À ÒÀÅ Ò ÌÈ À Ò× Å× ÓÆ Ì À Ò ÅÌÌ ÅÅÑÑ ÊÊÈÈÉ ÉÊ Ð Ê ÐÎÓÊ Æ Î Ê Äèàãîíàëüíîïåðïåíäèêóëÿðíîå îòîáðàæåíèå ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ À.ÇÀÑËÀÂÑÊÈÉ Ï ÎÂÎÄÎÌ ê íàïèñàíèþ ýòîé çàìåòêè ïîñëóæèëà çàäà÷à Ì1154 èç «Çàäà÷íèêà Êâàíòà»: äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ âïèñàííûì â îêðóæíîñòü è îïèñàííûì âîêðóã äðóãîé îêðóæíîñòè, òî ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ öåíòðû ýòèõ îêðóæíîñòåé, ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè.  ÷àñòíîñòè, îäíî èç ðåøåíèé ïðèâîäèòñÿ â «Êâàíòå» (¹8 çà 1989 ãîä). Íàøåé æå öåëüþ áóäåò ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî áîëåå îáùåãî óòâåðæäåíèÿ, â êîòîðîì áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê. Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ íàñ áóäåò äèàãîíàëüíî-ïåðïåíäèêóëÿðíîå îòîáðàæåíèå, êîòîðîå ìû îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: Îïðåäåëåíèå. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD è èç òî÷êè Î ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû OK, OL, OM, ON íà åãî ñòîðîíû. ×åòûðåõóãîëüíèê KLMN áóäåì íàçûâàòü îáðàçîì ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïðè äèàãîíàëüíîïåðïåíäèêóëÿðíîì îòîáðàæåíèè (ðèñ.1). Ïðèìå÷àíèå 1. Ñòðîãî ãîâîðÿ, íàøå îïðåäåëåíèå íå ÿâëÿåòñÿ âïîëíå êîððåêòíûì, òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN ìîæåò îêàçàòüñÿ âûðîæäåííûì: òðè èëè äàæå âñå ÷åòûðå åãî âåðøèíû ìîãóò ëåæàòü íà îäíîé ïðÿìîé. Âïðî÷åì, äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ ýòî íåñóùåñòâåííî. A N K B Ðèñ. 1 O D M L C X Èññëåäóåì ñâîéñòâà íàøåãî îòîáðàæåíèÿ. Ïðåæäå âñåãî âûÿñíèì, ìîæíî ëè âîññòàíîâèòü ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ïî ÷åòûðåõóãîëüíèêó KLMN. Ïðîäîëæèì íà ðèñóíêå 1 ñòîðîíû ÂÑ è AD äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ â òî÷êå Õ.Î÷åâèäíî, ÷òî ∠BXA = ∠BOA ∠OBC ∠OAD . Íî ÷åòûðåõóãîëüíèê OKBL âïèñàííûé, òàê êàê åãî ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïðÿìûå. Ïîýòîìó ∠OBC = ∠LKO . Àíàëîãè÷íî, ∠OAD = ∠OKN , è çíà÷èò, ∠BXA = ∠BOA ∠LKN . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ∠BOA = = ( ∠BOA + ∠COD)/2 = ( ∠OBC + + ∠OCB + ∠OAD + ∠ODA )/2 = = ( ∠OKL + ∠OKN + ∠OML + + ∠OMN )/2 = ( ∠LKN + ∠LMN )/2. Òàêèì îáðàçîì, ∠BXA = ( ∠LMN ∠LKN )/2, è ñëåäîâàòåëüíî, ∠LON = = π ( ∠LMN ∠LKN )/2. Àíàëîãè÷íî, ∠KOM = π ( ∠KNM )/2. Ìû âèäèì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òî÷êó Î ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD (èçâåñòíû óãëû, ïîä êîòîðûìè âèäíû èç òî÷êè Î äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü òàêæå, ÷òî åñëè ñîåäèíèòü ïîñòðîåííóþ òàêèì îáðàçîì òî÷êó Î ñ âåðøèíàìè KLMN è ïðîâåñòè ÷åðåç íèõ ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñîîòâåòñòâóþùèì îòðåçêàì, òî äèàãîíàëè ïîëó÷èâøåãîñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïåðåñåêóòñÿ â òî÷êå Î (íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå äàåò ∠BOD = ∠COA = π ). Ñëåäîâàòåëüíî, äèàãîíàëüíî-ïåðïåíäèêóëÿðíûé îáðàç ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü èñõîäíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê. Ïðîäîëæèì èçó÷åíèå ñâîéñòâ äèàãîíàëüíî-ïåðïåíäèêóëÿðíîãî îòîáðàæåíèÿ. Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì Óòâåðæäåíèå 1.  ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, ïðè÷åì öåíòðîì îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â KLMN, ÿâëÿåòñÿ òî÷êà Î ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ABCD. 73 Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD âïèñàííûé, òî óãëû ÎÂÑ è OAD ðàâíû. Íî ∠OBC = ∠OKL , ∠OAD = ∠OKN , ò.å. OK áèññåêòðèñà óãëà K ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN. Àíàëîãè÷íî, òî÷íî Î ëåæèò íà áèññåêòðèñàõ îñòàëüíûõ óãëîâ KLMN, è çíà÷èò, ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN îïèñàííûé, òî ñîåäèíèâ öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè ñ åãî âåðøèíàìè è ïîñòðîèâ ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD, ïîëó÷èì, ÷òî óãëû ÎÂÑ è OAD ðàâíû, è òî÷êè A, B, C, D ëåæàò íà îêðóæíîñòè. Óòâåðæäåíèå 1 äàåò âîçìîæíîñòü îáîáùèòü ïîíÿòèå öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè íà ÷åòûðåõóãîëüíèê, íå ÿâëÿþùèéñÿ îïèñàííûì: áóäåì íàçûâàòü êâàçèöåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, ÿâëÿþùåãîñÿ äèàãîíàëüíî-ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïðîîáðàçîì KLMN. Ïîïðîáóåì òåïåðü îáîáùèòü ïîíÿòèå öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Äëÿ ýòîãî ïðåæäå âñåãî ñôîðìóëèðóåì Óòâåðæäåíèå 2. ×åòûðåõóãîëüíèê KLMN ÿâëÿåòñÿ âïèñàííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïåðïåíäèêóëÿðíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ðàâåí ïîëóñóììå ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN. Óòâåðæäåíèå 2 ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì ñëåäñòâèåì ýòîãî. Âûÿñíèì, ãäå íàõîäèòñÿ öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN. Ïðîäîëæèì îòðåçêè OK, OL, OM, ON çà òî÷êó Î äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè ñòîðîíàìè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD â òî÷êàõ ñîîòâåòñòâåííî K ′ , L′ , M ′ , N ′ . Äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ (ðèñ.2): Óòâåðæäåíèå 3. K′L′ M ′N ′ ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû äèàãîíàëÿì ABCD. C M K L O D L Ðèñ. 2 N N B K A M