Òåîðåòèêîìíîæåñòâåííîå ââåäåíèå Ìíîæåñòâî ýòî îäíî èç íàèáîëåå ôóíäàìåíòàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé, íà êîòîðîì ñòðîèòñÿ çäàíèå ïî÷òè âñåé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî âñå ÷èòàåìûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ óíèâåðñèòåòñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå êóðñû âïîëíå óñïåøíî ôîðìàëèçóåìû â ðàìêàõ ìèðà ìíîæåñòâ. Èíòóèòèâíî, ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñåìåéñòâà, ñîâîêóïíîñòè, êîëëåêöèè îáúåêòîâ, êîòîðûå ìû ìûñëèì, ïðåäñòàâëÿåì ñåáå êàê åäèíûå îáúåêòû. Ïðèìåðàìè ìíîæåñòâ ìîãóò ÿâëÿòüñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ñòóäåíòîâ â äàííîé àóäèòîðèè, ìíîæåñòâî âñåõ ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû, ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 0, 1, 2, . . . è ò.ï. Îñíîâíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå ïðèíàä- ëåæíîñòè, òî åñòü áûòü ýëåìåíòîì, îáîçíà÷àåìîå çíà÷êîì îçíà÷àåò, ÷òî a ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà ∈. Òàê a ∈ B B. Âîçìîæíî, íå ñîâñåì ïðàâèëüíî áûëî áû ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ìíîæåñòâî, êàê íàáîð åãî ýëåìåíòîâ, ñëîæåííûõ â íåêèé ìåøîê. Êàæäîå ìíîæåñòâî ýòî íîâûé îòäåëüíûé àáñòðàêòíûé îáúåêò, ñâÿçàííûé ñî ñâîèìè ýëåìåíòàìè îòíîøåíèåì ∈. Ïðèìåðû. Còóäåíò Èâàíîâ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ ñòóäåíòîâ â äàííîé àóäèòîðèè; Èâàí Ãðîçíûé íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ ñòóäåíòîâ â äàííîé àóäèòîðèè; êàðàíäàø íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû; 2002 ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ íàòóðàëü- √ íûõ ÷èñåë; 2 íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è ò.ï. Ñâîéñòâà ìíîæåñòâ â ìàòåìàòèêå çàäàþòñÿ àêñèîìàòè÷åñêè, òî åñòü ìû èõ ÿâíî ôîðìóëèðóåì è äîãîâàðèâàåìñÿ â äàëüíåéøåì íå ïîäâåðãàòü íèêàêîìó ñîìíåíèþ. Çäåñü ìû ñôîðìóëèðóåì è îáñóäèì ëèøü íåêîòîðûå èç ýòèõ ñâîéñòâ, êîòîðûå íàì áóäóò íóæíû â äàëüíåéøåì. Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ýëåìåíòàìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äâà ìíîæåñòâà ðàâíû â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ñîäåðæàò îäíè è òå æå ýëåìåíòû. Èíà÷å ãîâîðÿ, A = B æåñòâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñÿêèé ýëåìåíò ìíî- A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà âñÿêèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà ñòâà B A. 1 B, è íàîáîðîò, ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæå- Ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ. Ìíîæåñòâà ìîæíî çàäàâàòü íåñêîëü- êèìè ñïîñîáàìè. Îäèí èç íèõ ÿâíîå ïåðå÷èñëåíèå âñåõ åãî ýëåìåíòîâ, çàêëþ÷åííûõ â ôèãóðíûå ñêîáêè. Íàïðèìåð: {0}, {a, b, c}, {0, 1, 2, . . .}. Äðóãèì ñïîñîáîì çàäàíèÿ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ çàäàíèå óñëîâèÿ, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò âñå ýëåìåíòû äàííîãî ìíîæåñòâà è íå óäîâëåòâîðÿåò íè îäèí ýëåìåíò íå èç äàííîãî ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî A âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë ìîæíî çàäàòü êàê A = {x | x ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.}.  