Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2015 Ñåìèíàð 17: ìàøèíû Òüþðèíãà Ìàøèíîé Òüþðèíãà íàçûâàåòñÿ êîðòåæ hΣ, Γ, Q, q1 , q0 , δi, ãäå Σ, Γ è Q ñóòü êîíå÷íûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà, ïðè÷¼ì Σ ⊂ Γ è Γ ∩ Q = ∅, q0, q1 ∈ Q, q0 6= q1, à δ : (Q \ {q0 }) × Γ → Q × Γ × {L, N, R}. Σ íàçûâàåòñÿ âõîäíûì àëôàâèòîì, Γ ëåíòî÷íûì àëôàâèòîì, Q ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé, à q1 è q0 íà÷àëüíûì è çàâåðøàþùèì ñîñòîÿíèÿìè ñîîòâåòñòâåííî. Ôóíêöèþ ïåðåõîäà δ çàïèñûâàþò â ôîðìå ñïèñêà êîìàíä âèäà qiaj → qr asD. (Òàê êàê ýòî ôóíêöèÿ, îïðåäåë¼ííàÿ íà (Q \ {q0}) × Γ, äëÿ êàæäîé ïàðû èç íåçàâåðøàþùåãî ñîñòîÿíèÿ è ñèìâîëà ëåíòî÷íîãî àëôàâèòà åñòü ðîâíî îäíà êîìàíäà). Ñðåäè ýëåìåíòîâ Γ âûäåëÿþò ñïåöèàëüíûé ñèìâîë # (áëàíê, ïðîáåë, ïóñòîé ñèìâîë, îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå êàê _, , ), íå âõîäÿùèé â ìíîæåñòâî Σ. Åñëè K êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ÷åðåç K ∗ îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ èç ýòîãî ìíîæåñòâà (ñëîâ â àëôàâèòå K ). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç íóëÿ ýëåìåíòîâ îáîçíà÷àåòñÿ ε (èëè Λ) è íàçûâàåòñÿ ïóñòûì ñëîâîì. Íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ êîíêàòåíàöèè (ïðèïèñûâàíèÿ), îáîçíà÷àåìàÿ ñèìâîëîì ·. ×àñòî ýòîò ñèìâîë îïóñêàåòñÿ, çàïèñü AB îçíà÷àåò êîíêàòåíàöèþ ñëîâ A è B . Ïîä çàïèñüþ An ïîíèìàåòñÿ êîíêàòåíàöèÿ n ýêçåìïëÿðîâ ñëîâà A. ◦ ×åìó ðàâíÿåòñÿ A0? A1? Êîíôèãóðàöèåé ìàøèíû Òüþðèíãà íàçûâàåòñÿ ñëîâî âèäà AqaB , ãäå A, B ∈ Γ∗ , a ∈ Γ, à q ∈ Q. ◦  êàêîì àëôàâèòå çàïèñûâàåòñÿ êîíôèãóðàöèÿ? ◦ Ïîêàæèòå, ÷òî ïî êîíôèãóðàöèè ìîæíî îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü A, q. a è B . Âû÷èñëåíèåì íà ìàøèíå Òüþðèíãà íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíôèãóðàöèé c1 , . . . , ck , â êîòîðîé ëþáûå äâå ñîñåäíèå êîíôèãóðàöèè cl è cl+1 ñîîòíîñÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè cl = Aqi aj B è â ïðîãðàììå âñòðå÷àåòñÿ êîìàíäà qi aj → qr as N , òî cl+1 = Aqr as B ; åñëè cl = Aqi aj B è â ïðîãðàììå âñòðå÷àåòñÿ êîìàíäà qi aj → qr as R, òî cl+1 = Aas qr B (åñëè B = ε, òî cl+1 = Aas qr #); åñëè cl = Aaqi aj B è â ïðîãðàììå âñòðå÷àåòñÿ êîìàíäà qi aj → qr as L, òî cl+1 = Aqr aas B (åñëè cl = qi aj B , òî cl+1 = qr #as B ). ◦ Ïîêàæèòå, ÷òî âû÷èñëåíèå ìîæíî ïîëíîñòüþ âîññòàíîâèòü, çíàÿ íà÷àëüíóþ êîíôèãóðàöèþ è ÷èñëî øàãîâ. Ïîêàæèòå, ÷òî âû÷èñëåíèå ìîæåò ñîäåðæàòü íå áîëåå îäíîé êîíôèãóðàöèè, ñîäåðæàùåé q0. Íåôîðìàëüíî ðàáîòà ìàøèíû Òüþðèíãà îïèñûâàåòñÿ òàê: èìååòñÿ áåñêîíå÷íàÿ ëåíòà, ðàçáèòàÿ íà ÿ÷åéêè.  êàæäîé ÿ÷åéêå çàïèñàí ñèìâîë èç Γ. Ó ìàøèíû èìååòñÿ êàðåòêà, â êàæäûé ìîìåíò óêàçûâàþùàÿ ðîâíî íà îäíó ÿ÷åéêó. Çà îäèí òàêò ìàøèíà ñ÷èòûâàåò ñèìâîë ñ ÿ÷åéêè, íà êîòîðóþ óêàçûâàåò, è â çàâèñèìîñòè îò âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ ïåðåõîäèò â íîâîå ñîñòîÿíèå, çàìåíÿåò ñîäåðæèìîå ÿ÷åéêè è ñäâèãàåòñÿ âëåâî, âïðàâî èëè îñòà¼òñÿ íà ìåñòå. Êîíôèãóðàöèÿ AqaB îçíà÷àåò, ÷òî ìàøèíà íàõîäèòñÿ 1 . 2 . 3 . 4 . 