ÃÅÎÌÅÒÐÈß Òåîðåìà î ñòðîãîé îòäåëèìîñòè. Âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè ìîæíî ñòðîãî îòäåëèòü îò òî÷êè, åìó íå ïðèíàäëåæàùåé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìíîæåñòâî À âûïóêëî è çàìêíóòî è òî÷êà  åìó íå ïðèíàäëåæèò. Íàéäåì ñðåäè òî÷åê èç À òî÷êó Ñ, áëèæàéøóþ ê Â. Ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî ãðàíèöà À ýòî áåðåã îñòðîâà, ðàñïîëîæåííîãî â íåïîäâèæíîé ãëàäè îçåðà, è êòî-òî áðîñèë êàìåíü «â òî÷êó ». Ñíà÷àëà êðóãè, ðàñõîäÿùèåñÿ îò áðîøåííîãî êàìíÿ, íå áóäóò èìåòü îáùèõ òî÷åê ñ À, íî â íåêîòîðûé ìîìåíò âîëíîâîé ôðîíò âïåðâûå êîñíåòñÿ À. Òî÷êó êàñàíèÿ ìû è îáîçíà÷èëè áóêâîé Ñ.  òå÷åíèå î÷åíü äëèòåëüíîãî âðåìåíè ìàòåìàòèêè ñ÷èòàëè ïîäîáíûå óòâåðæäåíèÿ î ñóùåñòâîâàíèè áëèæàéøèõ òî÷åê î÷åâèäíûìè è íèêàêèõ äîêàçàòåëüñòâ íå ïðèâîäèëè.  äåâÿòíàäöàòîì âåêå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òàêèõ ôàêòîâ Îãþñòåíîì Êîøè è Êàðëîì Âåéåðøòðàññîì áûëà ïîäâåäåíà áàçà. Îíà îñíîâûâàåòñÿ íà ïîíÿòèè íåïðåðûâíîñòè è êîìïàêòíîñòè. Êðàòêî ðàññêàæåì îá ýòîì. ×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå A0 , åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî δ > 0 òàêîå, ÷òî åñëè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè À äî òî÷êè A0 ìåíüøå δ , ðàçíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè f â òî÷êå À è â òî÷êå A0 ïî ìîäóëþ ìåíüøå ε . Âåéåðøòðàññ äîêàçàë âàæíóþ òåîðåìó, ñîãëàñíî êîòîðîé íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà êîìïàêòå äîñòèãàåò è ñâîåãî ìàêñèìóìà è ñâîåãî ìèíèìóìà. Ïðèìåíèì ýòó òåîðåìó ê íàøåìó ñëó÷àþ. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè  äî òî÷åê ïëîñêîñòè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà ïëîñêîñòè. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà (èáî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ êîìïàêòîì, ÿâëÿþùèìñÿ ïåðåñå÷åíèåì À ñ êðóãîì ðàäèóñà, ðàâíîãî ðàññòîÿíèþ îò  äî ëþáîé òî÷êè A′ èç À ðèñ.4), îíà äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà íà À â òî÷êå Ñ. Ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî. Ïðÿìàÿ Í, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Ñ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç  è Ñ, èñêîìàÿ. Äåéñòâèòåëüíî, Â, î÷åâèäíî, íå ïðèíàäëåæèò Í. Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî â òîé æå (îòêðûòîé) ïîëóïëîñêîñòè, ÷òî è Â, ëåæèò òî÷êà D èç À. Òîãäà óãîë BCD îñòðûé è äëÿ ëþáîé òî÷êè D′ íà îòðåçêå CD òàêîé, ÷òî óãîë BD′C òóïîé, ðàññòîÿíèå ) îò  äî D′ ìåíüøå, ÷åì îò  äî Ñ (ïðîòèâ áîëüøåãî A′ óãëà ëåæèò áîëüøàÿ ñòîðî0 C íà) (ñì. ðèñ.4). Òåîðåìà äîD′ êàçàíà. Ñëåäñòâèå (òåîðåìà Ìèíêîâñêîãî). Äëÿ òîãî ÷òîáû D B ôèãóðà íà ïëîñêîñòè ÿâëÿëàñü ïåðåñå÷åíèåì ïîëóïëîñêîñòåé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà âûÐèñ.4. Òåîðåìà î ñòðîãîé îò- ïóêëîé è çàìêíóòîé. äåëèìîñòè Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåñå÷åíèå ïîëóïëîñêîñòåé âûïóêëî è çàìêíóòî. Åñëè æå äîïóñòèòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèþ ïîëóïëîñêîñòåé A1 , ñîäåðæàùèõ âûïóêëóþ è çàìêíóòóþ ôèãóðó À, ïðèíàäëåæèò òî÷êà Â, íå ïðèíàäëåæàùàÿ À, òî, ñòðîãî îòäåëèâ ýòó òî÷êó îò À, ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ. ÂÛÏÓÊËÎÑÒÈ 5 Òåîðåìà î ñòðîãîé îòäåëèìîñòè è ñëåäñòâèå èç íåå áûëè äîêàçàíû çàìå÷àòåëüíûì íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ãåðìàíîì Ìèíêîâñêèì (18641909), êîòîðûé ÿâèëñÿ îäíèì èç îñíîâîïîëîæíèêîâ âûïóêëîé ãåîìåòðèè. Òåîðåìà Ìèíêîâñêîãî áûëà ïåðåíåñåíà ïîëüñêèì ìàòåìàòèêîì Ñòàíèñëàâîì Ìàçóðîì (19051981) íà áåñêîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé. Îá ýòîì áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå è î òåîðåìå Ìàçóðà ìû åùå ïîãîâîðèì â êîíöå. Íåêîòîðûå òåîðåìû âûïóêëîé ãåîìåòðèè Òî÷êè ìíîæåñòâà, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ âíóòðåííèìè íè äëÿ êàêîãî îòðåçêà, ðàñïîëîæåííîãî â ýòîì ìíîæåñòâå, íàçûâàþòñÿ êðàéíèìè òî÷êàìè ýòîãî ìíîæåñòâà.  òðåóãîëüíèêå ýòî åãî âåðøèíû, â êðóãå òî÷êè îêðóæíîñòè, îãðàíè÷èD âàþùåé êðóã (ðèñ.5). B Ïåðåñå÷åíèå âûïóêëûõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõ äàííîå ìíîæåñòâî, íàçûâàåòñÿ åãî âûïóêëûì çàC A ìûêàíèåì.1 Òåîðåìà (Êðåéíà Ðèñ.5. Êðàéíèå òî÷êè Ìèëüìàíà). Âûïóêëûé êîìïàêò ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì çàìûêàíèåì ñâîèõ êðàéíèõ òî÷åê. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ìíîæåñòâî êðàéíèõ òî÷åê ìíîæåñòâà À íåïóñòî. Ïóñòü H0 ëþáàÿ ïðÿìàÿ. Âîçìîæíî, ÷òî H0 èìååò îáùèå òî÷êè ñ À, à ñàìî ìíîæåñòâî ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ýòîé ïðÿìîé (òàêèå ïðÿìûå íàçûâàþò îïîðíûìè ê À). Åñëè æå 0 ïðÿìàÿ H0 îïîðíîé íå ÿâëÿåòñÿ, íà÷íåì «äâèãàòü» ïðÿìóþ H0 ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå äî òåõ ïîð, ïîêà îíà íå ñòàíåò îïîðíîé (ðèñ.6). È çäåñü ïîÿñíèì, êàê ñòðîãî äîêàçàòü ýòî (íà) ãëÿäíî î÷åâèäíîå) óòâåðæäåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ íà ïëîñêîñòè ðàññòîÿíèå îò Ðèñ.6. Ñóùåñòâîâàíèå êðàéíèõ òîòî÷êè ïëîñêîñòè äî H0 . ÷åê Ýòî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, è çíà÷èò, ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà îíà äîñòèãàåò ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà íà À. Ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå H0 , íàõîäÿùèåñÿ íà ìàêñèìàëüíîì è ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèÿõ, îïîðíûå. Îïîðíàÿ ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ À ïî îòðåçêó (ìîæåò áûòü, âûðîæäàþùåìóñÿ â òî÷êó), è òîãäà êðàéíÿÿ òî÷êà ýòîãî îòðåçêà áóäåò êðàéíåé òî÷êîé è äëÿ À. (Äîêàæèòå ýòî.) Ïóñòü òåïåðü A1 âûïóêëîå çàìûêàíèå êðàéíèõ òî÷åê èç À. Îíî îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî (à ñëåäîâà1 Îòìåòèì, ÷òî âûïóêëîå çàìûêàíèå ìíîæåñòâà è åãî âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ìîãóò íå ñîâïàäàòü. Íàïðèìåð, âûïóêëàÿ îáîëî÷êà îòêðûòîãî êðóãà ñîâïàäàåò ñ íèì ñàìèì, à åãî âûïóêëîå çàìûêàíèå ñîäåðæèò ãðàíè÷íóþ îêðóæíîñòü.