Òîãäà èñõîäíàÿ êîíèêà áóäåò ñå÷åíèåì êîíóñà ïëîñêîñòüþ z = 1. Åñòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè íà ïëîñêîñòè z = 1 è ïðÿìûìè â ïðîñòðàíñòâå, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç òî÷êó (0, 0, 0) è íå ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòè z = 1: òî÷êå (x0 , y0 ) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è òî÷êó (x0 , y0 , 1). Ïðè ýòîì òî÷êàì êîíèêè (∗) áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ïðÿìûå íà êîíóñå (∗∗). Íî íà êîíóñå ìîãóò áûòü åù¼ äâå ïðÿìûõ, êîòîðûì íèêàêèå òî÷êè êîíèêè íå ñîîòâåòñòâóþò ýòî ïðÿìûå, ïî êîòîðûì êîíóñ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ÈÑ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß: ÌÅÒÎÄ ØÀËß È ØÓÁÅÐÒÀ 9 ïëîñêîñòüþ z = 0. Ïåðåñå÷åíèå ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèÿìè ax2 + bxy + cy 2 = 0 è z = 0. Çàìåòèì, ÷òî íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè óðàâíåíèå ax2 + bxy + cy 2 = 0 âñåãäà ðàñêëàäûâàåòñÿ íà äâà ëèíåéíûõ ìíîæèòåëÿ, íàïðèìåð, â ñëó÷àå îêðóæíîñòè, èìååì a(x2 +y 2 ) = a(x+iy)(x−iy). Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðîåêòèâíîé ãåîìåòðèè, êîíèêà ýòî ìíîæåñòâî âñåõ ïðÿìûõ íà êîíóñå (∗∗), ïîýòîìó ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è òî÷êó (1, i, 0) èëè (1, −i, 0) äàþò íàì äâå ïîëíîïðàâíûõ òî÷êè íà êîíèêå. Çàìåíÿÿ íà îêðóæíîñòè êîíèêè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç äâå òî÷êè, ìîæíî ðåøèòü è òàêóþ çàäà÷ó. Çàäà÷à 4.2. Ñêîëüêî íåâûðîæäåííûõ êîíèê êàñàåòñÿ ïðÿìîé è ïðîõîäèò ÷åðåç ÷åòûðå òî÷êè? Ðåøåíèå çàäà÷è 4.2 ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ. Çàìåòèì, ÷òî âåùåñòâåííûõ îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè è êàñàþùèõñÿ äàííîé ïðÿìîé, ìîæåò áûòü êàê äâå èëè îäíà (åñëè òî÷êè ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé), òàê è íè îäíîé (åñëè òî÷êè îêàçàëèñü â ðàçíûõ ïîëóïëîñêîñòÿõ). Íî ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè òàêîé ñëîæíîñòè íå âîçíèêàåò. Åñëè ìû äîïóñêàåì êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò x è y , òî ïðÿìàÿ ïåðåñòà¼ò äåëèòü ïëîñêîñòü íà äâå ïîëóïëîñêîñòè! Âîçüì¼ì, ê ïðèìåðó, ïðÿìóþ y = 0 è òî÷êè (0, 1) è (0, −1). Òîãäà èç îäíîé òî÷êè ìîæíî ïðîéòè â äðóãóþ ïî ïóòè, íå ïåðåñåêàþùåìó ïðÿìóþ y = 0 (ïîéä¼ì, íàïðèìåð, ïî ïóòè (0, cos(πt) + i sin(πt)), ãäå t ïðîáåãàåò âñå âåùåñòâåííûå ÷èñëà îò 0 äî 1). Ýòî ñâîéñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è åãî îáîáùåíèÿ ëåæàò â îñíîâå ïðèíöèïà ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà. Çàäà÷à 4.3. Ñêîëüêî íåâûðîæäåííûõ êîíèê êàñàþòñÿ òð¼õ ïðÿìûõ è ïðîõîäÿò ÷åðåç äâå òî÷êè? Íóæíî íàéòè ÷èñëî îêðóæíîñòåé, êàñàþùèõñÿ òð¼õ ïðÿìûõ. Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ìàêñèìàëüíûé êîíå÷íûé îòâåò ïîëó÷èòñÿ, òîëüêî åñëè íèêàêèå äâå ïðÿìûå äðóã äðóãó íå ïàðàëëåëüíû.  ýòîì ñëó÷àå, ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ. Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî îêðóæíîñòåé, êàñàþùèõñÿ âñåõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà èëè èõ ïðîäîëæåíèé áóäåò ÷åòûðå: îäíà âïèñàííàÿ è òðè âíåâïèñàííûõ. Çàìåòèì, ÷òî îòâåò â çàäà÷å 4.3 èçìåíèòñÿ, åñëè îïóñòèòü òðåáîâàíèå íåâûðîæäåííîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, âûðîæäåííàÿ êîíèêà, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì (px+ qy + r)2 = 0 (òàêàÿ êîíèêà íàçûâàåòñÿ äâîéíîé ïðÿìîé), áóäåò êàñàòüñÿ ñðàçó âñåõ ïðÿìûõ, ïåðåñåêàþùèõ ïðÿìóþ px + qy + r = 0. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íåìîòèâèðîâàííûì, íî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ àëãåáðàè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ êàñàíèÿ êîíèêè ñ ïðÿìîé: êîíèêà êàñàåòñÿ ïðÿìîé, åñëè â îãðàíè÷åíèè íà ýòó ïðÿìóþ óðàâíåíèå êîíèêè èìååò êðàòíûé êîðåíü. Íàïðèìåð, êîíèêà (∗) êàñàåòñÿ ïðÿìîé y = 0, åñëè óðàâíåíèå ax2 + dx + f èìååò êðàòíûé êîðåíü. Âûáåðåì ÷èñëà p, q è r òàê ÷òîáû ïðÿìàÿ px + qy + r = 0 ïðîõîäèëà ÷åðåç äâå òî÷êè èç çàäà÷è 4.3. Òîãäà âûðîæäåííàÿ êîíèêà (px + qy + r)2 = 0, 10 Âàëåíòèíà Êèðè÷åíêî áóäåò ïðîõîäèòü ÷åðåç ýòè äâå òî÷êè è êàñàòüñÿ ëþáûõ òð¼õ ïðÿìûõ, íå ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîé px + qy + r = 0, òî åñòü äàñò ëèøíåå ðåøåíèå â çàäà÷å 4.3. Òåïåðü ðåøèì ñàìóþ, íà ïåðâûé âçãëÿä, ñëîæíóþ çàäà÷ó. Çàäà÷à 4.4. Ñêîëüêî íåâûðîæäåííûõ êîíèê êàñàåòñÿ ïÿòè ïðÿìûõ? Çäåñü óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè òîæå ñóùåñòâåííî. Åñëè åãî îòáðîñèòü, òî ðåøåíèé áóäåò áåñêîíå÷íî ìíîãî âñå äâîéíûå ïðÿìûå, íå ïàðàëëåëüíûå ïÿòè äàííûì â çàäà÷å ïðÿìûì, áóäóò ðåøåíèÿìè. Çàìåòèì, ÷òî êîíèêè áîëüøå íå ïðîõîäÿò ÷åðåç äâå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè, ïîýòîìó èõ íåëüçÿ çàìåíèòü íà îêðóæíîñòè. Ðåøèòü ýòó çàäà÷ó íàì ïîìîæåò ïîëÿðíàÿ äâîéñòâåííîñòü. Ìû ñíà÷àëà íàïîìíèì, êàê îíà îïðåäåëÿåòñÿ â âåùåñòâåííîì ñëó÷àå. Åñëè çàôèêñèðîâàòü îêðóæíîñòü C