Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ÷àñòî îáëåã÷àåò ðåøåíèå çàäà÷è è ïîìîãàåò óâèäåòü êëþ÷åâóþ èäåþ.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ìíîãèå øêîëüíèêè äîïóñêàþò îøèáêó, èñïîëüçóÿ ãðàôèê êàê åäèíñòâåííîå îáîñíîâàíèå ðåøåíèÿ: ¾Ïîñòðîèì ãðàôèê. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî...¿ è âñ¼. Ðàç èç ãðàôèêà âèäíî, çíà÷èò òàê è åñòü. È áûâàþò óäèâëåíû, êîãäà òàêîå ðåøåíèå çàñ÷èòûâàåòñÿ íå â ïîëíûé áàëë. Äåëî â òîì, ÷òî ãðàôèê ìîæåò êàê ïîäñêàçàòü, òàê è îáìàíóòü. Îñîáåííî ãðàôèê, ïîñòðîåííûé â ñïåøêå îò ðóêè, áåç ó÷¼òà íþàíñîâ è îñîáåííîñòåé ôóíêöèé.  ýòîé ñòàòüå ìû âíà÷àëå ïîêàæåì òðè ïðèìåðà, êîãäà íåòî÷íî ïîñòðîåííûé ãðàôèê ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáî÷íûì âûâîäàì, à çàòåì ðàçáåð¼ì, êàêèå äîïîëíèòåëüíûå ðàññóæäåíèÿ ïîìîãàþò èçáåãàòü òàêèõ îøèáîê. Îøèáêè Ïðèìåð 1. Íà÷í¼ì ñ ðàññìîòðåíèÿ ïðèìåðà, íàèëó÷øèì îáðàçîì èëëþñòðèðóþùåãî ñêàçàííîå âûøå. Íàéòè êîëè÷åñòâî êîðíåé óðàâíåíèÿ: log1/16 x = 16−x . Ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè ýòî óðàâíåíèå íå ðåøàåòñÿ. Ðàññìîòðèì ãðàôè÷åñêèé ïîäõîä. Çäåñü è äàëåå ÿ ñîçíàòåëüíî ïîìèìî òî÷íûõ êîìïüþòåðíûõ ãðàôèêîâ áóäó ïðèâîäèòü êàðòèíêè ãðàôèêîâ, íàðèñîâàííûõ ¾îò ðóêè¿. Âåäü èìåííî íà òàêèõ ãðàôèêàõ (íàðèñîâàííûõ â ñïåøêå â óñëîâèÿõ ýêçàìåíà) ñëó÷àþòñÿ îøèáêè. Íà ïðàâèëüíîì êîìïüþòåðíîì ãðàôèêå îøèáêè áûòü íå ìîæåò. Èòàê, ðèñóåì ãðàôèêè ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé óðàâíåíèÿ (ñì. ðèñóíîê 1, ñèíèì öâåòîì ãðàôèê ëåâîé ÷àñòè, êðàñíûì ãðàôèê ïðàâîé ÷àñòè): Ãðàôèêè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, ó óðàâíåíèÿ îäèí êîðåíü. Êàçàëîñü áû âñ¼ î÷åâèäíî, æåëåçîáåòîííî, è êàêèå ìîãóò áûòü òóò ñîìíåíèÿ. Îáà ãðàôèêà âûãëÿäÿò èìåííî òàê, êàê íàðèñîâàíî, âñå àñèìïòîòû ó÷òåíû... 1 Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí +79265460671 Òåïåðü òå æå äâà ãðàôèêà, ïîñòðîåííûå â êîìüþòåðå: www.UnderMath.ru Íà èíòåðâàëå (0.2, 0.6) ãðàôèêè íàñòîëüêî áëèçêî ïðèëåãàþò äðóã ê äðóãó, ÷òî ïî ðèñóíêó ñîâåðøåííî íåâîçìîæíî ñêàçàòü, ñêîëüêî òàì íà ñàìîì äåëå òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ. ¾Íó î÷åâèäíî