24. Íà ðèñóíêå ñïðàâà ïîêàçàíû ÷åòûðå êíîïêè. Íà äâóõ èç íèõ èçîáðàæåíû âåñ¼ëûå ëèöà, à íà äâóõ äðóãèõ ãðóñòíûå. Åñëè íàæàòü íà ëþáóþ êíîïêó, òî âûðàæåíèå ëèöà íà íåé ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Áîëåå òîãî, êíîïêè, ñîñåäíèå ñ íàæàòîé, òàêæå ìåíÿþò âûðàæåíèå ëèöà íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Ïîñëå êàêîãî íàèìåíüøåãî ÷èñëà íàæàòèé íà äàííûå êíîïêè âñå ëèöà íà íèõ ìîãóò ñòàòü âåñ¼ëûìè? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Lietuvos Respublikos svietimo ir mokslo ministerija Keng uros organizavimo komitetas Leidykla TEV VU Matematikos ir informatikos fakultetas VU Matematikos ir informatikos institutas ÊÅÍÃÓÐÓ 2013 25. 40 ìàëü÷èêîâ è 28 äåâî÷åê ñòîÿò ïî êðóãó ëèöîì ê öåíòðó, âçÿâøèñü çà ðóêè. Ðîâíî 18 ìàëü÷èêîâ äåðæàò ïðàâîé ðóêîé ðóêó äåâî÷êè. Ñêîëüêî âñåãî ìàëü÷èêîâ äåðæàò ðóêó äåâî÷êè ëåâîé ðóêîé? A) 18 B) 9 C) 28 D) 14 E) 20 26. Ñêîëüêî òð¼õçíà÷íûõ ÷èñåë îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè èç äàííîãî ÷èñëà âû÷åñòü 297, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî, çàïèñàííîå òåìè æå öèôðàìè, ÷òî è èñõîäíîå, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå? A) 6 B) 7 C) 10 D) 60 E) 70 27. Ó Ïåòè èìåþòñÿ îäèíàêîâûå äåòàëè, èç êîòîðûõ ìîæ- íî ñîáèðàòü ìîäåëè æåëåçíîé äîðîãè. Èç 8 îäèíàêîâûõ äåòàëåé ìîæíî ñîáðàòü îêðóæíîñòü. Ïåòÿ ñëîæèë äâå äåòàëè òàê, êàê ïîêàçàíî â ïðàâîé ÷àñòè ðèñóíêà. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî òàêèõ äåòàëåé â ñîâîêóïíîñòè åìó ïîíàäîáèòñÿ, ÷òîáû ïîëó÷èòü çàìêíóòûé æåëåçíîäîðîæíûé ïóòü? A) 11 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16 28. Íà îñòðîâå 2013 æèòåëåé: ëæåöîâ (âñåãäà ëãóò) è ïðàâäèâûõ (âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâ- äó). Êàæäûé äåíü îäèí èç æèòåëåé ïîêèäàåò îñòðîâ è ïåðåä ýòèì ãîâîðèò: ¾Ïîñëå ìîåãî îòúåçäà ÷èñëî ëæåöîâ íà îñòðîâå ñòàíåò ðàâíûì ÷èñëó ïðàâäèâûõ¿. ×åðåç 2013 äíåé íà îñòðîâå íå îñòàëîñü íè îäíîãî æèòåëÿ. Ñêîëüêî ëæåöîâ áûëî íà îñòðîâå ïåðâîíà÷àëüíî? A) 0 B) 1006 C) 1007 D) 2013 E) Íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü. 29. Ïðîöåäóðà ¾ÑÓÌÌÛ¿ çàìåíÿåò òðîéêó ÷èñåë òðîéêîé èõ ïîïàðíûõ ñóìì. Íàïðè- ìåð, òðîéêó ÷èñåë 3, 4, 6 ïðîöåäóðà ¾ÑÓÌÌÛ¿ çàìåíÿåò