Àðèôìåòèêà ìíîãî÷ëåíîâ 1. Íàïèñàòü ñòðóêòóðíûé òèï äàííûõ ¾îäíî÷ëåí¿, ïðåäñòàâëÿþùèé îäíî÷ëåíû èç íå áîëåå ÷åì 26 ïåðåìåííûõ (ïåðåìåííûå ìàëåíüêèå ëàòèíñêèå áóêâû). Îí äîëæåí õðàíèòü ñòåïåíè êàæäîé ïåðåìåííîé, ñ êîòîðîé îíà âõîäèò â îäíî÷ëåí (ìàññèâ èç 26 öåëûõ ÷èñåë), à òàêæå åùå îäíî öåëîå ÷èñëî êîýôôèöèåíò ïðè îäíî÷ëåíå. Òàêæå íóæíî ðåàëèçîâàòü ôóíêöèè, âû÷èñëÿþùèå ïðîèçâåäåíèå è ÷àñòíîå îäíî÷ëåíîâ (ïîñêîëüêó äåëåíèå âîçìîæíî íå âñåãäà, íóæíà åùå ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ïðîâåðÿþùàÿ, ÷òî äåëåíèå âîçìîæíî), à òàêæå ïðîöåäóðû ÷òåíèÿ îäíî÷ëåíà ñ êëàâèàòóðû è ïå÷àòè åãî íà ýêðàí. 2. Íàïèñàòü ñòðóêòóðíûé òèï ¾ìíîãî÷ëåí¿, õðàíÿùèé ñïèñîê îäíî÷ëåíîâ (ñì. ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó). Òàêæå íóæíî ðåàëèçîâàòü ôóíêöèè, âû÷èñëÿþùèå ñóììó, ðàçíîñòü è ïðîèçâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ (ïîñëåäíÿÿ ôóíêöèÿ äîëæíà ðàñêðûâàòü ñêîáêè, ÷òîáû ïðèâåñòè ïðîèçâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ê âèäó ñóììû îäíî÷ëåíîâ), à òàêæå ïðîöåäóðû ÷òåíèÿ ìíîãî÷ëåíà ñ êëàâèàòóðû è ïå÷àòè åãî íà ýêðàí. Äëÿ äàëüíåéøåãî íàì ïîíàäîáèòñÿ ââåñòè îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå îäíî÷ëåíîâ, èëè, ïðàâèëüíåå ñêàçàòü, íà íàáîðàõ ñòåïåíåé ïåðåìåííûõ, ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíòû ïðè îäíî÷ëåíàõ íå ó÷àñòâóþò â ýòîì îòíîøåíèè ïîðÿäêà íèêàê. Íàáîð ñòåïåíåé ïåðåìåííûõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåêòîð èç 26 öåëûõ ÷èñåë. Íà òàêèõ íàáîðàõ ââîäèòñÿ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê: ìû èùåì ïåðâóþ êîîðäèíàòó, êîòîðàÿ ó ýòèõ âåêòîðîâ ðàçëè÷àåòñÿ, è ïîðÿäîê ìåæäó çíà÷åíèÿìè ýòîé êîîðäèíàòû îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê ìåæäó âåêòîðàìè. Íàïðèìåð, â ñìûñëå òîëüêî ÷òî îïðåäåëåííîãî îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà, x > y, ïîñêîëüêó ó âñåõ ïåðåìåííûõ äî x ñòåïåíè â îáîèõ îäíî÷ëåíàõ ñîâïàäàþò (è ðàâíû íóëþ), à ñòåïåíü x â ïåðâîì îäíî÷ëåíå (1) áîëüøå, ÷åì âî âòîðîì (0). 3. Íàïèñàòü ôóíêöèþ, ñðàâíèâàþùóþ îäíî÷ëåíû â ñîîòâåòñòâèè ñ òîëüêî ÷òî îïðåäåëåííûì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà. Îíà äîëæíà èìåòü äâà ïàðàìåòðà (ñðàâíèâàåìûå îäíî÷ëåíû), è öåëûé ðåçóëüòàò (−1, åñëè ïåðâûé îäíî÷ëåí ìåíüøå âòîðîãî, 0 ðàâåí, ò. å. îäíî÷ëåíû ìîãóò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòîì, è 1 áîëüøå). 4. Íàïèñàòü ïðîöåäóðó, ïðèâîäÿùóþ â ìíîãî÷ëåíå ïîäîáíûå ÷ëåíû. Îíà äîëæíà ñíà÷àëà óïîðÿäî÷èâàòü îäíî÷ëåíû, âõîäÿùèå â ñîñòàâ ìíîãî÷ëåíà, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, ïî óáûâàíèþ, à çàòåì, êîãäà îäíî÷ëåíû ñ îäèíàêîâûìè ñòåïåíÿìè ïåðåìåííûõ îêàæóòñÿ ðÿäîì â ñïèñêå, çàìåíÿòü èõ íà èõ ñóììó, ñêëàäûâàÿ êîýôôèöèåíòû. Ïîìèìî ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ýòà ïðîöåäóðà áóäåò óïîðÿäî÷èâàòü îäíî÷ëåíû ïî óáûâàíèþ, ÷òî î÷åíü ïðèãîäèòñÿ íàì â ïîñëåäóþùèõ çàäà÷àõ. 5. Íàïèñàòü ïðîöåäóðó äåëåíèÿ îäíîãî ìíîãî÷ëåíà íà äðóãîé. Îíà äîëæíà äåëàòü ñëåäóþùåå: áåðåì íàèáîëüøèé îäíî÷ëåí ïåðâîãî ìíîãî÷ëåíà è äåëèì åãî íà íàèáîëüøèé îäíî÷ëåí âòîðîãî. Åñëè òàêîå äåëåíèå íåâîçìîæíî, ðåçóëüòàò îòðèöàòåëüíûé ïåðâûé ìíîãî÷ëåí íå äåëèòñÿ íà âòîðîé. Åñëè æå