æå, ðàç ñèíèé ãðàôèê áûë ñâåðõó, à ïîòîì ñòàë ñíèçó, çíà÷èò âñ¼ ðàâíî îäíà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ¿ ñêàæåò èçëèøíå ñàìîóâåðåííûé ÷èòàòåëü. Ïîïðîáóåì åìó âîçðàçèòü: ñèíèé ãðàôèê ìîã ïåðåñå÷üñÿ ñ êðàñíûì, îêàçàòüñÿ ñíèçó, çàòåì ñíîâà ïåðåñå÷üñÿ è îêàçàòüñÿ ñâåðõó, è â òðåòèé ðàç ïåðåñå÷üñÿ, ñíîâà îêàçàâøèñü ñíèçó. Ýòî âñ¼ ìîãëî ïðîèñõîäèòü íà óêàçàííîì èíòåðâàëå. Ðèñóíîê ýòîìó íå ïðîòèâîðå÷èò. - ¾Íå âåðþ¿ - ïðîäîëæàåò óïîðñòâîâàòü ÷èòàòåëü, - ¾ýòî êàêîå-òî ñëèøêîì íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå ãðàôèêîâ, òàê íå áûâàåò. Íàâåðíÿêà òàì îäíî ïåðåñå÷åíèå.¿ Îäêàçûâàåòñÿ áûâàåò. Âîîáùå â ìàòåìàòèêå âñ¼ áûâàåò. Ó ýòîãî óðàâíåíèÿ òðè êîðíÿ: x = 1/4, x = 1/2 (ïðîâåðüòå ïîäñòàíîâêîé), è x ≈ 0.364... Ñðàçó îòìå÷ó: íàéòè ýòè òðè êîðíÿ ¾ïî-÷åñòíîìó¿ íèêàê íåëüçÿ. Áîëåå òîãî, òðåòèé êîðåíü âîîáùå íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñòàíäàðòíûå ôóíêöèè è ìîæåò áûòü íàéäåí òîëüêî ïðèáëèæ¼ííî. Ñåé÷àñ ðå÷ü íå î òîì, êàê ðåøàòü ýòî óðàâíåíèå (îíî îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì íåðåøàáåëüíûì óðàâíåíèÿì), à î òîì, ÷òî ãðàôèê îêàçàëñÿ îáìàí÷èâûì è ïðèâ¼ë ê íåïðàâèëüíîìó îòâåòó. 2 Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí +79265460671 www.UnderMath.ru Ïðèìåð 2. (Òðåíèðîâî÷íûé ÅÃÝ, 2010) Íàéòè âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðûõ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà √ 5 − x + |x + a| ≤ 3 ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê. Òàêèå çàäà÷è ñòàíäàðòíî ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ãðàôèêîâ. Ïåðåíåñ¼ì ìîäóëü âïðàâî, ÷òîáû áûëî óäîáíåå: √ 5 − x ≤ 3 − |x + a|, ïîñëå ÷åãî ñòðîèì ãðàôèê ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè. Ãðàôèê ïðàâîé ÷àñòè ïåðåâ¼ðíóòàÿ ¾ãàëî÷êà¿, êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ âëåâî-âïðàâî ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà. Ãðàôèê ëåâîé ÷àñòè ñòàíäàðòíûé ãðàôèê êîðíÿ, òîëüêî îòðàæ¼ííûé è ñäâèíóòûé íà 5 åäèíèö âïðàâî: Ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ýòî ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì êîðåíü íèæå ìîäóëÿ. Èç ðèñóíêà âèäèì, ÷òî äëÿ ïåðâîãî (ñàìîãî ëåâîãî) ãðàôèêà ó íåðàâåíñòâà âîîáùå íåò ðåøåíèé, äëÿ âòîðîãî è òðåòüåãî ãðàôèêîâ ìíîæåñòâî ðåøåíèé îòðåçîê (âûäåëåí çåë¼íûì öâåòîì), äëÿ ÷åòâ¼ðòîãî ãðàôèêà ðåøåíèé îïÿòü-òàêè íåò. Ò.