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà èìååòñÿ óñëîâèå Φ, êîòîðîå áûâàåò ëèáî èñòèí- íûì ëèáî ëîæíûì äëÿ äàííîãî ýëåìåíòà, ìîæåò áûòü îáðàçîâàíî ìíî- æåñòâî âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Φ1 . Ýòî ìíîæåñòâî îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå {x | x îáëàäàåò ñâîéñòâîì Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâà âñåõ âëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Φ, Φ}. x, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó A è óäî- òàêæå óïîòðåáëÿåòñÿ çàïèñü âèäà {x ∈ A | x îáëàäàåò ñâîéñòâîì Φ}. Ïðèìåðû. {a, a} = {a}, {x | x íàòóðàëüíîå ÷èñëî íå áîëåå 2} = {0, 1, 2}. Ïóñòîå ìíîæåñòâî. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå âîîáùå íè 2 îäíîãî ýëåìåíòà. Ñóùåñòâóåò âñåãî îäíî ìíîæåñòâî ñ òàêèì ñâîéñòâîì. Îíî íàçûâàåòñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Ó ïóñòîãî ìíîæåñòâà èìååòñÿ ñîáñòâåííîå îáîçíà÷åíèå: ∅. {∅} = 6 ∅, ïîñêîëüêó â ïåðâîì èç ýòèõ ìíîæåñòâ ýëåìåíò (à èìåííî ∅), à âî âòîðîì íè îäíîãî. Çàìåòèì, ÷òî æèòñÿ îäèí 1 ñîäåð- Çàìåòèì îäíàêî, ÷òî íåîãðàíè÷åííîå èñïîëüçîâàíèå òàêîãî ñïîñîáà îáðàçîâàíèÿ ìíîæåñòâ ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èÿì è ïàðàäîêñàì. Ïðè èçó÷åíèè ìàòåðèàëà äàííîãî ó÷åáíèêà ýòà ïðîáëåìà íå âîçíèêàåò è ïîýòîìó çäåñü íå îáñóæäàåòñÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèå âîïðîñû îáñóæäàþòñÿ â ëèòåðàòóðå ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è òåîðèè ìíîæåñòâ. 2 Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî âûâîäèìî èç ïðèâåäåííîãî âûøå ñâîéñòâà ðàâåíñòâà ìíî- æåñòâ, íî äëÿ ïîíèìàíèÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ îáñóæäåíèå íåêîòîðûõ ïðèíöèïîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, âûõîäÿùåå çà ðàìêè ýòîé êíèãè. 2 Ïîíÿòèå ïîäìíîæåñòâà. Ïóñòü A è B äâà ìíîæåñòâà. Ìû ãîâîðèì, A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì B , åñëè âñÿêèé ýëåìåíò èç A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì èç B . Ýòîò ôàêò îáîçíà÷àåòñÿ òàê: A ⊆ B . Åñëè íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî A ⊆ B è ïðè ýòîì A 6= B , òî óïîòðåáëÿåòñÿ òàêæå çàïèñü A ⊂ B . Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî ÷òî ìíîæåñòâà. Ïðèìåðû. ∅ ⊆ A, {0, 1} ⊆ {0, 1}, {0, 1} ⊆ {0, 1, 2, 3}. Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâà A⊆B òîãäà, êîãäà îäíîâðåìåííî è A B ⊆ A. è B ðàâíû òîãäà è òîëüêî Íà ìíîæåñòâàõ îïðåäåëÿþòñÿ íåêîòîðûå îïåðàöèè, îïèñûâàåìûå íèæå. Îïåðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ B C, è åñëè A A ÿâëÿåòñÿ ñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëå- B, C . B ∪ C , òî ìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èç ìíîæåñòâ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ B è C èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå Äëÿ åñòü A = B ∪ C. Ïîíÿòèå îáúåäèíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå è äëÿ ñåìåéñòâ ìíîæåñòâ. Ïóñòü A ìíîæåñòâî, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîãî åñòü ìíîæåñòâî. Òî- ãäà îáúåäèíåíèåì ñåìåéñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òå è òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èç ìíîæåñòâ B ∈ A. Îáúåäèíåíèå ñåìåéñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî, êàê S A. Ïðèìåðû. [ {A, B} = A ∪ B, [ {{0}, {0, 1}, {1, 2}} = {0, 1, 2}. Îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ C , åñëè A ñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â êàæäîì èç ìíîæåñòâ B , C . Äëÿ ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ B è C èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå B ∩ C , òî åñòü A = B ∩ C . ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ B è Ïîíÿòèå ïåðåñå÷åíèÿ àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è äëÿ ñåìåéñòâ ìíî- A ìíîæåñòâî, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîãî åñòü ìíîæåñòâî. A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òå è òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â êàæäîì èç ìíîæåñòâ B ∈ A. T Ïåðåñå÷åíèå ñåìåéñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî A. æåñòâ. Ïóñòü Òîãäà ïåðåñå÷åíèåì ñåìåéñòâà 3 Ïðèìåðû. \ {A, B} = A ∩ B, \ Åñëè äëÿ ìíîæåñòâ {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}} = {0}. A è B âûïîëíåíî A∩B = ∅, òî A è B íàçûâàþòñÿ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè. Ðàçíîñòü ìíîæåñòâ. Ïóñòü A\B A è B äâà ìíîæåñòâà. Èõ ðàçíîñòüþ A {0, 1, 2} \ {2, 3, 4} = {0, 1}. íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îäíîâðåìåííî íå ïðèíàäëåæàò B. Ïðèìåð: è Äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà.  ñëó÷àå, êîãäà ÿâíî èëè íåÿâíî ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî âñå ýëåìåíòû, ñ êîòîðûìè ìû èìååì äåëî â äàííûé ìîìåíò, ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè íåêîòîðîãî îáúåìëþùåãî ìíîæåñòâà R, è âñå ðàñ- ñìàòðèâàåìûå íàìè â äàííûé ìîìåíò ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæå- R, A ìíîæåñòâà A, ïîä êîòîðûì ïîäðàçóìåâàåòñÿ íà ñàìîì äåëå ðàçíîñòü R \ A, èíà÷å ãîâîðÿ, A = R \ A. ñòâàìè ìîæíî ãîâîðèòü î äîïîëíåíèè Ïðè óïîòðåáëåíèè ïîíÿòèÿ äîïîëíåíèÿ íóæíî âñåãäà ÷åòêî ïðåäñòàâëÿòü, îòíîñèòåëüíî êàêîãî ìíîæåñòâà R ðàññìàòðèâàåòñÿ ýòî äîïîëíå- íèå. Ïîíÿòèå ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà. Ñåìåéñòâî æåñòâ, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà A R, åñëè ñîñòîÿùåå èç ìíî- A = S R è ëþáûå B, C ∈ R ëèáî ñîâïàäàþò ëèáî èìåþò ïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, òî B, C ∈ R âåðíî â òî÷íîñòè îäíî èç äâóõ óñëîâèé: ëèáî B = C ëèáî B ∩ C = ∅. ýëåìåíòû åñòü äëÿ ëþáûõ Ïðèìåð. Ïóñòü ðàçáèåíèå R = {{0, 1}, {2}, {3, 4, 5}} è A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Òîãäà R A. Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â òåîðèè ìíîæåñòâ ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü ïî÷òè âñþ ñîâðåìåííóþ ìàòåìàòèêó. Íà ýòîì ïóòè âàæíî óìåòü èíòåðïðåòèðîâàòü ðàçíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè. Îäíà èç íèõ ýòî óïîðÿäî÷åííûå ïàðû. Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ ìåíòîâ a è b a è êàê ìíîæåñòâî b îïðåäåëèì óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó èç ýëå{{a, b}, {a}}, îáîçíà÷àåìîå îáû÷íî (a, b). Ýòî îïðåäåëåíèå ñïåöèàëüíî âûáðàíî òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü ñëåäóþùåå îñíîâíîå ñâîéñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð: 4 Ïðåäëîæåíèå 0.1 Èç ðàâåíñòâà óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ñëåäóåò, ÷òî a0 = a1 è (a0 , b0 ) = (a1 , b1 ) b0 = b1 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî (a0 , b0 ) = (a1 , b1 ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî {{a0 , b0 }, {a0 }} = {{a1 , b1 }, {a1 }}. (1) Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: Ñëó÷àé 1. a0 = b0 . Òîãäà ìíîæåñòâî â ëåâîé ÷àñòè (1) ñîäåðæèò ðîâíî {{a0 }}). Çíà÷èò è ìíîæåñòâî â ïðàâîé ÷àñòè ñîäåðæèò ðîâíî îäèí ýëåìåíò. Îòñþäà ïîëó÷èì ðàâåíñòâî {a1 , b1 } = {a1 }. Èç ýòîãî âûâîäèì, ÷òî a1 = b1 , è (1) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå îäèí ýëåìåíò (à èìåííî {{a0 }} = {{a1 }}, Îòêóäà ïîëó÷àåì a1 = b1 , {a0 } = {a1 } a0 = a1 . è íàêîíåö Ýòî âëå÷åò b0 = a0 = ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå. Ñëó÷àé 2. a0 6= b0 . Òîãäà ìíîæåñòâî â ëåâîé ÷àñòè (1) ñîäåðæèò äâà ýëåìåíòà, îäèí èç êîòîðûõ äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, à âòîðîé îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêèìè æå ñâîéñòâàìè îáëàäàåò è ìíîæåñòâî â ïðàâîé ÷àñòè (1). Åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ñëó÷àåì çäåñü ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ a0 = a1 è b0 = b1 . Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà ìîæíî çàáûòü êîíêðåòíóþ òåîðåòèêîìíîæåñòâåííóþ ñòðóêòóðó óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (a, b) è ïîìíèòü òîëüêî îñ- íîâíûå ñâîéñòâà ýòèõ ìíîæåñòâ, âûðàæàåìûå ïðåäëîæåíèåì 0.1. Óïîðÿäî÷åííûå ïî èíäóêöèè nêè. Ïî àíàëîãèè ñ óïîðÿäî÷åííûìè ïàðàìè ìîæíî ââåñòè è óïîðÿäî÷åííûå nêè äëÿ ëþáîãî n = 2, 3, 4, . . ., ïîëàãàÿ (a1 , a2 , . . . , an , an+1 ) = ((a1 , a2 , . . . , an ), an+1 ). Èç ñâîéñòâ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ñëåäóåò ñëåäóþùåå îñíîâíîå ñâîéñòâî óïîðÿäî÷åííûõ nîê: äâå óïîðÿäî÷åííûå nêè (a1 , a2 , . . . , an ) è (b1 , b2 , . . . , bn ) ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîïàðíî ðàâíû èõ ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû: a1 = b1 , a2 = b2 , . . . an Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ. Ïóñòü êàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A è B AB ìíîæåñòâà. Äå- íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A × B = {(a, b) | a ∈ A 5 = bn . è b ∈ B}. Ïðèìåð. Ïóñòü A = {0, 1}, B = {1, 2}. Òîãäà A × B = {(0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}. Ïîíÿòèå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìîæåò áûòü îáîáùåíî íà ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî n ìíîæåñòâ, n > 2, ñëåäóþùèì îáðàçîì: A1 × A2 × . . . × An+1 = (A1 × A2 × . . . × An ) × An+1 . Ìîæíî óáåäèòüñÿ ïî èíäóêöèè, ÷òî A1 × A2 × . . . × An = {(a1 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 Óïîòðåáëÿåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå äëÿ n > 1. Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî An è ... è an ∈ An }. äëÿ ìíîæåñòâà . . × A}, |A × .{z n ðàç A1 = A. Îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâàõ. Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî R ⊆ A1 × A2 × . . . × An íàçîâåì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâàõ A1 × A2 × . . . × An . (x1 , . . . , xn ) ∈ R, òî ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýëåìåíòû x1 , . . . , xn R è â ðÿäå ñëó÷àåâ çàïèñûâàòü ýòîò ôàêò òàê: R(x1 , . . . , xn ). n Îòíîøåíèå R ⊆ A íàçûâàåòñÿ nàðíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå A. Ïðè n = 1 îíî íàçûâàåòñÿ óíàðíûì , ïðè n = 2 áèíàðíûì , ïðè n = 3 òåðíàðíûì . Ïóñòü R0 ⊆ A × B è R1 ⊆ B × C . Òîãäà êîìïîçèöèåé îòíîøåíèé R0 è R1 íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå Åñëè íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè R0 ◦ R1 = {(x, z) | äëÿ íåêîòîðîãî y , (x, y) ∈ R0 è (y, z) ∈ R1 }. Ó íåêîòîðûõ íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ ñâîéñòâ áèíàðíûõ îòíîøåíèé åñòü ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå èç íèõ. Ïóñòü R ⊆ A2 . Ðåôëåêñèâíîñòü. Îòíîøåíèå âûïîëíåíî R ðåôëåêñèâíî, åñëè äëÿ ëþáîãî (a, a) ∈ R. Ñèììåòðè÷íîñòü. Îòíîøåíèå A èç a∈A (a, b) ∈ R ñëåäóåò R ñèììåòðè÷íî, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b ∈ (b, a) ∈ R. 6 Òðàíçèòèâíîñòü. Îòíîøåíèå A èç (a, b), (b, c) ∈ R R òðàíçèòèâíî, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈ (a, c) ∈ R. ñëåäóåò Àíòèñèììåòðè÷íîñòü. Îòíîøåíèå R àíòèñèììåòðè÷íî, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b ∈ A èç (a, b), (b, a) ∈ R ñëåäóåò a = b. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî áèíàðíîå îòíîøåíèå R⊆A ÿâëÿåòñÿ îòíîøå- íèåì ýêâèâàëåíòíîñòè åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî. Ïóñòü R îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå a ∈ A ýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòà íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A. Êëàññîì [a]R = {x ∈ A | (x, a) ∈ R}. Âàæíûì ñâîéñòâîì îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ Òåîðåìà 0.2 (Òåîðåìà î ðàçáèåíèè) Ïóñòü âàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå íîñòè {[a]R | a ∈ A} A. R îòíîøåíèå ýêâè- Òîãäà ñåìåéñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíò- îáðàçóåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A. Èíà÷å ãîâîðÿ, ëþáûå äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòîâ ëèáî ñîâïàäàþò ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, è îáúåäèíåíèå âñåõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè åñòü âñå ìíîæåñòâî A. Áèíàðíîå îòíîøåíèå A, R ⊆ A2 íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì íà åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, àíòèñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî. ×àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà A a, b ∈ A (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì åñëè äëÿ ëþáûõ âûïîëíåíî õîòÿ áû îäíî èç ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé: R. Ïðèìåðû. R = {(x, y) | x, y ∈ N è x 6 y} ëèíåéíûé ïîðÿäîê, à D = {(x, y) | x, y ∈ N è x äåëèò y} ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê, êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. Ïóñòü R ⊆ A2 áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå A. Îáðàòíûì ê íåìó íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R}. Ïðèìåð. Ïóñòü R = {(1, 2), (2, 3)}. Òîãäà Îòîáðàæåíèÿ, ôóíêöèè. Îòíîøåíèå íûì îòîáðàæåíèåì èç áîëåå îäíîãî b∈B A â B òàêîãî, ÷òî R−1 = {(2, 1), (3, 2)}. F ⊆ A×B åñëè äëÿ êàæäîãî (a, b) ∈ F . 7 íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷- a ∈ A Ïðè ýòîì, åñëè ñóùåñòâóåò íå (a, b) ∈ F , òî b a è, ïîñêîëüêó b îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî ïî F (a), ò.å., b = F (a). Åñëè ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî (x, y) ∈ F , òî ãîâîðÿò, ÷òî çíà÷åíèå F (x) îïðåäåëåíî è çàïèñûâàþò ýòî êàê F (x) ↓. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî çíà÷åíèå F (x) íå îïðåäåëåíî çàïèñûâàåòñÿ, êàê F (x) ↑. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòè÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F íàçûâàåòñÿ ìíîíàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì a, F íà îíî îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ æåñòâî dom (F ) = {a | F (a) ïðåäåëåíî}. Åãî îáëàñòüþ çíà÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî range (F ) = {F (a) | F (a) Åñëè dom (F ) = A, òî F íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì èç òðåáëÿåòñÿ òàêæå òåðìèí ôóíêöèÿ èç f îïðåäåëåíî}. A â A â B. Óïî- B. An A, òî îáû÷íî ãîâîðÿò, ÷òî f nàðíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâå A (îáû÷íî ïðè n = 1 ãîâîðÿò óíàðíàÿ, ïðè n = 2 áèíàðíàÿ, ïðè n = 3 òåðíàðíàÿ Åñëè îòîáðàæåíèå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà âèäà â îïåðàöèÿ). F íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì íà B . F èç A â B íàçûâàåòñÿ ðàçíîçíà÷íûì åñëè äëÿ ëþáîãî b ∈ B ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî a ∈ A òàêîãî, ÷òî b = F (a). Åñëè range (F ) = B , òî ×àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî ÷àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå F èç A â B ÿâëÿ- −1 ÿâëÿåòñÿ åòñÿ ðàçíîçíà÷íûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îòíîøåíèå F ÷àñòè÷íûì îòîáðàæåíèåì èç Åñëè F B â A. ðàçíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå èç âçàèìíîîäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì èç −1 A A íà B , íà B .  òî îíî íàçûâàåòñÿ ýòîì ñëó÷àå ëåãêî F âçàèìíîîäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå èç B íà A. F : A → B áóäåò îáîçíà÷àòü,÷òî F îòîáðàæåíèå èç A â B , F : A 99K B áóäåò îáîçíà÷àòü, ÷òî F ÷àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå ïîêàçàòü, ÷òî Çàïèñü à çàïèñü èç A â B. F : A 99K B Ïóñòü è G : B 99K C êîìïîçèöèåé íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ñëó÷àå îòíîøåíèå F ◦G äâà ÷àñòè÷íûõ îòîáðàæåíèÿ. Èõ F ◦ G. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â ýòîì A â C . Çàìåòèì, ÷àñòè÷íîå îòîáðàæåíèå èç ÷òî êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé âñåãäà ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì. f , çíà÷åíèÿìè êîòîðîãî x ∈ A ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà Bx , ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü S S {Bx | x ∈ A}. x∈A Bx äëÿ ìíîæåñòâà Åñëè èìååòñÿ íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå ýëåìåíòîâ çíà÷åíèå 8 äëÿ îáî- 1 Àëôàâèòû è ÿçûêè ×òî òàêîå ÿçûê âîîáùå âîïðîñ î÷åíü íåïðîñòîé, ýòîìó âîïðîñó ïîñâÿùåíû èññëåäîâàíèÿ â öåëîì ðÿäå íàóê. ßçûêè áûâàþò ðàçíûìè. Ýòî è îáû÷íûå ÿçûêè, ñëóæàùèå äëÿ îáùåíèÿ ëþäåé, áþðîêðàòè÷åñêèå âàðèàíòû åñòåñòâåííûõ ÿçûêîâ, ïðîôåññèîíàëüíûå æàðãîíû, ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ÿçûêè äëÿ ñâÿçè ìåæäó êîìïüþòåðàìè, ÿçûêè æåñòîâ, ÿçûêè èêîíîê íà äèñïëåå êîìïüþòåðà, ÿçûê äîðîæíûõ çíàêîâ, âèäèìî ìîæíî â êàêîìòî ñìûñëå ãîâîðèòü î ÿçûêå èñêóññòâà è ò.ï. Çäåñü ìû áóäåì èçó÷àòü ôîðìàëüíûå ÿçûêè. Ê íàì îòíîñÿòñÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü ÿçûêè, èñïîëüçóåìûå ïðè ðàáîòå ñ êîìïüþòåðîì (â ÷àñòíîñòè ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ) è ÿçûêè, èñïîëüçóåìûå â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. Ýòè ÿçûêè ïîääàþòñÿ èçó÷åíèþ ñòðîãèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ãîâîðèòü î ÿçûêå â òî÷íûõ òåðìèíàõ, íåîáõîäèìî ïðåæäå âñåãî çàôèêñèðîâàòü àëôàâèò êîíå÷íîå (îáû÷íî íåïóñòîå) A = {a0 , a1 , . . . , an }. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû çàôèêàëôàâèò A. Ïîä ñëîâîì â àëôàâèòå A ìû áóäåì ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ ñèðîâàëè íåêîòîðûé ïîíèìàòü ëþáóþ êîíå÷íóþ öåïî÷êó ñèìâîëîâ èç ýòîãî àëôàâèòà, âêëþ÷àÿ ïóñòîå ñëîâî, íå ñîäåðæàùåå ñèìâîëîâ, è îáîçíà÷àåìîå ëÿåòñÿ òàêæå âûðàæåíèå ñëîâî íàä àëôàâèòîì ñëîâà â àëôàâèòå {a, b}, A. Λ. Íàïðèìåð, Óïîòðåá- a, abba, Λ à íóáûâàþòæåòàêèåñòðàííûåñëîâà, àáðàêàäàáðà, áâãæþðñò {à, á, â,. . . , ý, þ, ÿ}. Ïóñòü A∗ îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî + âñåõ ñëîâ íàä àëôàâèòîì A, à A îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ + ñëîâ íàä àëôàâèòîì A, ò.å., A = A∗ \ {Λ}. Áóäåì îáîçíà÷àòü äëèíó ñëîâà α ÷åðåç |α| (ïðè ýòîì êîíå÷íî æå |Λ| = 0). ∗ Ëþáîå ìíîæåñòâî L ⊆ A áóäåì íàçûâàòü ôîðìàëüíûì ÿçûêîì íàä àëôàâèòîì A. ñëîâà â àëôàâèòå Îïðåäåëèì íåêîòîðûå îïåðàöèè íàä ñëîâàìè è ÿçûêàìè. Êîíêàòåíàöèÿ ñëîâ v w ýòî áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâå ñëîâ (A∗ )2 â A∗ ), ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ êîòîðîé ê ñëîâàì v è w ÿâëÿåòñÿ ñëîâî, ïîëó÷àþùååñÿ ïðèïèñûâàíèåì ê v ñëîâà w ñïðàâà, òî åñòü ñëîâî vw . Èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå v ◦ w . è (òî åñòü îòîáðàæåíèå èç Ïðèìåðû. Êîíêàòåíàöèÿ ñëîâ àáðà è êàäàáðà åñòü ñëîâî àáðàêàäàáðà. Îòìåòèì íåêîòîðûå äîñòàòî÷íî î÷åâèäíûå ñâîéñòâà êîíêàòåíàöèè: 9 • êîíêàòåíàöèÿ ñ ïóñòûì ñëîâîì íå èçìåíÿåò ïåðâîíà÷àëüíîå ñëîâî: Λ ◦ v = v ◦ Λ = v. • êîíêàòåíàöèÿ àññîöèàòèâíà: äëÿ ëþáûõ ñëîâ ðàâåíñòâî u, v , w âûïîëíåíî u(vw) = (uv)w. Îïåðàöèÿ êîíêàòåíàöèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàñøèðÿåòñÿ íà ÿçûêè. Êîíêàòåíàöèÿ ÿçûêîâ L0 è L1 îïðåäåëÿåòñÿ, êàê L0 L1 = {uv | u ∈ L0 , v ∈ L1 }. Ïîíÿòèå ïîäñëîâà. Ñëîâî β íàçûâàåòñÿ ïîäñëîâîì ñëîâà γ0 è γ1 â ñëîâî α íàçîâ¼ì òðîéêó α, åñëè ñó- α = γ0 βγ1 . Ïðè ýòîì âõîæäåíèåì hγ0 , β, γ1 i. Íàçîâ¼ì ñàìûì ëåâûì âõîæäåíèåì ïîäñëîâà β â ñëîâî α òàêóþ òðîéêó hγ0 , β, γ1 i ñ íàèìåíüøèì âîçìîæíûì çíà÷åíèåì äëèíû ñëîâà γ0 . Íàïðèìåð ñëîâî áàîáàá èìååò äâà ðàçíûõ âõîæäåíèÿ ïîäñëîâà áà: Λ ◦ áà ◦ îáàá è áàî ◦ áà ◦ á. Ïåðâîå èç ùåñòâóþò ñëîâà ïîäñëîâà β òàêèå, ÷òî íèõ áóäåò ñàìûì ëåâûì âõîæäåíèåì. Ïî àíàëîãèè ñ óìíîæåíèåì ìîæíî îïðåäåëèòü ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì è äëÿ ñëîâ, à èìåííî: w0 = Λ; wn+1 = wn w, Èëè ìåíåå ôîðìàëüíî: wn = w . . w}. | .{z n ðàç Îïåðàöèÿ çâåçäî÷êà Êëèíè (èëè ïðîñòî çâåçäî÷êà ). Îíà îïðåäåëÿåòñÿ òàê: L∗ = {w|w = w1 w2 . . . wn , è äëÿ íåêîòîðûõ  ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî ÿçûêà äëÿ íåêîòîðîãî n = 0, 1, 2, . . . w1 , . . . , wn ∈ L}. L âûïîëíåíî Λ ∈ L∗ . Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òàêæå îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è äîïîëíåíèÿ ÿçûêîâ. Ïîñêîëüêó â ýòèõ ñëó÷àÿõ ÿçûêè âûñòóïàþò êàê îáûêíîâåííûå ìíîæåñòâà, ñïåöèàëüíî îïðåäåëÿòü ýòè îïåðàöèè íåò ñìûñëà. Ñòîèò òîëüêî îòìåòèòü, ÷òî äîïîëíåíèå ÿçûêà L ⊆ A∗ îáû÷íî ïîíè- ∗ ìàåòñÿ êàê äîïîëíåíèå îòíîñèòåëüíî A , òî åñòü êàê ìíîæåñòâî 10 A∗ \ L .