îíî âîçìîæíî, òî äîáàâëÿåì P ðåçóëüòàò äåëåíèÿ íàèáîëüøèõ îäíî÷ëåíîâ ê òîìó ìíîãî÷ëåíó, â êîòîðîì ìû íàêàïëèâàåì ðåçóëüòàò äåëåíèÿ, è âû÷èòàåì èç äåëèìîãî ïðîèçâåäåíèå äåëèòåëÿ è P , ïîñëå ÷åãî ïîâòîðÿåì óêàçàííûå äåéñòâèÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò âûïîëíåíî îäíî èç óñëîâèé: ëèáî íà î÷åðåäíîì øàãå äåëåíèå íàèáîëüøèõ îäíî÷ëåíîâ íåâîçìîæíî, è òîãäà äåëèìîå íå äåëèòñÿ íà äåëèòåëü, ëèáî äåëèìîå îáíóëèòñÿ, è òîãäà ó íàñ áóäåò ñôîðìèðîâàíî ÷àñòíîå. Ìíîãî÷ëåí íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè îí íå ìåíÿåòñÿ îò ëþáîé ïåðåñòàíîâêè åãî ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, äëÿ äâóõ ïåðåìåííûõ ìíîãî÷ëåíû a + b è ab ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷åñêèìè, à a + 3b è a2 b íåò. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ n ìîæíî îïðåäåëèòü ñòàíäàðòíûé íàáîð èç n ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè, ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ i = 1, . . . , n i-é ýëåìåíòàðíûé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ei ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó âñåõ ïðîèçâåäåíèé ïåðåìåííûõ â íàáîðàõ ïî i øòóê. Íàïðèìåð, äëÿ òðåõ ïåðåìåííûõ ýëåìåíòàðíûìè ñèììåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè áóäóò e1 = a + b + c, e2 = ab + ac + bc è e3 = abc (âñå ýòè ìíîãî÷ëåíû âûïèñàíû â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ èõ îäíî÷ëåíîâ). Èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ çàìå÷àòåëüíàÿ òåîðåìà: âñÿêèé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ìíîãî÷ëåí îò ýëåìåíòàðíûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Íàïðèìåð, a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + ac + bc). Îäíî èç ñàìûõ ïðîñòûõ äîêàçàòåëüñòâ ýòîé òåîðåìû íåñêîëüêî íàïîìèíàåò àëãîðèòì äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ èç ïîñëåäíåé çàäà÷è è ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: áåðåì ñàìûé áîëüøîé îäíî÷ëåí â íàøåì ìíîãî÷ëåíå, ïóñòü ýòî áóäåò Cxn1 . . . xnk . Ïîñêîëüêó ó íàñ ìíîãî÷ëåí ñèììåòðè÷åñêèé, à îäíî÷ëåí íàèáîëüøèé, ìû îáÿçàòåëüíî áóäåì èìåòü n1 ≥ n2 ≥ . . . ≥ nk . Ïóñòü òåïåðü n1 = . . . = ni > ni +1 = . . . = ni > . . . > ni +1 = . . . = ni , ãäå is = k . Òîãäà åñëè âû÷åñòü èç èñõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà ïðîèçâåäåíèå Ceni −n ein −n . . . eni , òî â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì òàêæå ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, íî â íåì óæå ñàìûé áîëüøîé îäíî÷ëåí áóäåò ìåíüøå, ÷åì áûë â èñõîäíîì. Òàêèì îáðàçîì, ðàíî èëè ïîçäíî ìû ïðèäåì ê òîìó, ÷òî èñõîäíûé ìíîãî÷ëåí îáíóëèòñÿ. 6. Íàïèñàòü ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí è ÷èñëî n ïåðåìåííûõ â íåì, è âîçâðàùàþùèé äðóãîé ìíîãî÷ëåí òàêîé, ÷òî åñëè â íåãî ïîäñòàâèòü e1 âìåñòî ïåðâîé ïåðåìåííîé, e2 âìåñòî âòîðîé, . . ., en âìåñòî n-é, òî ïîëó÷èòñÿ òîò ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé áûë ïåðåäàí â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà. Íàïðèìåð, åñëè áûëè ïåðåäàíû ìíîãî÷ëåí a2 + b2 + c2 è ÷èñëî 3, òî âåðíóòü íàäî a2 − 2b (ñì. íà÷àëî ïðåäûäóùåãî àáçàöà). 1 1 i1 1 1 i2 2 i2 2 i3 s−1 is s s k