å. ïîä óñëîâèå çàäà÷è ïîäõîäÿò âòîðîé è òðåòèé ãðàôèêè, è íå ïîäõîäÿò ïåðâûé è ÷åòâåðòûé. Äâèãàÿ ìîäóëü òóäà-ñþäà, âèäèì, ÷òî íàì ïîäõîäÿò âñå ïîëîæåíèÿ ãðàôèêà ìåæäó êðàéíèì ïðàâûì è êðàéíèì ëåâûì, êîãäà ãðàôèêè èìåþò ïî îäíîé îáùåé òî÷êå: 3 Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí +79265460671 www.UnderMath.ru Êðàéíåå ïðàâîå ïîëîæåíèå ñîîòâåòñòâóåò a = −8, êðàéíåå ëåâîå ïîëîæåíèå a = 4. (Êàê ïîëó÷åíû ýòè ÷èñëà, ñåé÷àñ íåâàæíî).  èòîãå ïîëó÷àåì îòâåò a ∈ (−8, 4). Êîãäà ÿ ïðîâîæó çàíÿòèÿ ñî øêîëüíèêàìè è ìû ðåøàåì ýòó çàäà÷ó, ïîëîâèíà øêîëüíèêîâ íà äàííîì ýòàïå ñ÷èòàþò çàäà÷ó ðåø¼ííîé. Íî ÿ îáðàùàþ âíèìàíèå íà îäèí ìîìåíò: íà ðèñóíêå 3 âòîðîé ãðàôèê ìîäóëÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ãðàôèêîì êîðíÿ â äâóõ òî÷êàõ, à òðåòèé â îäíîé. Ýòî äâå ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûå ñèòóàöèè, è êîãäà òàêîå âîçíèêàåò, íóæíî îñîáîå âíèìàíèå îáðàùàòü íà ïåðåõîäíûå ìîìåíòû: êîãäà ãðàôèê âòîðîãî òèïà (ñ äâóìÿ ïåðåñå÷åíèÿìè) ïåðåõîäèò â ãðàôèê òðåòüåãî òèïà. Äàâàéòå ïîñìîòðèì ýòîò ìîìåíò âíèìàòåëüíî. Íà ðèñóíêå 5 ïîñåðåäèíå èçîáðàæ¼í ñëó÷àé, êîãäà âåòâü ìîäóëÿ ïðîõîäèò ÷åðåç êîíöåâóþ òî÷êó ãðàôèêà êîðíÿ, à ñëåâà è ñïðàâà áëèçêèå ê ýòîìó ïîëîæåíèÿ ãðàôèêà. Âèäèì, ÷òî îïÿòü-òàêè íè÷åãî îñîáåííîãî, íà âñåõ òð¼õ ðèñóíêàõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé îòðåçîê (âûäåëåí çåë¼íûì öâåòîì). Òàêèì îáðàçîì âíèìàòåëüíîå èçó÷åíèå ãðàôèêîâ ïîêàçàëî, ÷òî: åñëè ìîäóëü î÷åíü äàëåêî ñïðàâà, òî ðåøåíèé ó íåðàâåíñòâà íåò, åñëè ìîäóëü è êîðåíü ïåðåñåêàþòñÿ, òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé âñåãäà îòðåçîê, åñëè ìîäóëü äàëåêî ñëåâà, òî ðåøåíèé ó íåðàâåíñòâà íåò. Òàêèì îáðàçîì îòâåò ê çàäà÷å a ∈ (−8, 4) ïðàâèëüíûé, êàêèõ ëèáî íþàíñîâ èëè ëîâóøåê íå îáíàðóæåíî, çàäà÷à ðåøåíà. Ïðèâåä¼ííûå âûøå ãðàôèêè íå ìîÿ âûäóìêà, à ðåàëüíî âçÿòû èç ðàáîò øêîëüíèêîâ.  ÷àñòíîñòè íà ìîèõ çàíÿòèÿõ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ÿ íàáëþäàþ èìåííî òàêèå ðèñóíêè ó÷åíèêîâ ïî ýòîé çàäà÷å. Ïðîøó ÷èòàòåëÿ åù¼ ðàç ïåðåñìîòðåòü âñå ðèñóíêè è ðàññóæäåíèÿ. Òî÷íî ëè âñ¼ õîðîøî? Íåò ëè êàêèõ-íèáóäü ñîìíèòåëüíûõ ìîìîåíòîâ? Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê âñ¼ âûãëÿäèò íà ñàìîì äåëå. Íà ðèñóíêå íèæå ïîêàçàí ãðàôèê ïðè a = 2.15, ïîñòðîåííûé ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà: 4 Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí +79265460671 www.UnderMath.ru Âèäèì, ÷òî ìíîæåñòâîì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ÿâëÿþòñÿ äâà îòðåçêà. Âòîðîé îòðåçîê åäâà çàìåòåí, ïîýòîìó ïîêàæåì åãî â óâåëè÷åííîì ìàñøòàáå: Òàêèì îáðàçîì çíà÷åíèå a = −2.15 íå ïîäõîäèò è äîëæíî áûòü èñêëþ÷åíî èç îòâåòà. Èíòåðâàë íåïîäõîäÿùèõ a íà÷èíàåòñÿ îò ìîìåíòà êàñàíèÿ ãðàôèêîâ è äî ìîìåíòà ïðîõîæäåíèÿ ãðàôèêà ÷åðåç âåðøèíó (ðèñ. 8). 5 Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí +79265460671 www.UnderMath.ru Âû÷èñëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ a è èñêëþ÷àÿ èõ èç îòâåòà, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíûé îòâåò a ∈ (−8, −2.25] ∪ (−2, 4). ß íå ïðèâîæó çäåñü ýòè âû÷èñëåíèÿ, ò.ê. îíè íå îòíîñÿòñÿ ê òåìå ñòàòüè. Ïðèìåð 3. (ÅÃÝ-2012) Íàéòè âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå 5 − 3 = ax − 2 x íà ïðîìåæóòêå (0; +∞) èìååò áîëåå äâóõ êîðíåé. Çäåñü âñ¼ ïîõîæå íà ïðåäûäóùèé ñëó÷àé. Ñòðîèì ãðàôèêè ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé (ðèñ.9). Ãðàôèê ëåâîé ÷àñòè (ñèíèé) ãèïåðáîëà, ñäâèíóòàÿ âíèç è îòðàæ¼ííàÿ. Ãðàôèê ïðàâîé ÷àñòè (êðàñíûé) ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0, −2). Ïðè èçìåíåíèè a ïðÿìàÿ âðàùàåòñÿ âîêðóã ýòîé òî÷êè. Íà ðèñóíêå ïîêàçàíû ÷åòûðå ïðÿìûå ïðè ÷åòûð¼õ ðàçëè÷íûõ a. Ïîñêîëüêó èùóòñÿ êîðíè òîëüêî íà ïðîìåæóòêå (0; +∞), ãðàôèêè ïîñòðîåíû òîæå òîëüêî íà ýòîì ïðîìåæóòêå. Íóæíî, ÷òîáû áûëî áîëåå äâóõ ïåðåñå÷åíèé ó ïðÿìîé è ãðàôèêà. È ìû âèäèì ïî ðèñóíêó, ÷òî òàêîãî íå áóäåò íèêîãäà: ïðè ëþáîì a òîëüêî îäíî ïåðåñå÷åíèå, èëè âîîáùå íåò ïåðåñå÷åíèé (åñëè a ≤ 0). Èòàê, îòâåò, êîòîðûé ìîæíî äàòü ïî ãðàôèêó ïóñòîå ìíîæåñòâî. Èñêîìûõ a íå ñóùåñòâóåò. Óïðàæíåíèå 0.1. Âû óæå