íà òðîéêó 10, 9, 7, à çàòåì ýòó òðîéêó íà òðîéêó 16, 17, 19 è ò. ä. Íà÷í¼ì ïðèìåíÿòü ïðîöåäóðó ¾ÑÓÌÌÛ¿ ê òðîéêå ÷èñåë 20, 1, 3. Êàêîâà áóäåò íàèáîëüøàÿ ðàçíîñòü ìåæäó äâóìÿ èç òð¼õ ÷èñåë, ïîëó÷åííûõ ïîñëå 2013 ïðèìåíåíèé ýòîé ïðîöåäóðû? A) 1 B) 2 C) 17 D) 19 E) 2013 30. Ãðàíè êóáèêà ïðîíóìåðîâàíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà åãî ðàçâ¼ðòêå (ñì. ðèñ.). Àëèñà ñëîæèëà èç ÷åòûð¼õ òàêèõ êóáèêîâ áëîê, ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå, â êîòîðîì ñîñåäíèå êóáèêè ñîïðèêàñàþòñÿ ãðàíÿìè ñ îäèíàêîâûìè ÷èñëàìè. Êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò èìåòü ñóììà âñåõ ÷èñåë íà ïîâåðõíîñòè ïîñòðîåííîãî áëîêà? A) 66 B) 68 C) 72 D) 74 E) 76 c 2013 Keng uros konkurso organizavimo komitetas Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáîòû 75 ìèíóò Ïîëüçîâàòüñÿ êàëüêóëÿòîðàìè çàïðåùàåòñÿ Áàëîâíèê 5--6 êëàññû Çàäà÷è, îöåíèâàåìûå â 3 î÷êà 1.  ìàøèíó ñóììèðîâàíèÿ ââåëè ÷èñëà 2, 0, 1, 3 (ñì. ðèñ.). Êàêîâ áóäåò ðåçóëüòàò â êëåòêå, îòìå÷åííîé ñèìâîëîì ¾?¿? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 2. Íàòàøà ïîñòðîèëà èç êóáèêîâ ïüåäåñòàë (ñì. ïðàâûé ðèñ.). Ñêîëüêî êóáèêîâ åé åù¼ íóæíî äîáàâèòü, ÷òîáû ïîëó÷èëñÿ êóá (ñì. ëåâûé ðèñ.)? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 3. Òðîå ìàëü÷èêîâ âûøëè íà ïðîãóëêó. Çà âðåìÿ, ÷òî Ìèøà äåëàåò 9 øàãîâ, Äèìà äåëàåò 8 øàãîâ, à Æåíÿ 7 øàãîâ. Ìèøà äåëàåò 90 øàãîâ â ìèíóòó. Ñêîëüêî øàãîâ âñå ðåáÿòà âìåñòå ñäåëàëè âî âðåìÿ äåñÿòèìèíóòíîé ïðîãóëêè? A) 240 B) 2013 C) 2400 D) 2700 E) 900 4. Êîëÿ ó÷èòñÿ óïðàâëÿòü àâòîìîáèëåì. Ó íåãî óæå õîðî- øî ïîëó÷àþòñÿ ïîâîðîòû íàïðàâî, íî îí ñîâñåì íå óìeåò ïîâîðà÷èâàòü íàëåâî. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ïîâîðîòîâ (òîëüêî íàïðàâî) åìó íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïîïàñòü èç òî÷êè A (ñì. ñõåìó) â òî÷êó B ? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 5. Àíå, Áîðå è Âàëå âìåñòå 31 ãîä. Ñêîëüêî ëåò èì áóäåò âìåñòå ÷åðåç 3 ãîäà? A) 32 B) 34 C) 35 D) 37 E) 40 6. Ïåòÿ çàìàçàë òðè îäèíàêîâûå öèôðû â ïðàâèëüíîì ðàâåíñòâå · = 176. Êàêèå ýòî áûëè öèôðû? A) 6 B) 4 C) 7 D) 9 E) 8 7. Ìèøà äîëæåí ïðèíèìàòü ïî òàáëåòêå êàæäûå 15 ìèíóò. Îí ïðèíÿë ïåðâóþ òàá- ëåòêó â 11:05.  