Ëèñòîê 1. Ìíîæåñòâà è ñîîòâåòñòâèÿ 1. Äàíû ìíîæåñòâà A, B , C , èç êîòîðûõ ëþáûå äâà ïåðåñåêàþòñÿ, íî íèêàêîå èç ýòèõ ìíîæåñòâ íå ñîäåðæèòñÿ â îáúåäèíåíèè äâóõ äðóãèõ. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìîæåò ñîäåðæàòü ìíîæåñòâî A ∪ B ∪ C ? 2. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîå ìíîæåñòâî X èç òð¼õ ýëåìåíòîâ, ÷òî X ⊂ P(X)? (×åðåç P(X) îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X .) 3. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êàêîå-òî ðàâåíñòâî (ñîäåðæàùåå ïåðåìåííûå äëÿ ìíîæåñòâ è îïåðàöèè ∩, ∪ è \) íå ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì äëÿ âñåõ ìíîæåñòâ, òî íàéä¼òñÿ êîíòðïðèìåð ê íåìó, âñå ìíîæåñòâà êîòîðîãî ïóñòû èëè ñîñòîÿò èç îäíîãî ýëåìåíòà. 4. Ìíîæåñòâî U ñîäåðæèò 2n ýëåìåíòîâ.  í¼ì âûäåëåíî k ïîäìíîæåñòâ, ïðè÷¼ì íè îäíî èç íèõ íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî. Êàêîâî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå ÷èñëà k ? Îïðåäåëåíèå. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ A è B ýòî A × B {ha, bi | a ∈ A, b ∈ B}. 5. Äîêàæèòå, ÷òî à) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D); á) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C); â) A ⊆ B è C ⊆ D òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A × C ⊆ B × D. 6. Ïóñòü A, B 6= ∅ è (A × B) ∪ (B × A) = C × D. Äîêàæèòå, ÷òî A = B = C = D. Îïðåäåëåíèÿ. Áèíàðíûì ñîîòâåòñòâèåì ìåæäó ìíîæåñòâàìè A è B íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî èõ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ: R ⊆ A × B . Åñëè A = B , òî R òàêæå íàçûâàåòñÿ áèíàðíûì îòíîøåíèåì íà A. Âìåñòî ha, bi ∈ R èíîãäà ïèøóò a R b. 7. Äàíû êîíå÷íûå ìíîæåñòâà A è B èç n è m ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî âñåõ áèíàðíûõ ñîîòâåòñòâèé ìåæäó A è B . Åñëè R ⊆ A×B è S ⊆ B ×C äâà áèíàðíûõ ñîîòâåòñòâèÿ, òî èõ êîìïîçèöèåé íàçûâàåòñÿ áèíàðíîå ñîîòâåòñòâèå R ◦ T {ha, ci | (∃b ∈ B) ha, bi ∈ R, hb, ci ∈ T }. ×åðåç 1A îáîçíà÷èì îòíîøåíèå ðàâåíñòâà íà A: 1A {ha, ai | a ∈ A}. 8. Âû÷èñëèòå âñå âîçìîæíûå êîìïîçèöèè îòíîøåíèé =, 6=, <, >, 6, > íà R. 9. Ïóñòü R ⊆ A × A. Äîêàæèòå, ÷òî R = 1A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî R1 ⊆ A × A âåðíî R ◦ R1 = R1 ◦ R = R1 . Îïðåäåëåíèå. Îáðàòíûì ê áèíàðíîìó ñîîòâåòñòâèþ R ⊆ A × B íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå R−1 {hb, ai | ha, bi ∈ B} ⊆ B × A. 10. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ áèíàðíûõ ñîîòâåòñòâèé R1 , R2 , R3 : à) R1 ◦ (R2 ◦ R3 ) = (R1 ◦ R2 ) ◦ R3 ; á) (R1 ◦ R2 )−1 = R2−1 ◦ R1−1 . 11. Îáðàçóþò ëè áèíàðíûå îòíîøåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå ãðóïïó (îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ◦ è −1 )? Îïðåäåëåíèå. Áèíàðíîå îòíîøåíèå R íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè èç aRb ñëåäóåò bRa; ðåôëåêñèâíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî a ∈ A âåðíî aRa; òðàíçèòèâíûì, åñëè èç òîãî, ÷òî aRb è bRc, ñëåäóåò, ÷òî aRc. 12. Ïóñòü M = {1, 2, 3}, N = {1, 2}. Ïîñòðîéòå à) ðåôëåêñèâíîå, òðàíçèòèâíîå, íî íå ñèììåòðè÷íîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå M ; á) íåòðàíçèòèâíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå N ; â) òðàíçèòèâíîå, ñèììåòðè÷íîå, íî íå ðåôëåêñèâíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå N . Îïðåäåëåíèå. Áèíàðíîå ñîîòâåòñòâèå F ⊆ A × B íàçûâàåòñÿ (÷àñòè÷íîé) ôóíêöèåé, åñëè îíî îáëàäàåò ñâîéñòâîì ôóíêöèîíàëüíîñòè: åñëè hx, y1 i ∈ F è hx, y2 i ∈ F , òî y1 = y2 . Èíà÷å ãîâîðÿ, äëÿ êàæäîãî x ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî y òàêîãî, ÷òî hx, yi ∈ F . Ýòîò åäèíñòâåííûé y (åñëè îí ñóùåñòâóåò) îáîçíà÷àåòñÿ F (x). Åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ A ñóùåñòâóåò F (x), òî ôóíêöèÿ F íàçûâàåòñÿ âñþäó îïðåäåë¼ííîé, èëè òîòàëüíîé. Çàïèñûâàåòñÿ ýòî òàê: F : A → B . Êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé ÷àñòíûé ñëó÷àé êîìïîçèöèè îòíîøåíèé. Çàìåòèì, ÷òî ïðè íàøèõ îïðåäåëåíèÿõ â êîìïîçèöèè F ◦ G ñíà÷àëà ïðèìåíÿåòñÿ ôóíêöèÿ F , à ïîòîì ôóíêöèÿ G (îáû÷íî â ìàòåìàòèêå ïðèíÿòî ïðîòèâîïîëîæíîå ñîãëàøåíèå). 