äîãàäûâàåòåñü ïî îïûòó ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ, ÷òî îòâåò íåïðàâèëüíûé è ñ ãðàôèêàìè ÷òî-òî íå òî. Ïîïðîáóéòå ñàìè ïîíÿòü, ÷òî èìåííî. Òåïåðü ñìîòðèì, ÷òî íà ñàìîì äåëå. 6 Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí +79265460671 www.UnderMath.ru Âèäèì, ÷òî â òî÷êå èçëîìà ãðàôèê ãèïåðáîëû èä¼ò áîëåå êðóòî ââåðõ, ÷åì íà ãðàôèêàõ, ïîñòðîåííûõ îò ðóêè. È ïðîõîäèò íå ïîä ïðÿìîé, à ñëåãêà íàä íåé. Íà ðèñóíêå 11 ôðàãìåíò ãðàôèêà â óâåëè÷åííîì ìàñøòàáå. 7 Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí +79265460671 www.UnderMath.ru Ïðè a = 6/5 ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó èçëîìà, à ïðè a = 5/4 êàñàåòñÿ ãèïåðáîëû (ðèñ. 12). Èíòåðâàë ìåæäó ýòèìè çíà÷åíèÿìè è áóäåò îòâåòîì: a ∈ (6/5, 5/4). Èçáåãàíèå îøèáîê ¾È êàêîé îòñþäà âûâîä? Âû ïðåäëàãàåòå íîñèòü ñ ñîáîé íà ýêçàìåí êîìïüþòåð?¿ ñïðîñèò ÷èòàòåëü. Íåò, íå ïðåäëàãàþ. Íî êàê ãîâîðèòñÿ, ïðåäóïðåæä¼í çíà÷èò âîîðóæ¼í. Ðàññìîòðèì åù¼ ðàç âñå òðè ïðèìåðà è âûÿñíèì, ìîæíî ëè èçáåæàòü îøèáîê, íå ïîëüçóÿñü êîìïüþòåðîì.  ïðèìåðå 2 êëþ÷åâîé ìîìåíò êîãäà ïðàâàÿ âåòâü ìîäóëÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî ãðàôèêà êîðíÿ. Íà ãðàôèêå, íàðèñîâàííîì îò ðóêè, êîðåíü îêàçàëñÿ ïîä ìîäóëåì, à íà ãðàôèêå, íàðèñîâàííîì íà êîìïüþòåðå íàä. Åù¼ ðàç ïîêàæåì ïðàâèëüíîå è íåïðàâèëüíîå ïîñòðîåíèå ãðàôèêà íà îäíîì ðèñóíêå: 8 Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí +79265460671 www.UnderMath.ru Êàê ìîæíî èõ ðàçëè÷èòü áåç êîìïüþòåðà? Äëÿ ýòîãî íóæíî âñïîìíèòü, ÷òî ñêîðîñòü ðîñòà ãðàôèêà â òî÷êå (îíà æå óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé) âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðàâîé âåòâè ìîäóëÿ ðàâåí −1. Åñëè áû ãðàôèê êîðíÿ âûãëÿäåë êàê íàðèñîâàíî îò ðóêè íà ðèñ. 13, óãëîâîé êîýôôèöèåíò åãî áûë áû ïî ìîäóëþ ìåíüøå 1 (ò.å. â èíòåðâàëå (-1, 0)), ïîòîìó ÷òî ýòîò ãðàôèê áîëåå ïîëîãèé, ÷åì ïðÿìàÿ. Îäíàêî âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíóþ êîðíÿ: √ 0 1 , 5−x =− √ 2 5−x è âèäèì, ÷òî â òî÷êå 5 ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò: çíàìåíàòåëü ðàâåí íóëþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè ïðîõîäèò âåðòèêàëüíî (óãëîâîé êîýôôèöèåíò ðàâåí +∞), è ãðàôèê èä¼ò êðóòî ââåðõ, êðó÷å ÷åì ëþáàÿ íàêëîííàÿ ïðÿìàÿ, ïðîâåä¼ííàÿ ÷åðåç åãî êîíåö. Íà ðèñóíêå êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ïîêàçàíà ÷¼ðíûì ïóíêòèðîì. Ïîõîæàÿ ñèòóàöèÿ â ïðèìåðå 3. Íà ðèñóíêå 14 ïîêàçàíû: çåë¼íûì öâåòîì ãðàôèê ëåâîé ÷àñòè (ãèïåðáîëà), ïîñòðîåííûé â êîìïüþòåðå, ñèíèì öâåòîì òîò æå ãðàôèê (ñïðàâà îò òî÷êè èçëîìà), ïîñòðîåííûé îò ðóêè, êðàñíûì öâåòîì ïðÿìîÿ y = ax − 2, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó èçëîìà. 9 Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí +79265460671 www.UnderMath.ru Âîïðîñ: êàê áåç êîìïüþòåðà îïðåäåëèòü, ÷òî ïðàâèëüíûé ãðàôèê çåë¼íûé, à íå ñèíèé? Êîîðäèíàòû òî÷êè èçëîìà ãèïåðáîëû: (5/3, 0). Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó èçëîìà ãèïåðáîëû è òî÷êó (0, −2), ðàâåí 6/5 (åñëè âû íå ïîíèìàåòå, îòêóäà âçÿëîñü ýòî ÷èñëî, ïðî÷èòàéòå òåìó ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ). Óðàâíåíèå, çàäàþùåå ãèïåðáîëó ñïðàâà îò òî÷êè èçëîìà: y = 3 − x5 (ìîäóëü ðàñêðûâàåòñÿ ñ ìèíóñîì). Âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíóþ: y0 = x5 , y0(5/3) = 9/5 > 6/5. Ò.å. íàêëîí ãèïåðáîëû â òî÷êå èçëîìà áîëüøå, ÷åì íàêëîí ïðÿìîé, ïîýòîìó ãèïåðáîëà ïðîõîäèò íàä ïðÿìîé. Äëÿ íàãëÿäíîñòè íà òîì æå ðèñóíêå 14 ïîêàçàíà (÷¼ðíûì ïóíêòèðîì) êàñàòåëüíàÿ ê ãèáåðáîëå â òî÷êå èçëîìà. Íàêîíåö â ïðèìåðå 1... À âîò çäåñü ñëîæíåå. Îïðåäåëèòü âðó÷íóþ, êàê çäåñü ïðîõîäÿò ãðàôèêè, íåâîçìîæíî. Òîëüêî íà êîìïüþòåðå. Ýòî èëëþñòðàòèâíûé ïðèìåð, êîòîðûé íå ìîæåò âñòðåòèòüñÿ íè íà êàêîì ýêçàìåíå èëè îëèìïèàäå.  çàêëþ÷åíèå çàìå÷ó, ÷òî äàæå åñëè âû ðåøàåòå çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ ãðàôèêà è ðåøèëè ïðàâèëüíî, ò.å. ïîëó÷èëè âåðíûé îòâåò, òîëüêî ãðàôè÷åñêîå îáîñíîâàíèå âñ¼ ðàâíî ìîæåò áûòü çàñ÷èòàíî íå ïîëíîñòüþ. Ïîòîìó ÷òî â ýòîì ïðàâèëüíîì îòâåòå åñòü äîëÿ ñëó÷àéíîñòè: âàì ïðîñòî ïîâåçëî. Ïîñòðîéòå âû ãðàôèê ÷óòü èíà÷å è îòâåò ïîëó÷èëñÿ áû äðóãèì. Ïîýòîìó âñåãäà â ñîìíèòåëüíûõ ðàññóæäåíèÿõ ñ ãðàôèêàìè íóæíî ïðèâîäèòü îáîñíîâàíèÿ, ïî÷åìó ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ áóäåò èìåííî òàêèì. 2 10