êàêîå âðåìÿ îí áóäåò ïðèíèìàòü ÷åòâ¼ðòóþ òàáëåòêó? A) 11:40 B) 11:50 C) 11:55 D) 12:00 E) 12:05 8. Àíÿ íà÷àëà êàòàòüñÿ íà âåëîñèïåäå â 13:30 è çàêîí÷èëà â 15:30 (ñì. ðèñ.). Êàêîå ïîëîæåíèå çàíèìàëà ìèíóòíàÿ ñòðåëêà íà ÷àñàõ â òîì ìîìåíò, êîãäà Àíÿ ïðîåõàëà ðîâíî òðåòü ïóòè, åñëè å¼ ñêîðîñòü íà âñ¼ì ïóòè áûëà ïîñòîÿííîé? A) B) C) D) E) 9. ×èñëî 36 äåëèòñÿ íà ñâîþ ïîñëåäíþþ öèôðó 6, à ÷èñëî 38 òàêèì ñâîéñòâîì íå îáëà- äàåò. Ñêîëüêî âñåãî ÷èñåë, áîëüøèõ 20, íî ìåíüøèõ 30, äåëÿòñÿ íà ñâîþ ïîñëåäíþþ öèôðó? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 10. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî òàêèõ ôèãóðîê, êàê íà ëåâîì ðè- ñóíêå, ìîæíî âûðåçàòü èç ëèñòà áóìàãè 4 × 5 (ñì. ïðàâûé ðèñ.), äåëàÿ ðàçðåçû òîëüêî ïî ñòîðîíàì êëåòîê? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çàäà÷è, îöåíèâàåìûå â 4 î÷êà 11. Íà îêðóæíîñòè îòìå÷åíî 10 òî÷åê (ñì. ðèñ.). Ñêîëüêî ìîæíî ïðî- âåñòè îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ äâå òî÷êè è íåïåðåñåêàþùèõ äèàìåòð AB ? A) 10 B) 20 C) 21 D) 25 E) 15 12. Ìàøà íàðèñîâàëà íà êâàäðàòíûõ ëèñòàõ áóìàãè øåñòü ôèãóð, ïîêàçàííûõ íà ðèñóíêå. Ñêîëüêî èç íèõ èìåþò òàêîé æå ïåðèìåòð, êàê ïåðèìåòð ëèñòà? 15. Íàðèñîâàâ íà ïëîñêîñòè äâå îêðóæíîñòè, ìîæíî ïîëó÷èòü 3 çà- ìêíóòûå îáëàñòè (ñì. ðèñ.). Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî çàìêíóòûõ îáëàñòåé ìîæíî ïîëó÷èòü, íàðèñîâàâ äâà êâàäðàòà? A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 16. Íà âûáîðàõ áûëî 36 èçáèðàòåëåé è 5 êàíäèäàòîâ. Êàæäûé èçáèðàòåëü ïðîãîëîñîâàë ðîâíî çà îäíîãî êàíäèäàòà. Íèêàêèå äâà êàíäèäàòà íå ïîëó÷èëè îäèíàêîâîãî ÷èñëà ãîëîñîâ. Ïîáåäèòåëü ïîëó÷èë 12 ãîëîñîâ, à àóòñàéäåð 4 ãîëîñà. Ñêîëüêî ãîëîñîâ ìîã ïîëó÷èòü êàíäèäàò, çàíÿâøèé âòîðîå ìåñòî? A) Òîëüêî 8 B) 8 èëè 9 C) Òîëüêî 9 D) 9 èëè 10 E) Òîëüêî 10 17. Èç êóáà ñ ðåáðîì 3 ñì âûðåçàëè óãëîâîé êóáèê ñ ðåáðîì 1 ñì, è ïîëó- ÷åííàÿ äåòàëü èìååò 9 ãðàíåé. Ñêîëüêî ãðàíåé áóäåò èìåòü äåòàëü, êîòîðàÿ ïîëó÷èòñÿ, åñëè èç äàííîãî êóáà âûðåçàòü âñå åäèíè÷íûå óãëîâûå êóáèêè? A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 36 18. Íàéäèòå ÷èñëî ïàð äâóçíà÷íûõ ÷èñåë, ðàçíîñòü êîòîðûõ ðàâíà 50. A) 40 B) 30 C) 50 D) 60 E) 10 19.  ôèíàëüíîì ìàò÷å õîêêåéíîãî ÷åìïèîíàòà áûëî çàáèòî ìíîãî ãîëîâ.  