13. Ïóñòü F : A → B . Äîêàæèòå, ÷òî à) F áèåêòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà F −1 âñþäó îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ; á) F èíúåêòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F −1 (÷àñòè÷íàÿ) ôóíêöèÿ; â) F áèåêòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F ◦ F −1 = 1A è F −1 ◦ F = 1B . ã) ×òî ìîæíî ñêàçàòü îá F , åñëè âûïîëíåíî òîëüêî îäíî èç ýòèõ óñëîâèé? 14. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêóþ F : A → B ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîìïîçèöèè F = H ◦ G, ãäå G èíúåêòèâíàÿ ôóíêöèÿ, à H ñþðúåêòèâíàÿ. 15. Ïóñòü F : A → B , G : B → A, ïðè÷¼ì F ◦G = 1A . Äîêàæèòå, ÷òî F èíúåêòèâíà, à G ñþðúåêòèâíà. Ëèñòîê 2. Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé Îïðåäåëåíèÿ. Çàôèêñèðóåì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî Var = {p1 , p2 , p3 , . . . , pn , . . . }, íàçûâàåìîå ìíîæåñòâîì ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ. Èíîãäà äëÿ óäîáñòâà ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå ðàçíûìè áóêâàìè (íàïðèìåð, p = p1 , q = p2 , r = p3 è ò. ä.). Ìíîæåñòâî Fm ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1) ëþáàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìóëîé; 2) êîíñòàíòà ⊥ (¾ëîæü¿) ÿâëÿåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìóëîé; 3) åñëè A è B ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû, òî (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B), ¬A òîæå ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû; 4) äðóãèõ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë íåò. Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî ôîðìóëà ýòî âñåãî ëèøü ñòðî÷êà ñèìâîëîâ, ñóãóáî ñèíòàêñè÷åñêèé îáúåêò. Ñëîâî ¾ïðîïîçèöèîíàëüíûé¿ â ýòîì ëèñòî÷êå ìû áóäåì èíîãäà îïóñêàòü. 1. à) Äîêàæèòå ëåììó îá îäíîçíà÷íîñòè ñèíòàêñè÷åñêîãî ðàçáîðà: ëþáàÿ ôîðìóëà åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ â îäíîì èç âèäîâ 1)3). á) Ïðåäëîæèòå ñïîñîá çàïèñè ôîðìóë áåç ñêîáîê, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà. (Åñëè ïðîñòî îïóñòèòü âñå ñêîáêè â ïðåäëîæåííîì âûøå îïðåäåëåíèè, ýòî óñëîâèå íàðóøèòñÿ.) Îïðåäåëåíèÿ. Íàçîâ¼ì èíòåðïðåòàöèåé ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå α : Var → {0, 1}. Îòîáðàæåíèå α ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû ïî òàáëèöàì èñòèííîñòè; îáîçíà÷èì ýòî ðàñøèðåíèå ÷åðåç ᾱ. Çíà÷åíèå ᾱ(A) íàçûâàåòñÿ èñòèííîñòíûì çíà÷åíèåì ôîðìóëû A ïðè èíòåðïðåòàöèè α. Åñëè äëÿ äàííîé ôîðìóëû A âåðíî ᾱ(A) = 1, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôîðìóëà A èñòèííà ïðè èíòåðïðåòàöèè α, è ïèøóò α A.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå A ëîæíà ïðè èíòåðïðåòàöèè α; α 6 A. Ôîðìóëà A îáùåçíà÷èìà, åñëè îíà èñòèííà ïðè âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ. Ôîðìóëû A è B ýêâèâàëåíòíû, åñëè ôîðìóëà A ↔ B îáùåçíà÷èìà. 2. à) Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà p∨q íå ýêâèâàëåíòíà íèêàêîé ôîðìóëå, â çàïèñè êîòîðîé âñòðå÷àþòñÿ òîëüêî çíàêè ↔, ¬, ñêîáêè è ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå. á) Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà p → q íå ýêâèâàëåíòíà íèêàêîé ôîðìóëå, â çàïèñè êîòîðîé âñòðå÷àþòñÿ òîëüêî çíàêè ∨, ∧, ñêîáêè è ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå. 3. Ïîñòðîéòå ôîðìóëó îò òð¼õ ïåðåìåííûõ p, q è r, èñòèííóþ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà à) ðîâíî îäíà; á) íå ìåíåå äâóõ èç ïåðåìåííûõ ïðèíèìàþò çíà÷åíèå 1. 4. Ïîñòðîéòå ïðîïîçèöèîíàëüíóþ ôîðìóëó A, äëÿ êîòîðîé îáå ôîðìóëû (r → A) ↔ (r → (p ∧ q)) è (A → r) ↔ ((¬(p ∨ q)) → r) îáùåçíà÷èìû. 5. Ìîæíî ëè ïîñòðîèòü òàêóþ ôîðìóëó A, ÷òîáû ôîðìóëà ((A ∧ q) → ¬p) → ((p → ¬q) → A) áûëà îáùåçíà÷èìîé? Åñëè äà, òî ñêîëüêî íåýêâèâàëåíòíûõ ðåøåíèé èìååò çàäà÷à? 6. à) Ïîñòðîéòå ïðîïîçèöèîíàëüíóþ ôîðìóëó îò ïåðåìåííûõ p, q è r, èçìåíÿþùóþ ñâî¼ çíà÷åíèå ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèÿ ðîâíî îäíîé èç ýòèõ ïåðåìåííûõ. á) Ïðèäóìàéòå ýëåêòðè÷åñêóþ ñõåìó, ïðè êîòîðîé ñâåò â êîìíàòå âêëþ÷àåòñÿ è âûêëþ÷àåòñÿ ëþáûì èç òð¼õ ïåðåêëþ÷àòåëåé, íåçàâèñèìî îò ñîñòîÿíèÿ îñòàëüíûõ (ïåðåêëþ÷àòåëü èìååò íåñêîëüêî êîíòàêòîâ è 2 ñîñòîÿíèÿ, â îäíîì èç êîòîðûõ ñîåäèíåíî îäíî ìíîæåñòâî êîíòàêòîâ, à â äðóãîì äðóãîå). Îïðåäåëåíèÿ. Åñëè T ìíîæåñòâî ôîðìóë (ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ òåîðèÿ), è âñå îíè èñòèííû ïðè èíòåðïðåòàöèè α, òî ïèøåì α T è ãîâîðèì, ÷òî òåîðèÿ T èñòèííà ïðè èíòåðïðåòàöèè α è, íàîáîðîò, èíòåðïðåòàöèÿ α ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ òåîðèè T . Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ òåîðèÿ, èìåþùàÿ õîòÿ áû îäíó ìîäåëü, íàçûâàåòñÿ âûïîëíèìîé. 7. Ïóñòü Θ ìíîæåñòâî âñåõ èíòåðïðåòàöèé. Îïðåäåëèì íà í¼ì ñòðóêòóðó ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè α, β ∈ Θ, ïðè÷¼ì α(pi ) = β(pi ) äëÿ âñåõ i < n, à α(pn ) 6= β(pn ), òî ρ(α, β) = 2−n (à åñëè α(pi ) = β(pi ) äëÿ âñåõ i, òî α = β è ρ(α, β) = 0). à) Äîêàæèòå, ÷òî Θ = hΘ, ρi ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. á) Äîêàæèòå, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Θ êîìïàêòíî. â) Ïóñòü T ⊂ Fm êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî {α | α T } îòêðûòî è çàìêíóòî â Θ. ã) Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Ïóñòü òåîðèÿ T òàêîâà, ÷òî ëþáîå å¼ êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî âûïîëíèìî. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà âñÿ òåîðèÿ T òàêæå âûïîëíèìà. 8. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ëåììà Êðåéãà. Ïóñòü A è B ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû, ïðè÷¼ì ôîðìóëà A → B îáùåçíà÷èìà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôîðìóëà C , ÷òî ôîðìóëû A → C è C → B îáùåçíà÷èìû, è âñÿêàÿ ïåðåìåííàÿ, âõîäÿùàÿ â C , âõîäèò îäíîâðåìåííî è â A, è â B . Ëèñòîê 3. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà 1. Ïóñòü ñèãíàòóðà ñîäåðæèò ïðåäèêàò ðàâåíñòâà è òð¼õìåñòíûé ïðåäèêàò C . Ðàññìîòðèì å¼ íîðìàëüíóþ èíòåðïðåòàöèþ íà ìíîæåñòâå âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, ïðè ýòîì C(x, y, z) îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè x è y ðàâíîóäàëåíû îò òî÷êè z . Çàïèøèòå â ýòîé ñèãíàòóðå ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: à) ¾òðè ðàçëè÷íûå òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé¿; á) ¾ïðÿìûå AB è CD ïàðàëëåëüíû¿; â) ¾∠ABC = ∠A0 B 0 C 0 ¿; ã) ¾4ABC = 4A0 B 0 C 0 ¿; ä) ¾èç òî÷êè M âñå ñòîðîíû 4ABC âèäíû ïîä óãëîì 120◦¿; å) ¾I öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè 4ABC ¿; ¼) ¾M òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí 4ABC ¿; æ) ïÿòûé ïîñòóëàò Åâêëèäà. 2. Ðàññìîòðèì åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû h=, <i íà ìíîæåñòâå Z. Êàê âûðàçèòü îòíîøåíèå y = x + 1? 3. Ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû (=, +, P 2 ) íà ìíîæåñòâå R: P (a, b) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà b = a2 ; = è + èíòåðïðåòèðóþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì. Âûðàçèòå ôîðìóëîé òð¼õìåñòíîå îòíîøåíèå ¾x = yz ¿. 4. Ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû (=, f 1 ) íà ìíîæåñòâå Z: ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë f èíòåðïðåòèðóåòñÿ ôóíêöèåé x 7→ (x + 2); ïðåäèêàòíûé ñèìâîë = èíòåðïðåòèðóåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì. Âûðàçèìî ëè ôîðìóëîé äâóìåñòíîå îòíîøåíèå ¾y = x + 1¿? 5. Ðàññìîòðèì åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû (=, +, 0, 1) íà ìíîæåñòâå R. Ïðè êàêèõ (ôèêñèðîâàííûõ) çíà÷åíèÿõ ξ ∈ R ïðåäèêàò ¾x = ξ ¿ âûðàçèì ôîðìóëîé? 6. Âûðàçèì ëè ïðåäèêàò ¾x = 3¿ â ìíîæåñòâå N ñ ïðåäèêàòàìè ðàâåíñòâà è ¾y êðàòíî z ¿? 7. Ïîñòðîéòå ôîðìóëó â ñèãíàòóðå (=, <), èñòèííóþ âî âñåõ êîíå÷íûõ èíòåðïðåòàöèÿõ, íî íå îáùåçíà÷èìóþ. 8. Ïîñòðîéòå ôîðìóëó â ÿçûêå ïåðâîãî ïîðÿäêà áåç ðàâåíñòâà, èìåþùóþ 3-ýëåìåíòíóþ ìîäåëü è íå èìåþùóþ 2-ýëåìåíòíîé. 9. Ïðèäóìàéòå èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû ñ òðåìÿ ïðåäèêàòàìè, â êîòîðîé êàæäûé ïðåäèêàò âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äâà äðóãèõ, íî íè îäèí íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äðóãîé. 10. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó àðèôìåòèêè: (+, ·, =) è å¼ åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ íà ìíîæåñòâå N. Âûðàçèìûå îòíîøåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþòñÿ àðèôìåòè÷åñêèìè. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèå: à) ¾x = 0¿; á) ¾x = 1¿; â) ¾x = N ¿ (N ôèêñèðîâàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî); ã) ¾x 6 y ¿; ä) ¾x êðàòíî y ¿; å) ¾x ïðè äåëåíèè íà y äà¼ò íåïîëíîå ÷àñòíîå q è îñòàòîê r¿; ¼) ¾z = ÍÎÄ(x, y)¿; æ) ¾x åñòü ñòåïåíü äâîéêè¿; ç) ¾x ïðîñòîå ÷èñëî¿. 