íà ïëîñêîñòè, òî êàæäîé òî÷êå ìîæíî ñîïîñòàâèòü ïðÿìóþ, íàçûâàåìóþ ïîëÿðîé ýòîé òî÷êè. È íàîáîðîò, êàæäîé ïðÿìîé ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå òî÷êó ïîëþñ. Äåëàåòñÿ ýòî òàê. Ïóñòü p òî÷êà âíå îêðóæíîñòè C . Ïðîâåä¼ì èç òî÷êè p êàñàòåëüíûå ê îêðóæíîñòè C . Ïðÿìàÿ lp , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè êàñàíèÿ, è áóäåò ïîëÿðîé òî÷êè p, à òî÷êà p áóäåò ïîëþñîì ïðÿìîé lp . Òåì ñàìûì, ìû îïðåäåëèëè ïîëÿðû äëÿ òî÷åê âíå C , è ïîëþñà äëÿ ïðÿìûõ, ïåðåñåêàþùèõ C . (Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå èíâåðñèè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè C , ìîæíî èíà÷å ñêàçàòü, ÷òî lp ïîëó÷àåòñÿ èíâåðñèåé îêðóæíîñòè, ïîñòðîåííîé êàê íà äèàìåòðå íà îòðåçêå p0 p, ãäå p0 öåíòð îêðóæíîñòè C .) Óïðàæíåíèå 4.5. Ïðîâåðüòå, ÷òî åñëè òî÷êè q è r ëåæàò íà ïîëÿðå lp , òî ïîëÿðû lq è lr ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå p. (Íàïðèìåð, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâà èíâåðñèè.) Ýòî óïðàæíåíèå ïîçâîëÿåò äîîïðåäåëèòü ïîëÿðíóþ äâîéñòâåííîñòü äëÿ òî÷åê âíóòðè îêðóæíîñòè C (èç êîòîðûõ êàñàòåëüíûå íå ïðîâåä¼øü) è äëÿ ïðÿìûõ, íå ïåðåñåêàþùèõ C . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü òåïåðü òî÷êà p ëåæèò âíóòðè. Ïðîâåä¼ì äâå ïðÿìûå ÷åðåç p è îáîçíà÷èì ÷åðåç q è r èõ ïîëþñà. Òîãäà ïîëÿðà òî÷êè p ýòî, ïî îïðåäåëåíèþ, ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç q è r, ïðè÷¼ì îïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðÿìûõ. Óïðàæíåíèå 4.6. Îïðåäåëèòå ïîëþñ ïðÿìîé, íå ïåðåñåêàþùåé îêðóæíîñòü C. Öåíòð îêðóæíîñòè C ýòî åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, îñòàâøàÿñÿ áåç ïîëÿðû, íî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîëÿðîé öåíòðà ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî óäàë¼ííàÿ ïðÿìàÿ. Êàê è ðàíüøå, êàæäîé òî÷êå p íà ïëîñêîñòè z = 1 ñîïîñòàâèì ïðÿìóþ P â ïðîñòðàíñòâå, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è òî÷êó p. Òîãäà êàæäîé ïðÿìîé l íà ïëîñêîñòè z = 1 áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ïëîñêîñòü L â ïðîñòðàíñòâå, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è ïðÿìóþ l. Áåñêîíå÷íî óäàë¼ííàÿ ïðÿìàÿ ýòî ïëîñêîñòü z = 0. Òåïåðü ïîëÿðíóþ äâîéñòâåííîñòü ìîæíî îïðåäåëèòü òàê: ïðÿìîé P ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ïëîñêîñòü L, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïðÿìîé P . Òî åñòü â ïåðåñå÷åíèè ÈÑ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß: ÌÅÒÎÄ ØÀËß È ØÓÁÅÐÒÀ 11 ñ åäèíè÷íîé ñôåðîé x2 + y 2 + z 2 = 1 ïðÿìàÿ P è ïëîñêîñòü L äàäóò äâà ïîëþñà è ýêâàòîð, ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå ïîëÿðíîé äâîéñòâåííîñòè äîñëîâíî ïåðåíîñèòñÿ íà êîìïëåêñíûé ñëó÷àé (è ïðè ýòîì äàæå ñòàíîâèòñÿ ïðîùå). Äåéñòâèòåëüíî, â êîìïëåêñíîì ñëó÷àå, èç ëþáîé òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè äâå êàñàòåëüíûõ (âîçìîæíî ñîâïàäàþùèõ) ê îêðóæíîñòè, è ëþáàÿ ïðÿìàÿ âñåãäà ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â äâóõ òî÷êàõ (âîçìîæíî ñîâïàäàþùèõ èëè áåñêîíå÷íî óäàë¼ííûõ). Ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëèòü ïîëÿðó äëÿ êàæäîé òî÷êè, è ïîëþñ äëÿ êàæäîé ïðÿìîé. Ïîëÿðíàÿ äâîéñòâåííîñòü ïîçâîëÿåò òàêæå îïðåäåëèòü êîíèêó, äâîéñòâåííóþ ê äàííîé íåâûðîæäåííîé êîíèêå. À èìåííî, ðàññìîòðèì âñå êàñàòåëüíûå ê äàííîé êîíèêå Q è âîçüì¼ì èõ ïîëþñà. Îêàçûâàåòñÿ, ïîëþñà áóäóò ëåæàòü íà íåêîòîðîé íåâûðîæäåííîé êîíèêå (ñì. [1, Òåîðåìà 3.5]), êîòîðóþ ìû è íàçîâ¼ì äâîéñòâåííîé ê Q è îáîçíà÷èì ÷åðåç Q∗ . Èç îïðåäåëåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî åñëè êîíèêà Q êàñàëàñü ïðÿìîé, òî êîíèêà Q∗ áóäåò ñîäåðæàòü ïîëþñ ýòîé ïðÿìîé. Êðîìå òîãî, èç îïðåäåëåíèÿ òàêæå ñëåäóåò, ÷òî êîíèêà, äâîéñòâåííàÿ ê Q∗ , ñîâïàäàåò ñ Q. Óïðàæíåíèå 4.7. Ïóñòü Q âåùåñòâåííàÿ îêðóæíîñòü, êîíöåíòðè÷íàÿ ñ âåùåñòâåííîé îêðóæíîñòüþ C (ïî êîòîðîé îïðåäåëÿëàñü ïîëÿðíàÿ äâîéñòâåííîñòü). Ïðîâåðüòå, ÷òî Q∗ òîæå îêðóæíîñòü, è ÷òî Q∗ ïîëó÷àåòñÿ èç Q èíâåðñèåé îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè C . Ïðèâåäèòå ïðèìåð îêðóæíîñòè Q, òàêîé ÷òî äâîéñòâåííàÿ êîíèêà Q∗ íå ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ. Èç ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñâîéñòâ ïîëÿðíîé äâîéñòâåííîñòè ñðàçó âûòåêàåò òàêîå ñëåäñòâèå (ïîëåçíîå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Øòåéíåðà). Ïîëÿðíàÿ äâîé- ñòâåííîñòü äëÿ íåâûðîæäåííûõ êîíèê ïåðåñòàâëÿåò óñëîâèå êàñàíèÿ ñ ïðÿìîé è óñëîâèå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç òî÷êó. Ïðè ýòîì óñëîâèå κ êàñàíèÿ ñ êîíèêîé ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïîëÿðíîé äâîéñòâåííîñòè. Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ìû èñïîëüçîâàëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå: åñëè κ = mµ + nν , òî îáÿçàòåëüíî m = n. Êðîìå òîãî, ïîëó÷àåì òàêîé ðåçóëüòàò. Ïðåäëîæåíèå 4.8. Äëÿ êàæäîãî k = 0, 1,. . . , 5, ÷èñëî íåâûðîæäåííûõ êîíèê, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç k òî÷åê íà ïëîñêîñòè è êàñàþùèõñÿ (5 − k) ïðÿìûõ, ðàâíî ÷èñëó íåâûðîæäåííûõ êîíèê, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç (5 − k) òî÷åê è êàñàþùèõñÿ k ïðÿìûõ. Äåéñòâèòåëüíî, âìåñòî òîãî, ÷òîáû ñ÷èòàòü, ñêàæåì, ÷èñëî êîíèê, êàñàþùèõñÿ ïÿòè ïðÿìûõ, ìû íàéä¼ì ÷èñëî äâîéñòâåííûõ êîíèê. Äâîéñòâåííûå êîíèêè áóäóò ïðîõîäèòü ÷åðåç ïîëþñà äàííûõ ïðÿìûõ, òî åñòü ÷åðåç ïÿòü òî÷åê. Ñëåäîâàòåëüíî, åñòü ðîâíî îäíà íåâûðîæäåííàÿ êîíèêà, êàñàþùàÿñÿ ïÿòè äàííûõ ïðÿìûõ. Èñïîëüçóÿ ïðåäëîæåíèå 4.8 è îòâåòû â çàäà÷àõ 4.2 è 4.3, ìîæíî ñðàçó ðåøèòü îñòàâøèåñÿ äâå çàäà÷è (äëÿ k = 1 è k = 3). Âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü, âîçìîæíî, çàìåòèë, ÷òî åñëè ðåøàòü çàäà÷ó äëÿ k = 3 òåì æå ìåòîäîì, ÷òî è çàäà÷ó 4.3 òî åñòü èñêàòü ÷èñëî îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äàííóþ òî÷êó 12 Âàëåíòèíà Êèðè÷åíêî è êàñàþùèõñÿ äâóõ äàííûõ ïðÿìûõ, òî ïîëó÷èòñÿ òîëüêî äâå îêðóæíîñòè (à íå ÷åòûðå, êàê äîëæíî áûòü èç ïîëÿðíîé äâîéñòâåííîñòè). Äåëî â òîì, ÷òî íåäîñòàþùèå äâå îêðóæíîñòè íà âåùåñòâåííîé ïëîñêîñòè ïðîñòî íå âèäíî. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî îêðóæíîñòåé, êîòîðûå êàñàþòñÿ, ñêàæåì, äâóõ êîîðäèíàòíûõ ïðÿìûõ. Îíî ñîñòîèò èç îêðóæíîñòåé äâóõ òèïîâ: (x−a)2 +(y−a)2 = a2 è (x+a)2 +(y−a)2 = a2 , ãäå a ïàðàìåòð. Ïðè ýòîì åñëè ìû äîïóñêàåì òîëüêî âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, òî îêðóæíîñòè ïåðâîãî òèïà íèêîãäà íå ïðîéäóò ÷åðåç òî÷êó (x0 , y0 ), ó êîòîðîé êîîðäèíàòû èìåþò ðàçíûå çíàêè, à îêðóæíîñòè âòîðîãî òèïà ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè îäíîãî çíàêà. Åñëè æå äîïóñòèòü êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó (x0 , y0 ), òàêóþ ÷òî x0 6= 0 è y0 6= 0, ïðîéäóò ðîâíî äâå îêðóæíîñòè êàæäîãî òèïà. Òàêèìè æå àëãåáðàè÷åñêèìè ðàññóæäåíèÿìè ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî è â çàäà÷àõ 4.1 è 4.2 ìû íèêàêèõ êîìïëåêñíûõ ðåøåíèé íå óïóñòèëè. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Àêîïÿí À. Â., Çàñëàâñêèé À. À., Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà, ÌÖÍÌÎ, 2007 [2] S. L. Kleiman, Chasles's enumerative theory of conics: a historical introduction, Studies in Algebraic Geometry, Studies in Math., 20, Math. Assoc. Amer., Washington, D. C, 1980, pp. 117138 [3] S. L. Kleiman and Dan Laksov, Schubert calculus, The American Mathematical Monthly, 79, No. 10, (1972), pp. 1061-1082
