Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2012 Çàäà÷è ïðî ìîùíîñòè ìíîæåñòâ Åñëè A |A| îáîçíà÷èì ìíîæåñòâ A è B : êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ÷åðåç 1. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ êîíå÷íûõ êîëè÷åñòâî åãî ýëåìåíòîâ. A â B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| 6 |B|; A â B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| > |B|; ìåæäó A è B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| = |B|; a) Ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç b) Ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ èç c) Ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ B íàçûâàþòñÿ ðàâíîìîùíûìè, åñëè ∼ Îáîçíà÷åíèå: A = B . 2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A, B è C : Ìíîæåñòâà a) b) c) A A íå áîëåå ìîùíî, ÷åì Îáîçíà÷åíèå: b) c) A â B. B, åñëè A ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó A / B. 3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ a) ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç A∼ = A; Åñëè A ∼ = B , òî B ∼ = A; ∼ ∼ Åñëè A = B è B = C , òî A ∼ = C. Ãîâîðÿò, ÷òî B. è ∅/A A / A; Åñëè A / B è B / C, Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ òî A, B è C: A / C. ñ÷¼òíûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N. 4. Ïîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå íàéä¼òñÿ ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî. 5. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî. 6. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî è êîíå÷íîãî ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî. 7. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî. 8. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî. 9. Äîêàæèòå ñ÷¼òíîñòü ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ: a) ìíîæåñòâî ÷¼òíûõ ÷èñåë; b) c) Z; Q; d) ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç 0 è 1; e) ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; f) g) Z[x] (ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò x ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè); A (ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, ò.å. êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ ñ öèåíòàìè); 1 öåëûìè êîýôôè- h) Q[x1 , x2 , . . . ] (ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ); i) Ìíîæåñòâî ãðàôîâ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì âåðøèí. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíûì, åñëè îíî êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî. 10. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíû: a) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ íà ïðÿìîé; b) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ âîñüì¼ðîê íà ïëîñêîñòè (âîñüì¼ðêà îáúåäèíåíèå äâóõ êàñàþùèõñÿ âíåøíèì îáðàçîì îêðóæíîñòåé, îäíà âîñüì¼ðêà ìîæåò íàõîäèòüñÿ öåëèêîì âíóòðè äðóãîé); c) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ áóêâ Ò íà ïëîñêîñòè (ò.å. íàáîðîâ èç òð¼õ íåâûðîæäåííûõ îòðåçêîâ, èìåþùèõ îäèí îáùèé êîíåö è íèêàêèõ äðóãèõ îáùèõ òî÷åê); d) Ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïðîèçâîëüíîé ìîíîòîííîé ôóíêöèè. Ïóñòü èç A â AèB äâà ìíîæåñòâà. ×åðåç BA îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé B. 11. Ïóñòü A è B ñóòü êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç BA? n è k ýëåìåíòîâ ñîîòâåò- ñòâåííî. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â ∅A ? À â A∅ ? A 13. Ïóñòü A êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî B ìíîæåñòâî B |A| ðàâíîìîùíî B (äåêàðòîâîé ñòåïåíè). 14. Ïóñòü A, B è C ïðîèçâîëüíûå ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà. Äîêà12. Ïóñòü æèòå, ÷òî: a) b) c) AB × AC ∼ = AB∪C ; AC × B C ∼ = (A × B)C ; B C ∼ (A ) = AB×C . A / B , òî AC / B C è C A / C B . 16. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A áåñêîíå÷íî, à B íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíî, òî A ∪ B ∼ = A. Òåîðåìà ÊàíòîðàÁåðíøòåéíà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè A / B è B / A, òî A ∼ = B. 15. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè 17. Äîêàæèòå, ÷òî: a) Ëþáûå äâà îòðåçêà ðàâíîìîùíû; b) Ëþáûå äâà èíòåðâàëà ðàâíîìîùíû; c) Ëþáîé èíòåðâàë ðàâíîìîùåí ëþáîìó îòðåçêó; d) Ëþáîé ïðÿìîóãîëüíèê ðàâíîìîùåí ëþáîìó êðóãó. 18. Ïîñòðîéòå áèåêöèè ìåæäó ñëåäóþùèìè ïàðàìè ìíîæåñòâ: a) Îòðåçîê b) Îòðåçîê [0, 1] [0, 1] [0, 1); (0, 1); è ïîëóèíòåðâàë è èíòåðâàë 2 c) Èíòåðâàë d) R è {0, 1} (0, 1) N è R; (ò.å. ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 0 è 1). Ìíîæåñòâà, ðàâíîìîùíûå ìíîæåñòâó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàþòñÿ íûìè. êîíòèíóàëü- 19. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî èëè ñ÷¼òíîãî ÷èñëà êîíòèíóàëüíûõ ìíî- æåñòâ êîíòèíóàëüíî. 20. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà êîíòèíóàëüíû: a) b) c) d) ({0, 1}N )2 (ò.å. ìíîæåñòâî ïàð áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé [0, 1]2 ; R2 ; Rn äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî n > 0; 0 è 1); e) Ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè; f ) Ìíîæåñòâî âñåõ òðåóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè; NN ; g) h) Ìíîæåñòâî èíúåêòèâíûõ ôóíêöèé èç N â N; èõ N â N; i) Ìíîæåñòâî ñþðúåêòèâíûõ ôóíêöèé RN ; j) k) Ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé èç l) Ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé èç R â R; R â R. 21. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå êîíòèíóàëüíîãî ÷èñëà êîíòèíóàëüíûõ ìíîæåñòâî êîíòèíóàëüíî. 22. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâà 2R , NR è RR ðàâíîìîùíû è âñå áîëåå, ÷åì êîíòèíó- àëüíû. 23. Îïèøèòå â ÿâíîì âèäå áèåêöèè ìåæäó 3 2R è NR , à òàêæå ìåæäó 2R è RR .