11. Çàäàéòå îòíîøåíèå ¾x = N ¿ ôîðìóëîé äëèíû íå áîëüøåé, ÷åì C log2 N äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû C , íå çàâèñÿùåé îò N . Ýëåìåíòàðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü Äâå èíòåðïðåòàöèè íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè â íèõ èñòèííû îäíè è òå æå ôîðìóëû áåç ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. 12. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó (=, <). Áóäóò ëè ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû å¼ åñòåñòâåííûå èíòåðïðåòàöèè íà Z è N? 13. Ðàññìîòðèì òó æå ñèãíàòóðó è å¼ åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ íà R. Ñóùåñòâóåò ëè èíòåðïðåòàöèÿ ýòîé ñèãíàòóðû íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå ìîùíîñòè êîíòèíóóì, íå èçîìîðôíàÿ, íî ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíàÿ ýòîé èíòåðïðåòàöèè? 14. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó (+, =). Áóäóò ëè ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû å¼ åñòåñòâåííûå èíòåðïðåòàöèè à) íà Z è Q? á) íà Z è Z ⊕ Q? â) íà Z è Z ⊕ Z? Òåîðèåé íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ôîðìóë (â äàííîé ñèãíàòóðå) áåç ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. Ìîäåëüþ òåîðèè íàçûâàåòñÿ èíòåðïðåòàöèÿ, ïðè êîòîðîé âñå ýòè ôîðìóëû èñòèííû. 15. à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñèãíàòóðà êîíå÷íà èëè ñ÷¼òíà, òî ëþáàÿ òåîðèÿ â ýòîé ñèãíàòóðå ìîæåò èìåòü íå áîëüøå, ÷åì êîíòèíóóì ïîïàðíî íåèçîìîðôíûõ ñ÷¼òíûõ ìîäåëåé. á) Ïîñòðîéòå òåîðèþ â ñèãíàòóðå ñ ðàâåíñòâîì è åù¼ îäíèì äâóõìåñòíûì ïðåäèêàòîì, èìåþùóþ êîíòèíóóì ïîïàðíî íåèçîìîðôíûõ ñ÷¼òíûõ ìîäåëåé. Òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ êàòåãîðè÷íîé â äàííîé ìîùíîñòè, åñëè âñå å¼ ìîäåëè äàííîé ìîùíîñòè èçîìîðôíû. 16. Ïðèâåäèòå ïðèìåð òåîðèè, èìåþùåé ìîäåëè âñåõ ìîùíîñòåé è ïðè ýòîì êàòåãîðè÷íîé âî âñåõ ìîùíîñòÿõ. Ëèñòîê 4. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà II 1. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó áåç êîíñòàíò è ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ, âñå ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû êîòîðîé îäíîìåñòíû. à) Ñóùåñòâóåò ëè â ýòîé ñèãíàòóðå âûïîëíèìàÿ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, íå èìåþùàÿ êîíå÷íûõ ìîäåëåé? á) Ñóùåñòâóåò ëè àëãîðèòì, ïðîâåðÿþùèé âûïîëíèìîñòü äàííîé çàìêíóòîé ôîðìóëû â ýòîé ñèãíàòóðå? Åñëè äà, òî îöåíèòå (õîòÿ áû ãðóáî) âðåìÿ ðàáîòû ýòîãî àëãîðèòìà. 2. Íàçîâ¼ì ñïåêòðîì äàííîé çàìêíóòîé ôîðìóëû A (â ñèãíàòóðå ñ ðàâåíñòâîì) ìíîæåñòâî òàêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n, ÷òî ñóùåñòâóåò ìîäåëü ôîðìóëû A ìîùíîñòè n. Ñóùåñòâóåò ëè ôîðìóëà, ñïåêòð êîòîðîé à) ìíîæåñòâî {2, 6, 100, 2013}; á) ìíîæåñòâî {1317, 1812, 1945}∪{n | n > 2014}; â) ìíîæåñòâî âñåõ ÷¼òíûõ ÷èñåë; ã) ìíîæåñòâî âñåõ ñòåïåíåé äâîéêè; ä) ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë? 3. Ïîñòðîéòå ôîðìóëó â ñèãíàòóðå ñ îäíèì òð¼õìåñòíûì ïðåäèêàòíûì ñèìâîëîâ R (è ðàâåíñòâîì), êîòîðàÿ èìååò ñïåêòð N, íî íå îáùåçíà÷èìà. Óñòðàíåíèå êâàíòîðîâ Òåîðåìà Òàðñêîãî Çàéäåíáåðãà. Âñÿêàÿ ôîðìóëà â ñèãíàòóðå (=, <, 0, 1, +, ·) ïðè ñòàíäàðòíîé èíòåðïðåòàöèè íà ìíîæåñòâå R ýêâèâàëåíòíà íåêîòîðîé áåñêâàíòîðíîé ôîðìóëå. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû äîâîëüíî ñëîæíî òåõíè÷åñêè, îäíàêî ïîëåçíî ïîìíèòü, ÷òî äîñòàòî÷íî óìåòü óñòðàíèòü îäèí êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ, ò. å. ïðèâåñòè ôîðìóëó âèäà ∃x A, ãäå A íå ñîäåðæèò êâàíòîðîâ, ê áåñêâàíòîðíîìó âèäó. Äàëüíåéøåå äåëàåòñÿ èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó êâàíòîðîâ. 4. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè÷íóþ òåîðåìó äëÿ C (â ñèãíàòóðå, ðàçóìååòñÿ, óæå íå áóäåò ñèìâîëà ¾<¿). Âåðíî ëè, ÷òî â êà÷åñòâå áåñêâàíòîðíîé ôîðìóëû, ýêâèâàëåíòíîé äàííîé, è â R, è â C ìîæíî âçÿòü îäíó è òó æå ôîðìóëó? 5. à) Äîêàæèòå òåîðåìó îá óñòðàíåíèè êâàíòîðîâ äëÿ ñòðóêòóð hQ, <, =i è hR, <, =i. á) Äîêàæèòå, ÷òî ýòè ñòðóêòóðû ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû (ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿÿñü èçîìîðôíûìè). 6. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñâîéñòâî ¾x = α¿ (α ôèêñèðîâàííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî) âûðàçèìî â (R; =, <, 0, 1, +, ·) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà α àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî. á) Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ C. 7. Ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû (=, S, 0) íà ìíîæåñòâå Z. (S ýòî îäíîìåñòíûé ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë, èíòåðïðåòèðóåìûé ôóíêöèåé x 7→ x + 1.) à) Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå òåîðåìó îá óñòðàíåíèè êâàíòîðîâ. á) Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå ¾x < y ¿ â ýòîé èíòåðïðåòàöèè íåâûðàçèìî. â) Ìîæíî ëè ýòî ñäåëàòü ìåòîäîì àâòîìîðôèçìîâ? Êîìïàêòíîñòü Òåîðåìà üäåëÿ Ìàëüöåâà î êîìïàêòíîñòè. Òåîðèÿ T èìååò ìîäåëü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáàÿ å¼ êîíå÷íàÿ ïîäòåîðèÿ T0 ⊂ T èìååò ìîäåëü. Ýòó òåîðåìó ìîæíî èñïîëüçîâàòü áåç äîêàçàòåëüñòâà. 8. Ñóùåñòâóåò ëè òåîðèÿ, èìåþùàÿ êîíå÷íûå ìîäåëè ñêîëü óãîäíî áîëüøîé ìîùíîñòè, íî íå èìåþùàÿ áåñêîíå÷íîé ìîäåëè? 9. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó, ñîäåðæàùóþ òîëüêî äâóìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë ðàâåíñòâà è äâóìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë R, èíòåðïðåòàöèè ìíîæåñòâà ñ áèíàðíûìè îòíîøåíèÿìè (îðèåíòèðîâàííûå ãðàôû). Ìîæíî ëè âûðàçèòü ôîðìóëàìè 1-ãî ïîðÿäêà ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ/ãðàôà: à) ñèììåòðè÷íîñòü; á) ðåôëåêñèâíîñòü; â) òðàíçèòèâíîñòü; ã) ñóùåñòâîâàíèå êëèêè ðàçìåðà 6 (ìíîæåñòâà èç 6 âåðøèí, â êîòîðîì êàæäàÿ ñîåäèíåíà ñ êàæäîé ñòðåëêàìè â îáå ñòîðîíû); ä) êîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà âåðøèí; å) ¾âåðøèí ëèáî ÷¼òíîå ÷èñëî, ëèáî áåñêîíå÷íî ìíîãî¿; ¼) àöèêëè÷íîñòü; æ) ñâÿçíîñòü? 10. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó, ñîäåðæàùóþ îäèí äâóìåñòíûé ïðåäèêàò = (ðàâåíñòâî), äâà äâóìåñòíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëà: + è · è äâå êîíñòàíòû: 0 è 1. Èíòåðïðåòàöèè êîëüöà. Ìîæíî ëè âûðàçèòü ôîðìóëîé 1-ãî ïîðÿäêà ñëåäóþùèå ñâîéñòâà êîëåö: à) êîììóòàòèâíîñòü; á) îòñóòñòâèå äåëèòåëåé íóëÿ; â) ¾äàííîå êîëüöî åñòü ïîëå¿; ã) ¾äàííîå êîëüöî åñòü ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p¿ (p ôèêñèðîâàííîå ïðîñòîå ÷èñëî); ä) ¾äàííîå êîëüöî åñòü ïîëå íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè¿; å) ¾äàííîå êîëüöî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì¿? 11. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó (+, ·, S , =) è å¼ åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ íà ìíîæåñòâå N (ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë S èíòåðïðåòèðóåòñÿ îòîáðàæåíèåì x 7→ (x+1)). Ñóùåñòâóåò ëè ñ÷¼òíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîé ñèãíàòóðû, ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíàÿ, íî íå èçîìîðôíàÿ åñòåñòâåííîé èíòåðïðåòàöèè íà N? Ôîðìóëà A ñåìàíòè÷åñêè ñëåäóåò èç òåîðèè T (ïèøåì: T A), åñëè îíà âåðíà â ëþáîé èíòåðïðåòàöèè, â êîòîðîé âåðíà òåîðèÿ T . 12. Ïóñòü òåîðèè T1 è T2 òàêîâû, ÷òî T1 ∪ T2 íå èìååò ìîäåëåé. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôîðìóëà A, ÷òî T1 A è T2 ¬A. Ëèñòîê 5. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà III Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèìè àêñèîìàìè è ïðàâèëàìè âûâîäà: Àêñèîìû: À1. Ôîðìóëû, ïîëó÷àåìûå ïîäñòàíîâêîé èç òàâòîëîãèé ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. À2. Ôîðìóëû âèäà (∀x A) → A[x := t], ïðè÷¼ì ïåðåìåííûå òåðìà t íå ñâÿçàíû êâàíòîðàìè âíóòðè A. À3. Ôîðìóëû âèäà A[x := t] → (∃x A), ñ òåì æå óñëîâèåì. Ïðàâèëà âûâîäà: R1. A A→B B modus ponens (MP) R2. | A→B A → (∀x B) B→A (∃x B) → A {z } ïðàâèëà Áåðíàéñà R3.  ïðàâèëàõ Áåðíàéñà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïåðåìåííàÿ x íå âõîäèëà ñâîáîäíî â ôîðìóëó A. Ïóñòü T òåîðèÿ (ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ ôîðìóë). Åñëè íåêàÿ ôîðìóëà A ìîæåò áûòü âûâåäåíà â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ, â êîòîðîå ôîðìóëû èç T äîáàâëåíû â êà÷åñòâå àêñèîì, òî A âûâîäèìà â òåîðèè T (ïèøåì: T ` A). 1. Ïîêàæèòå, ÷òî îãðàíè÷åíèÿ â àêñèîìàõ A2 è A3 è ïðàâèëàõ R2 è R3 ñóùåñòâåííû (áåç íèõ â èñ÷èñëåíèè ñòàíóò âûâîäèìûìè íåîáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû). 2. Äîêàæèòå òåîðåìó î äåäóêöèè: åñëè T òåîðèÿ, A çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, à B ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà, òî T ∪ {A} ` B ⇐⇒ T ` (A → B). Òåîðåìà üäåëÿ î ïîëíîòå (â ñëàáîé ôîðìå). Åñëè çàìêíóòàÿ ôîðìóëà îáùåçíà÷èìà (ò.