1 â ñîñòîÿíèè q, óêàçûâàåò íà ÿ÷åéêó ñ ñèìâîëîì a, ñëåâà îò ýòîé ÿ÷åéêè çàïèñàíî A, ñïðàâà B . à âñå îñòàëüíûå ÿ÷åéêè çàïîëíåíû #. Ìàøèíà âû÷èñëÿåò (÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííóþ) ôóíêöèþ f : Σ∗ → Σ∗, åñëè: a) Äëÿ âñåõ x, íà êîòîðûõ f îïðåäåëåíà, ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèå íà ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùååñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x è çàêàí÷èâàþùååñÿ êîíôèãóðàöèåé q0f (x); b) Äëÿ âñåõ x, íà êîòîðûõ f íå îïðåäåëåíà, íå ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèÿ íà ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùåãîñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x è çàêàí÷èâàþùåãîñÿ êîíôèãóðàöèåé, ñîäåðæàùåé q0. ◦ Ïîêàæèòå, ÷òî âòîðîå óñëîâèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó: Ñóùåñòâóåò ñêîëü óãîäíî äëèííîå âû÷èñëåíèå, íà÷èíàþùååñÿ ñ q1x . Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè: f (x) = x, f (x) = 0, íèãäå íå îïðåäåë¼ííóþ. Ïóñòü Σ = {1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè: f (1n) = 1n+1, f (1n) = 1n−1 , f (1n ) = 12n , f (1n ) = 1n . Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè: f (x) = xx, f (x) = xx̄, ãäå x̄ ñëîâî, ïîëó÷åííîå èç x ïðåâðàùåíèåì íóëåé â åäèíèöû è íàîáîðîò, f (x) = xxR , ãäå xR ñëîâî x, çàïèñàííîå çàäîì íàïåð¼ä. Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè: f (x) = 2x, f (x) = x + 1, f (x) = x − 1, ãäå x ïîíèìàåòñÿ êàê äâîè÷íàÿ çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. Ìàøèíà âû÷èñëÿåò (÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííóþ) ôóíêöèþ f : Σ∗ × Σ∗ → Σ∗, åñëè: a) Äëÿ âñåõ ïàð (x, y), íà êîòîðûõ f îïðåäåëåíà, ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèå íà ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùååñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x#y è çàêàí÷èâàþùååñÿ êîíôèãóðàöèåé q0 f (x, y); b) Äëÿ âñåõ ïàð (x, y), íà êîòîðûõ f íå îïðåäåëåíà, íå ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèÿ íà ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùåãîñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x#y è çàêàí÷èâàþùåãîñÿ êîíôèãóðàöèåé, ñîäåðæàùåé q0. Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, âû÷èñëÿþùèå ôóíêöèè f (x, y) = x + y, f (x, y) = x − y , ãäå x è y ïîíèìàþòñÿ êàê äâîè÷íûå çàïèñè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Îïèøèòå ìàøèíó, âû÷èñëÿþùóþ f (x, y) = xy (óìíîæåíèå ÷èñåë â äâîè÷íîé çàïèñè). Òàêæå ðàññìàòðèâàþò ðàñïîçíàþùèå (ðàçðåøàþùèå) ìàøèíû, ó êîòîðûõ âìåñòî îäíîãî çàâåðøàþùåãî ñîñòîÿíèÿ q0 åñòü äâà: ïðèíèìàþùåå qa è îòâåðãàþùåå qr . ◦ Äàéòå ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå òàêîé ìàøèíû êàê êîðòåæà. Ðàñïîçíàþùàÿ ìàøèíà ðàçðåøàåò ìíîæåñòâî A ⊂ Σ∗, åñëè: a) Äëÿ âñåõ x, ëåæàùèõ â A, ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèå íà ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùååñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x è çàêàí÷èâàþùååñÿ êîíôèãóðàöèåé, ñîäåðæàùåé qa; b) Äëÿ âñåõ x, íå ëåæàùèõ â A, ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèå íà ýòîé ìàøèíå, íà÷èíàþùååñÿ ñ êîíôèãóðàöèè q1x è çàêàí÷èâàþùååñÿ êîíôèãóðàöèåé, ñîäåðæàùåé qr . 