Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Îñíîâû êîìáèíàòîðèêè è òåîðèè ÷èñåë, îñåíü 2012 Çàäà÷è ïðî ìîùíîñòè ìíîæåñòâ Åñëè A êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ÷åðåç |A| îáîçíà÷èì A è B: êîëè÷åñòâî åãî ýëåìåíòîâ. 1. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ A â B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| 6 |B|; ñþðúåêöèÿ èç A â B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| > |B|; áèåêöèÿ ìåæäó A è B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| = |B|; a) Ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç b) Ñóùåñòâóåò c) Ñóùåñòâóåò AèB A∼ = B. Ìíîæåñòâà Îáîçíà÷åíèå: íàçûâàþòñÿ ðàâíîìîùíûìè, 2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ a) b) c) A, B è åñëè ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç A â B. C: A∼ = A; Åñëè A ∼ = B , òî B ∼ = A; ∼ ∼ Åñëè A = B è B = C , òî A ∼ = C. A íå áîëåå ìîùíî, ÷åì B , åñëè A ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó B . Îáîçíà÷åíèå: A 6 ∼ B. 3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A, B è C : Ãîâîðÿò, ÷òî a) b) c) ∅6 ∼A A6 ∼ A; Åñëè A 6 B ∼ è B6 ∼ C, 4. Äîêàæèòå, ÷òî 5. Äîêàæèòå, ÷òî A A A6 ∼ C. íå áîëåå ìîùíî, ÷åì íå áîëåå ìîùíî, ÷åì Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñåë òî B, B, åñëè ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç A â B. B â A. åñëè ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ èç ñ÷¼òíûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷è- N. 6. Ïîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå íàéä¼òñÿ ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî. 7. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî. 8. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî è êîíå÷íîãî ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî. 9. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî. 10. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî. 11. Äîêàæèòå ñ÷¼òíîñòü ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ: a) ìíîæåñòâî ÷¼òíûõ ÷èñåë; b) c) Z; Q; d) ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç 0 è 1; e) ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; f) Z[x] (ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò x ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè); 1 g) A (ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, ò.å. êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôè- öèåíòàìè); h) Q[x1 , x2 , . . . ] (ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ); i) Ìíîæåñòâî ãðàôîâ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì âåðøèí. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíûì, åñëè îíî êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî. 12. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíû: a) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ íà ïðÿìîé; b) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ âîñüì¼ðîê íà ïëîñêîñòè (âîñüì¼ðêà îáúåäèíåíèå äâóõ êàñàþùèõñÿ âíåøíèì îáðàçîì îêðóæíîñòåé, îäíà âîñüì¼ðêà ìîæåò íàõîäèòüñÿ öåëèêîì âíóòðè äðóãîé); c) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ áóêâ Ò íà ïëîñêîñòè (ò.å. íàáîðîâ èç òð¼õ íåâûðîæäåííûõ îòðåçêîâ, èìåþùèõ îäèí îáùèé êîíåö è íèêàêèõ äðóãèõ îáùèõ òî÷åê); d) Ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïðîèçâîëüíîé ìîíîòîííîé ôóíêöèè. Ïóñòü èç A â AèB äâà ìíîæåñòâà. ×åðåç BA îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé B. 13. Ïóñòü A è B ñóòü êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç A ñòâåííî. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â B ? n è k ýëåìåíòîâ ñîîòâåò- A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â ∅A ? À â A∅ ? A 15. Ïóñòü A êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî B ìíîæåñòâî B |A| ðàâíîìîùíî B (äåêàðòîâîé ñòåïåíè). 16. Ïóñòü A, B è C ïðîèçâîëüíûå ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà. Äîêà14. Ïóñòü æèòå, ÷òî: a) b) c) AB × AC ∼ = AB∪C ; C C ∼ A × B = (A × B)C ; (AB )C ∼ = AB×C . C6 C A6 B A6 ∼ B , òî A ∼ B è C ∼ C . 18. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A áåñêîíå÷íî, à B íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíî, òî A ∪ B ∼ = A. 6 6 Òåîðåìà ÊàíòîðàÁåðíøòåéíà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè A ∼ B è B ∼ A, òî A ∼ = B. 17. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè 19. Äîêàæèòå, ÷òî: a) Ëþáûå äâà îòðåçêà ðàâíîìîùíû; b) Ëþáûå äâà èíòåðâàëà ðàâíîìîùíû; c) Ëþáîé èíòåðâàë ðàâíîìîùåí ëþáîìó îòðåçêó; d) Ëþáîé ïðÿìîóãîëüíèê ðàâíîìîùåí ëþáîìó êðóãó. 20. Ïîñòðîéòå áèåêöèè ìåæäó ñëåäóþùèìè ïàðàìè ìíîæåñòâ: 2 [0, 1] è ïîëóèíòåðâàë [0, 1); Îòðåçîê [0, 1] è èíòåðâàë (0, 1); Èíòåðâàë (0, 1) è R; R è {0, 1}N (ò.å. ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ a) Îòðåçîê b) c) d) ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 0 è 1). Ìíîæåñòâà, ðàâíîìîùíûå ìíîæåñòâó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàþòñÿ íûìè. êîíòèíóàëü- 21. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî èëè ñ÷¼òíîãî ÷èñëà êîíòèíóàëüíûõ ìíî- æåñòâ êîíòèíóàëüíî. 22. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà êîíòèíóàëüíû: a) b) c) d) ({0, 1}N )2 (ò.å. ìíîæåñòâî ïàð áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé [0, 1]2 ; R2 ; Rn äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî n > 0; 0 è 1); e) ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè; f ) ìíîæåñòâî âñåõ òðåóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè; N g) N ; h) ìíîæåñòâî èíúåêòèâíûõ ôóíêöèé èç i) ìíîæåñòâî ñþðúåêòèâíûõ ôóíêöèé RN ; N â N; èç N â N; j) k) ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé èç l) ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé èç R â R; R â R. 23. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå êîíòèíóàëüíîãî ÷èñëà êîíòèíóàëüíûõ ìíîæåñòâî êîíòèíóàëüíî. 24. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâà 2R , NR è RR ðàâíîìîùíû è âñå áîëåå, ÷åì êîíòèíó- àëüíû. 25. Îïèøèòå â ÿâíîì âèäå áèåêöèè ìåæäó 3 2R è NR , à òàêæå ìåæäó 2R è RR .