å. èñòèííà âî âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ), òî îíà âûâîäèìà â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ. Òåîðåìà üäåëÿ î ïîëíîòå (â ñèëüíîé ôîðìå). Âñÿêàÿ íåïðîòèâîðå÷èâàÿ òåîðèÿ (ò.å. òåîðèÿ, èç êîòîðîé ñðåäñòâàìè èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ íåëüçÿ îäíîâðåìåííî âûâåñòè íåêîòîðóþ ôîðìóëó è å¼ îòðèöàíèå) èìååò ìîäåëü. Áîëåå òîãî, â ñèëó òåîðåìû ˼âåíãåéìà Ñêîëåìà â ñëó÷àå êîíå÷íîé èëè ñ÷¼òíîé ñèãíàòóðû ìîæíî ïîñòðîèòü íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíóþ ìîäåëü. 3. à) Âûâåäèòå èç òåîðåìû üäåëÿ î ïîëíîòå â ñèëüíîé ôîðìå òåîðåìó üäåëÿ î ïîëíîòå â ñëàáîé ôîðìå. á) Âûâåäèòå òåîðåìó üäåëÿ î ïîëíîòå â ñèëüíîé ôîðìå èç òåîðåìû üäåëÿ î ïîëíîòå â ñëàáîé ôîðìå è òåîðåìû î êîìïàêòíîñòè (ñì. ïðåäûäóùèé ëèñòîê). â) Âûâåäèòå èç òåîðåìû üäåëÿ î ïîëíîòå (â ñèëüíîé ôîðìå) ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè âî âñåõ ìîäåëÿõ òåîðèè T èñòèííà ôîðìóëà A, òî îíà âûâîäèìà èç T . (êîðîòêî ýòî çàïèñûâàþò òàê: T A ⇒ T ` A). Âåðíî ëè îáðàòíîå? 4. Âûâîäèìû ëè â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ôîðìóëû: à) (∀x (A → B)∧∃x A) → ∃x B ; á) ∃x A → ∀x A; â) ∃x ∀y A → ∀y ∃x A; ã) ∀y ∃x A → ∃x ∀y A? 5. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè T ` (A → B), òî T ` (∃x A → ∃x B). 6. Ïóñòü òåîðèè T1 è T2 â íåêîòîðîé ñèãíàòóðå òàêîâû, ÷òî òåîðèÿ T1 ∪T2 ïðîòèâîðå÷èâà. Äîêàæèòå, ÷òî íàéä¼òñÿ òàêàÿ ôîðìóëà A, ÷òî T1 ` A è T2 ` ¬A. Ïîëíûå òåîðèè Íàçîâ¼ì íåïðîòèâîðå÷èâóþ òåîðèþ T ïîëíîé, åñëè äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A ëèáî T ` A, ëèáî T ` ¬A. 7. à) Äîêàæèòå, ÷òî ïîëíàÿ òåîðèÿ îáëàäàåò äèçúþíêòèâíûì ñâîéñòâîì: åñëè T ` B ∨ C , òî T ` B èëè T ` C . á) Ñóùåñòâóþò ëè íåïîëíûå òåîðèè, îáëàäàþùèå äèçúþíêòèâíûì ñâîéñòâîì? 8. à) Äîêàæèòå, ÷òî âñå ìîäåëè ïîëíîé òåîðèè ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû. á) Âåðíî ëè îáðàòíîå? 9. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñÿêîé íåïðîòèâîðå÷èâîé òåîðèè T ñóùåñòâóåò ïîëíàÿ òåîðèÿ T 0 , âêëþ÷àþùàÿ â ñåáÿ T . 10. à) Ïðèçíàê Ëîñÿ Âîîòà. Ïóñòü òåîðèÿ T â êîíå÷íîé èëè ñ÷¼òíîé ñèãíàòóðå íå èìååò êîíå÷íûõ ìîäåëåé è êàòåãîðè÷íà â ñ÷¼òíîé ìîùíîñòè (ò.å. âñå å¼ ñ÷¼òíûå ìîäåëè èçîìîðôíû). Äîêàæèòå, ÷òî T ïîëíà. á) Ïîêàæèòå, ÷òî óñëîâèå îòñóòñòâèÿ êîíå÷íûõ ìîäåëåé â ýòîé òåîðåìå ñóùåñòâåííî. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó h<, =i è ïóñòü òåîðèÿ DLO ñîñòîèò èç àêñèîì èððåôëåêñèâíîñòè, òðàíçèòèâíîñòè, ëèíåéíîñòè, ïëîòíîñòè (∀x∀y (x < y → ∃z (x < z ∧ z < y))) è íåîãðàíè÷åííîñòè â îáå ñòîðîíû (∀x∃y∃z(y < x ∧ x < z)). Òåîðåìà Êàíòîðà. Òåîðèÿ DLO êàòåãîðè÷íà â ñ÷¼òíîé ìîùíîñòè. 11. ßâëÿþòñÿ ëè èíòåðïðåòàöèè hQ, <i è hR, <i ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíûìè? 12. Çàìåíèì àêñèîìó íåîãðàíè÷åííîñòè â îáå ñòîðîíû àêñèîìàìè íåîãðàíè÷åííîñòè âïðàâî è ñóùåñòâîâàíèÿ íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà. Áóäåò ëè ïîëó÷åííàÿ òåîðèÿ ïîëíîé? Ëèñòîê 6. Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà Ìîäàëüíûå ôîðìóëû ñòðîÿòñÿ èç ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ (Var = {p, q, r, . . .}) ïðè ïîìîùè êëàññè÷åñêèõ ñâÿçîê (∧, ∨, →, ¬) è äîïîëíèòåëüíîé îäíîìåñòíîé ñâÿçêè . Ñâÿçêà ♦ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñîêðàù¼ííàÿ çàïèñü êîìáèíàöèè ¬¬. Øêàëà Êðèïêå åñòü îðèåíòèðîâàííûé ãðàô hW, Ri, ãäå W íåïóñòîå ìíîæåñòâî (åãî ýëåìåíòû íàçûâàþòñÿ ¾ìèðàìè¿), à R ⊆ W × W ïðîèçâîëüíîå áèíàðíîå îòíîøåíèå íà W , íàçûâàåìîå îòíîøåíèåì äîñòèæèìîñòè. Óòâåðæäåíèå hx, yi ∈ R ìû áóäåì çàïèñûâàòü êàê xRy è èíîãäà ïðîèçíîñèòü êàê ¾ìèð x âèäèò ìèð y ¿. Èíòåðïðåòàöèåé (îöåíêîé) ïåðåìåííûõ â äàííîé øêàëå Êðèïêå íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ θ : W × Var → {0, 1} (â êàæäîì ìèðå èñòèííîñòü ïåðåìåííûõ îïðåäåëÿåòñÿ íåçàâèñèìî). Èñòèííîñòü ñëîæíûõ ôîðìóë â äàííîì ìèðå îïðåäåëÿåòñÿ èíäóêöèåé ïî èõ ïîñòðîåíèþ. Ñëó÷àé êëàññè÷åñêèõ ñâÿçîê ðàçáèðàåòñÿ ïî òàáëèöàì èñòèííîñòè. Ôîðìóëà A èñòèííà â ìèðå u òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âî âñåõ âèäèìûõ èç ìèðà u ìèðàõ èñòèííà ôîðìóëà v (u A ⇐⇒ (∀v) (uRv ⇒ v A)). Èç îïðåäåëåíèé ñðàçó ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî u ♦A ⇐⇒ (∃v) (uRv è v A). Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ îáùåçíà÷èìîé â øêàëå hW, Ri, åñëè îíà èñòèííà âî âñåõ ìèðàõ ïðè âñåõ âîçìîæíûõ îöåíêàõ ïåðåìåííûõ. 1. Ðàññìîòðèì øêàëó Êðèïêå hZ, <i (¾ìèðû¿ öåëûå ÷èñëà, ìèð n ¾âèäèò¿ ìèð m â òî÷íîñòè òîãäà, êîãäà n < m). Îïðåäåëèì èíòåðïðåòàöèþ ïåðåìåííûõ p è q ñëåäóþùèì îáðàçîì: â ìèðå n èñòèííà ïåðåìåííàÿ p òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n ÷¼òíî; â ìèðå n èñòèííà ïåðåìåííàÿ q òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n > 0.  êàêèõ òî÷êàõ ïîëó÷åííîé ìîäåëè âåðíû ôîðìóëû: à) ♦q ∧ ♦p; á) ♦(p ∧ ¬q) ∨ q ? â) Ïîñòðîéòå ìîäàëüíóþ ôîðìóëó, èñòèííóþ âî âñåõ ìèðàõ, êðîìå ìèðà −1. 2. Îáùåçíà÷èìà ëè ôîðìóëà (p → p) → (♦p → p) â øêàëå à) hN, <i; á) hZ, <i; â) hQ, <i? 3. Äëÿ êàæäîé èç ñëåäóþùèõ ôîðìóë îïèøèòå êëàññ øêàë Êðèïêå, â êîòîðûõ ýòà ôîðìóëà îáùåçíà÷èìà: à) p; á) ♦(p ∨ ¬p); â) ♦p → ♦p; ã) ♦p → p; ä) p → ♦p; å) (p → p) → p. 4. Íàïèøèòå ìîäàëüíóþ ôîðìóëó, îáùåçíà÷èìóþ â òî÷íîñòè â òåõ øêàëàõ Êðèïêå, â êîòîðûõ à) èç êàæäîãî ìèðà äîñòèæèìû íå áîëåå n ìèðîâ; á) äëèíà ìàêñèìàëüíîãî ïóòè íå áîëüøå n. 5. Ñóùåñòâóåò ëè êîíå÷íàÿ øêàëà Êðèïêå, â êîòîðîé îáùåçíà÷èìû â òî÷íîñòè âñå ôîðìóëû, îáùåçíà÷èìûå âî âñåõ øêàëàõ Êðèïêå? Ëèñòîê 7à. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ I Âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ ýòî ôóíêöèÿ, âû÷èñëÿåìàÿ íåêîòîðûì àëãîðèòìîì. Çàìåòèì, ÷òî âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà íå âñþäó: íà íåêîòîðûõ âõîäíûõ äàííûõ àëãîðèòì ìîæåò ¾çàâèñíóòü¿. Ïîíÿòèå àëãîðèòìà ìîæíî ôîðìàëèçîâûâàòü ìíîãèìè ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè; îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå îíè ïðèâîäÿò ê îäíîìó è òîìó æå êëàññó âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé. Ýòî óòâåðæäåíèå (íàçûâàåìîå èíîãäà òåçèñîì ×¼ð÷à) íå ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ äîêàçàíî êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðåìà (ïîñêîëüêó êâàíòîð ¾äëÿ âñåõ ðàçóìíûõ ôîðìàëèçàöèé ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà¿ íåìàòåìàòè÷åñêèé), îäíàêî äëÿ äâóõ êîíêðåòíûõ ôîðìàëèçàöèé ýêâèâàëåíòíîñòü ìîæåò áûòü ïðîâåðåíà íåïîñðåäñòâåííî. Ðàçðåøèìîå ìíîæåñòâî ýòî ìíîæåñòâî, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîòîðîãî âû÷èñëèìà. Ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî ýòî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íåêîòîðîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè. Âñÿêîå ðàçðåøèìîå ìíîæåñòâî ïåðå÷èñëèìî. Îáðàòíîå íåâåðíî, íî ïðèìåð ìû ïîñòðîèì ïîçæå. 1. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà A ðàâíîñèëüíû: (1) A ïåðå÷èñëèìî; (2) A åñòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè; (3) A ëèáî ïóñòî, ëèáî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé íåêîòîðîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè. 2. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f âû÷èñëèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ ãðàôèê (ìíîæåñòâî Γf = {hx, f (x)i | x ∈ D(f )}) ïåðå÷èñëèì. 3. Äîêàæèòå òåîðåìó Ïîñòà: ìíîæåñòâî A ⊆ N ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîæåñòâà A è N − A ïåðå÷èñëèìû. 4. Âñþäó îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ f : N → N íåóáûâàåò (ò. å. åñëè m > n, òî f (m) > f (n)) è âû÷èñëèìà. Äîêàæèòå, ÷òî å¼ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ðàçðåøèìî. Âåðíî ëè, ÷òî âñÿêîå íåïóñòîå ðàçðåøèìîå ìíîæåñòâî A ⊆ N ìîæíî çàäàòü òàêèì îáðàçîì? 5. Ðàçðåøèìî ëè ìíîæåñòâî à) {n ∈ N | (∃p > n) p è p + 2 ïðîñòûå}; á) {x ∈ Q | x < e} ðàçðåøèìî? 6. Ìíîæåñòâî F ⊆ N × N òàêîâî, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ìíîæåñòâà Fn(1) = {m | hn, mi ∈ F } è (2) Fn = {m | hm, ni ∈ F } ðàçðåøèìû. Âñåãäà ëè ðàçðåøèìî ñàìî ìíîæåñòâî F ? 7. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå áåñêîíå÷íîå ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî A ⊆ N ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ðàçðåøèìîå ïîäìíîæåñòâî. Ëèñòîê 7á. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ II Ïóñòü âñå àëãîðèòìû çàíóìåðîâàíû íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè è ïóñòü ñîîòâåòñòâóþùèå èì âû÷èñëèìûå ôóíêöèè (èç N â N) ñóòü g0 , g1 , g2 , . . . . Óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ F : N × N → N òàêîâà, ÷òî F (n, m) = gn (m). Ïðè ïîäõîäÿùåé íóìåðàöèè àëãîðèòìîâ ñàìà ôóíêöèÿ F òàêæå âû÷èñëèìà. Êðîìå òîãî, ìû ïîòðåáóåì, ÷òîáû íàøà óíèâåðñàëüíàÿ ôóíêöèÿ áûëà ãëàâíîé, ò. å. äëÿ ëþáîé äâóìåñòíîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè G ñóùåñòâóåò âñþäó îïðåäåë¼ííàÿ îäíîìåñòíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ s, äëÿ êîòîðîé G(n, m) = F (s(n), m). 1. à) Ïóñòü çàäàíà ãëàâíàÿ óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ F . Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ c : N × N → N, ÷òî äëÿ âñåõ m è n âåðíî gc(m,n) = gm ◦ gn (çíàê ¾◦¿ îçíà÷àåò êîìïîçèöèþ ôóíêöèé). á) Âåðíî ëè ýòî äëÿ íåãëàâíîé F ? 2. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ ( F (n, n) + 1, åñëè F (n, n) îïðåäåëåíî; f0 (n) = íå îïð. èíà÷å. Äîêàæèòå, ÷òî f0 ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëèìîé ôóíêöèåé, îäíàêî íå èìååò âñþäó îïðåäåë¼ííîãî âû÷èñëèìîãî ïðîäîëæåíèÿ (ò. å. íå ñóùåñòâóåò òàêîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè f : N → N, òàêîé ÷òî f |D(f0 ) = f0 ). 3. Ïóñòü f0 âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ, íå èìåþùàÿ âñþäó îïðåäåë¼ííîãî âû÷èñëèìîãî ïðîäîëæåíèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî å¼ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì, íî íå ðàçðåøèìûì ìíîæåñòâîì. 4. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà X, Y ⊆ N, êîòîðûå íå îòäåëÿþòñÿ íèêàêèì ðàçðåøèìûì ìíîæåñòâîì (ò. å. íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ðàçðåøèìîãî Z ⊆ N, ÷òî X ⊆ Z è Y ∩ Z = ∅). á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñ÷¼òíîå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ, íèêàêèå äâà èç êîòîðûõ íåëüçÿ îòäåëèòü äðóã îò äðóãà ðàçðåøèìûì ìíîæåñòâîì. 5. Äîêàæèòå òåîðåìó Óñïåíñêîãî Ðàéñà: ïóñòü K íåòðèâèàëüíîå ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé (ò. å. íåïóñòîå è íå ñîâïàäàþùåå ñ ìíîæåñòâîì âñåõ âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé). Òîãäà ìíîæåñòâî {n | gn ∈ K} íåðàçðåøèìî. 6. Ðàçðåøèìî ëè ìíîæåñòâî {hn1 , n2 i | gn1 è gn2 îäíà è òà æå ôóíêöèÿ}? 7. Ìîæåò ëè êàêàÿ-íèáóäü âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ âñòðåòèòüñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè g0 , g1 , g2 , . . . êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç? 8. Íåêîòîðîå ìíîæåñòâî S íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ðàçðåøèìî. Ðàçëîæèì âñå ÷èñëà èç S íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è ñîñòàâèì ìíîæåñòâî D èç âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë, âñòðå÷àþùèõñÿ â ýòèõ ðàçëîæåíèÿõ. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ìíîæåñòâî D ðàçðåøèìî? Ðàçðåøèìûå è ïåðå÷èñëèìûå òåîðèè Ïóñòü T ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ ôîðìóë (òåîðèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà) â íåêîòîðîé ñèãíàòóðå. Ïîëîæèì [T ] = {ϕ | T ` ϕ} ìíîæåñòâî òåîðåì òåîðèè T (à ñàìî ìíîæåñòâî T òîãäà ìîæíî íàçâàòü àêñèîìàòèçàöèåé ìíîæåñòâà [T ]). Òàêæå [T ] íàçûâàåòñÿ äåäóêòèâíûì çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà T . Òåîðèÿ T íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé (ïåðå÷èñëèìîé), åñëè ðàçðåøèìî (ñîîòâåòñòâåííî, ïåðå÷èñëèìî) ìíîæåñòâî [T ]. Òåîðèÿ T íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìî (ïåðå÷èñëèìî) àêñèîìàòèçèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ðàçðåøèìîå (ñîîòâåòñòâåííî, ïåðå÷èñëèìîå) ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ ôîðìóë T 0 , òàêîå, ÷òî [T 0 ] = [T ]. 9. à) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ ïåðå÷èñëèìî àêñèîìàòèçèðóåìàÿ òåîðèÿ ïåðå÷èñëèìà. á) Òðþê Êðåéãà. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ ïåðå÷èñëèìàÿ òåîðèÿ ðàçðåøèìî àêñèîìàòèçèðóåìà. 10. Ðàçðåøèìà ëè òåîðèÿ à) DLO (òåîðèÿ ïëîòíûõ ëèíåéíûõ ïîðÿäêîâ áåç ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî ýëåìåíòîâ); á) Th(R; +, ·, =, <, 0, 1) (ìíîæåñòâî âñåõ ôîðìóë ñèãíàòóðû h+, ·, =, <, 0, 1i, èñòèííûõ ïðè åñòåñòâåííîé èíòåðïðåòàöèè íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë)? 11. Ïîñòðîéòå ðàçðåøèìî àêñèîìàòèçèðóåìóþ è ïðè ýòîì íåðàçðåøèìóþ òåîðèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà (â íåêîòîðîé ñèãíàòóðå).