5 . 6. 7. 2 8. 9. 10. 11. 12 . 2 Ïóñòü Σ = {1}. Îïèøèòå ìàøèíû, ðàñïîçíàþùèå ìíîæåñòâà: {1}, {1n | n...2}, {1n | n ∈ N}. Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíû, ðàñïîçíàþùèå ìíîæåñòâà: {0}, 0∗ = {0n | n ∈ N}, 0∗ 1∗ = {0n 1m | n, m ∈ N}, {0n 1n | n ∈ N}. Ïóñòü Σ = {0, 1}. Îïèøèòå ìàøèíó, ðàñïîçíàþùóþ ìíîæåñòâî ïàëèíäðîìîâ, ò.å. {x | x = xR}. ∗ Íàçîâ¼ì âðåìåíåì ðàáîòû ìàøèíû ìàêñèìàëüíóþ äëèíó âû÷èñëåíèÿ íà âõîäàõ äëèíû n. Äîêàæèòå, ÷òî íèêàêàÿ ìàøèíà, ðàñïîçíàþùàÿ ìíîæåñòâî ïàëèíäðîìîâ, íå ìîæåò ðàáîòàòü çà âðåìÿ o(n2). Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ âû÷èñëèìîé, åñëè å¼ âû÷èñëÿåò êàêàÿ-òî ìàøèíà Òüþðèíãà. Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè çàïðåòèòü ìàøèíå ñòîÿòü íà ìåñòå (ò.å. îãðàíè÷èòüñÿ ìàøèíàìè ñ ôóíêöèÿìè ïåðåõîäà âèäà δ : (Q \ {q0 }) × Σ → Q × Σ × {L, R}). Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè îãðàíè÷èòü ëåíòó ñ îäíîé ñòîðîíû. (Òåõíè÷åñêè ìîæíî äîáàâèòü ñëåâà ñïåöñèìâîë B, êîòîðûé íåëüçÿ ñòèðàòü è ñ êîòîðîãî íåëüçÿ äâèãàòüñÿ âëåâî). Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè ðàçðåøèòü ìàøèíå ðàáîòàòü íà íåñêîëüêèõ ëåíòàõ. (Íà êàæäîé ëåíòå ñâîÿ êàðåòêà, ñïîñîáíàÿ äâèãàòüñÿ íåçàâèñèìî îò äðóãèõ. Ôîðìàëèçóéòå òàêóþ ìàøèíó ñàìîñòîÿòåëüíî). Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè ìàøèíà ðàáîòàåò íå íà ëåíòå, à íà êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè. (Êàðåòêà îäíà, íî ìîæåò äâèãàòüñÿ â ëþáîì èç ÷åòûð¼õ íàïðàâëåíèé). Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè ðàçðåøèòü ìàøèíå ïðîèçâîëüíûå ñäâèãè (ò.å. ôóíêöèÿ ïåðåõîäà èìååò âèä δ : (Q \ {q0}) × Σ → Q × Σ × Z). ∗ Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè ðàçðåøèòü ìàøèíå ïðîèçâîëüíûé äîñòóï (random access). Ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå òàêîå: ó ìàøèíû åñòü äâå ëåíòû: àäðåñíàÿ è ðàáî÷àÿ, ñïåöèàëüíîå ñîñòîÿíèå qaccess, à òàêæå äâà ñïåöñèìâîëà W è R â ëåíòî÷íîì àëôàâèòå. Åñëè ìàøèíà îêàçûâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qaccess â êîíôèãóðàöèè bin(i)qaccessWσ íà àäðåñíîé ëåíòå (bin(i) äâîè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà i), òî ñèìâîë σ çàïèñûâàåòñÿ â ÿ÷åéêó ñ íîìåðîì i íà ðàáî÷åé ëåíòå. Åñëè ìàøèíà îêàçûâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè qaccess â êîíôèãóðàöèè bin(i)qaccessR íà àäðåñíîé ëåíòå, òî â ñëåäóþùóþ çà ñîäåðæàùåé R ÿ÷åéêó çàïèñûâàåòñÿ ñèìâîë èç ÿ÷åéêè ñ íîìåðîì i íà ðàáî÷åé ëåíòå. Ïóñòü ìàøèíå çàïðåùåíî ñòèðàòü ñèìâîëû (êðîìå #). Êàê ñëåäóåò îïðåäåëèòü âû÷èñëåíèå ôóíêöèè íà òàêîé ìàøèíå, ÷òîáû ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé íå èçìåíèëîñü? Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé óìåíüøèòñÿ, åñëè çàïðåòèòü ìàøèíå ñäâèãàòüñÿ âëåâî. (Óêàçàíèå: òàêàÿ ìàøèíà íå ìîæåò ðàñïîçíàòü ÿçûê {0n1n | b ∈ N}). Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ðàçðåøèòü ìàøèíå èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé, òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ ñòàíåò âû÷èñëèìîé. 13. 2 14. 15. 16 . 17. 18. 19. 20. 21. 22 . 23. 24. 25. 3