ïåðâîì ïåðèîäå áûëî çàáèòî 6 ãîëîâ, è êîìàíäà ãîñòåé ëèäèðîâàëà. Íî âî âòîðîì ïåðèîäå êîìàíäà õîçÿåâ çàáèëà 3 ãîëà è âûèãðàëà ìàò÷. Ñêîëüêî âñåãî ãîëîâ çàáèëà êîìàíäà õîçÿåâ â ìàò÷å? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 20.  êàæäóþ êëåòêó òàáëèöû 4 × 4 âïèñàíî ïî ÷èñëó òàê, ÷òî ÷èñëà â ñîñåäíèõ ïî ñòîðîíå êëåòêàõ îòëè÷àþòñÿ ðîâíî íà 1.  ëåâîì âåðõíåì óãëó âïèñàíî ÷èñëî 3, à òàêæå èçâåñòíî, ÷òî â îäíîé èç êëåòîê âïèñàíî ÷èñëî 9. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ðàçíûõ ÷èñåë ìîãëî áûòü âïèñàíî â òàáëèöó? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Çàäà÷è, îöåíèâàåìûå â 5 î÷êîâ A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 21. Ïåòÿ, Áîðÿ è Âàñÿ âñåãäà ëãóò. Ó êàæäîãî èç íèõ åñòü ÷åðíûé, èëè áåëûé êàìåøåê. E) 6 13. Æåíÿ ñîîðóäèë èç êóáèêîâ ñòðîåíèå. Íà ðèñóíêå ñïðàâà ïîêàçàí åãî âèä ñâåðõó, â êëåòêàõ óêàçàíî ÷èñëî êóáèêîâ, ñòîÿùèõ äðóã íà äðóãå íà äàííîé êëåòêå. ×òî âèäèò Æåíÿ, ãëÿäÿ íà ñòðîåíèå ñïåðåäè? Ïåòÿ ãîâîðèò: ¾Ìîé êàìåøåê òàêîãî æå öâåòà, êàê è ó Áîðè¿. Áîðÿ ãîâîðèò: ¾À ìîé êàìåøåê òàêîãî æå öâåòà, êàê ó Âàñè¿. À Âàñÿ ãîâîðèò: ¾Ðîâíî ó äâîèõ èç íàñ êàìåøêè ÷åðíûå¿. Êàêîå èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé âåðíî? A)Ó Ïåòè áåëûé êàìåøåê B)Ó Áîðè áåëûé êàìåøåê C)Ó Âàñè ÷åðíûé êàìåøåê D)Ó Ïåòè è Âàñè êàìåøêè ðàçíîãî öâåòà E)Óòâåðæäåíèÿ A−D íå âåðíû 22. 66 êîøåê ïðèíÿëè ó÷àñòèå â êîíêóðñå ¾Ìèññ Êýò 2013¿. Ïîñëå ïåðâîãî ðàóíäà 21 A) B) C) D) E) 14. Ìèøà ëîâèò ðûáó. Åñëè ó íåãî áóäåò â 3 ðàçà áîëüøå ðûáû, ÷åì îí óæå ïîéìàë, òî ó íåãî ñòàíåò íà 12 ðûáîê áîëüøå, ÷åì ñåé÷àñ. Ñêîëüêî ðûáîê Ìèøà ïîéìàë ê äàííîìó ìîìåíòó? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 èç íèõ âûáûëè èç êîíêóðñà, ïîòîìó ÷òî íå ñìîãëè ïîéìàòü ìûøü. 27 êîøåê èç òåõ, ÷òî ïðîäîëæèëè êîíêóðñ, èìåþò ïîëîñêó íà ëáó, à ó 32 èç íèõ îäíî óõî ÷¼ðíîå.  ôèíàë âûøëè â òî÷íîñòè âñå êîøêè ñ ïîëîñêîé íà ëáó è îäíèì ÷¼ðíûì óõîì. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî êîøåê ìîãëî áûòü â ôèíàëå? A) 5 B) 7 C) 13 D) 14 E) 27 23. Îëÿ ñúåëà êóñîê ïëèòêè øîêîëàäà, òîãäà Àëÿ ñúåëà ÷åòâ¼ðòóþ ÷àñòü îñòàâøåãîñÿ êóñêà. Âìåñòå îíè ñúåëè ïîëîâèíó ïëèòêè. Êàêóþ ÷àñòü ïëèòêè ñúåëà Àëÿ? A) 1 2 B) 1 5 C) 1 6 D) 1 8 E) 1 12