ÇÀÄÀ×ÍÈÊ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì: îäèíàêîâûì ÷èñëàì ñîîòâåòñòâóþò îäèíàêîâûå ñïóòíèêè, ðàçíûì ÷èñëàì ðàçíûå ñïóòíèêè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè, â ñîîòâåòñòâèè ñ íàøèì ïðåäïîëîæåíèåì, íå îêàçàëîñü îäèíàêîâûõ ÷èñåë, òî íå îêàæåòñÿ è îäèíàêîâûõ ñïóòíèêîâ. Îöåíèì ñâåðõó ñóììó âñåõ ñïóòíèêîâ, êîãäà ìîäóëè âñåõ ÷èñåë îêàçàëèñü áîëüøå 3. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ëèøü 4 êîìïëåêñíûõ ÷èñëà èìåþò ìîäóëü, ìåíüøèé 3: 1 + i, 1 + 2i, 2 + i, 2 + 2i. Ñóììà ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ñïóòíèêîâ ðàâíà 1 1 1 1 1 + + + = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 2 2 2 ⋅ 3 22 ⋅ 3 2 3 (ýòî çíà÷åíèå ïðèãîäèòñÿ ÷óòü ïîçæå).  ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ñïóòíèêè âñåõ íàïèñàííûõ íà äîñêå ÷èñåë 1 ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûìè äðîáÿìè âèäà a b , ïîýòîìó 2 ⋅3 èõ ñóììà çàâåäîìî ìåíüøå ñóììû âñåõ äðîáåé òàêîãî âèäà çà âû÷åòîì ñóììû ÷åòûðåõ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå 1 ñïóòíèêîâ. Íî ñóììà âñåõ äðîáåé âèäà a b , î÷åâèä2 ⋅3 íî, ðàâíà FG 1 + 1 H2 2 2 + 1 2 3 IJ FG 1 + 1 K H3 3 +K × 2 + 1 3 3 IJ K +K = 1 × 1 1 = , 2 2 1 1 1 ïîýòîìó ñóììà âñåõ ñïóòíèêîâ ìåíüøå − = . 2 3 6 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè ïðîâåäåíèè óêàçàííûõ â óñëîâèè îïåðàöèé ñóììà ñïóòíèêîâ íå èçìåíÿåòñÿ. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, íåîáõîäèìî âñåãî ëèøü ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâ: 1 1 = 2 × a +1 b , a b 2 ⋅3 2 ⋅3 1 1 1 1 = a +1 b + a b +1 + a +1 b +1 , a b 2 ⋅3 2 ⋅3 2 ⋅3 2 ⋅3 1 1 1 = 2 × a b +1 + 2 a +1 b +1 . a b 2 ⋅3 2 ⋅3 2 ⋅3 Ïåðâîíà÷àëüíî íà äîñêå áûëî åäèíñòâåííîå ÷èñëî 1 + i, 1 1 = . Ïîýòîìó è â äàëüíåéñïóòíèê êîòîðîãî ðàâåí 2⋅3 6 1 øåì ñóììà ñïóòíèêîâ äîëæíà îñòàòüñÿ ðàâíîé . Íî, 6 1 êàê óæå âûÿñíèëîñü, ýòà ñóììà ìåíüøå . Ïðîòèâîðå6 ÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå îá îòñóòñòâèè ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë äâóõ îäèíàêîâûõ íåâåðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäè ÷èñåë íåïðåìåííî èìåþòñÿ äâà îäèíàêîâûõ, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. È.Àêóëè÷, È.Âîðîíîâè÷ М1779. Íàéäèòå âñå ìíîãî÷ëåíû f à) òàêèå, ÷òî f x + f y = f x + y ; á) òàêèå, ÷òî af x = f 2001x , ãäå à íåêîòîðîå ÷èñëî; â) òàêèå, ÷òî bg b g af x + bf y = f cx + dy , ãäå a, b, c, d íåêîòîðûå ÷èñëà. (1) Ïóíêò à) ñëåäóåò èç ïóíêòà â), ïîýòîìó åãî îïóñòèì. bg a + b = 1 ïðè ëþáîì k; íèæå ìû áóäåì ñ÷èòàòü f x ≠ k . Âñþäó íèæå bg bg f x = an x n + K + a0 . á) Ðåøèì áîëåå îáùåå óðàâíåíèå bg b g af x = f cx , (2) èìåííî îíî ïîíàäîáèòñÿ íàì íèæå, ïðè ðåøåíèè â). n Ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè x â ëåâîé è ïðàâîé n ÷àñòÿõ (2); ïîëó÷èì a ⋅ an = an ⋅ c , èëè a = cn. Ïðè à = ñ = 0 ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ëþáîé ìíîãî÷ëåí f x áåç ñâîáîäíîãî ÷ëåíà: a0 = 0 ; ïðè à = ñ = 1 ëþáîé ìíîãî÷ëåí f x . Åñëè ñ = 1, òî ïðè à = 1 â êà÷åñòâå ðåøåíèé ïîëó÷àþòñÿ âñå ÷åòíûå, à ïðè à = = 1 âñå íå÷åòíûå ìíîãî÷ëåíû. Ïóñòü c ≠ 0 , c ≠ ±1 , è ïóñòü n > i ≥ 0 . Èìååì: a ⋅ ai = ai ⋅ c i . Ïðè ai ≠ 0 ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå: a = ci = c n . Ñëåäîâàòåëüíî, ai = 0 ïðè n > i ≥ 0 , è f x = kx n . â) Ðàññìîòðèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1) êàê ìíîãî÷ëåíû n îò õ è ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè x â ëåâîé è n ïðàâîé åãî ÷àñòÿõ. Ïîëó÷èì a = c ; àíàëîãè÷íî b = d n . Ïóñòü n = 1, à çíà÷èò, à = ñ è b = d. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí f t = kt + h , ãäå k ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿåò (1) ïðè h = 0, à â ñëó÷àå a + b = 1 è ïðè ëþáîì h. Ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àÿ n > 1 íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ Ëåììà. Åñëè bg bg bg bg b g b g n cn + d n = c + d , ãäå n > 1, (3) òî cd c + d = 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí bg b P x = x+c g n − x n − cn , ãäå c ≠ 0 , n > 1, íå ìîæåò èìåòü êîðíåé, îòëè÷íûõ îò 0 è ñ. Äîêàæåì ýòî. Ïðè ÷åòíîì n ïðîèçâîäíàÿ P ′ x íå èìååò êîðíåé, çíà÷èò, 0 îäèí-åäèíñòâåííûé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà P x . Ïðè íå÷åòíîì n ïðîèçâîäíàÿ èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü, çíà÷èò, 0 è ñ åäèíñòâåííûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà P x . Ëåììà äîêàçàíà. (Ìîæíî ðàññóæäàòü è ïî-äðóãîìó: âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ôóíêöèÿ bg b g FGH Qt =P t− bg bg IJ FG K H c c = t+ 2 2 IJ − FG t − c IJ K H 2K n n − cn = = qn −1t n −1 + qn − 3t n − 3 + K ïðè ÷åòíîì n ìîíîòîííà íà âñåé îñè, à ïðè íå÷åòíîì íà ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñÿõ.) Ðàññìîòðèì òåïåðü îáå ÷àñòè (1) êàê ìíîãî÷ëåíû îò t = x = y. Ðàññóæäàÿ êàê âûøå, ïîëó÷èì: bg bg b g bg b g bg 23 «ÊÂÀÍÒÀ» Ìíîãî÷ëåí f x = k ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïðè k = 0, à ïðè b g n a+b = c+d , à çíà÷èò, b g Ïî ëåììå îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî cdb c + d g = 0 . n cn + d n = c + d .  ñëó÷àÿõ ñ = 0 è d = 0 (1) ñâîäèòñÿ ê (2); ïóñòü c ≠ 0 ,