Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ÃÓ) Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìåòîäû îïòèìèçàöèè, âåñíà 2014 Ñåìèíàð 8, ïîèñê ðàâíîâåñèé Íýøà Áèìàòðè÷íîé èãðîé íàçûâàåòñÿ ïàðà ìàòðèö (A, B) ðàçìåðà m×n. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èãðîêè îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî âûáèðàþò i ∈ {1, . . . , n} è j ∈ {1, . . . , m}, çàòåì ïåðâûé èãðîê âûèãðûâàåò Aij , à âòîðîé Bij . Ãîâîðÿò, ÷òî ñòðàòåãèÿ i ñëàáî äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ i0, åñëè ïðè âñåõ j âûïîëíåíî Aij > Ai j . Åñëè íåðàâåíñòâî ñòðîãîå, òî äîìèíèðîâàíèå íàçûâàåòñÿ ñèëüíûì. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ äîìèíèðîâàíèå äëÿ ñòðàòåãèé âòîðîãî èãðîêà. Ñòðàòåãèÿ íàçûâàåòñÿ äîìèíèðóþùåé, åñëè îíà äîìèíèðóåò âñå îñòàëüíûå, è äîìèíèðóåìîé, åñëè îíà äîìèíèðóåòñÿ êàêîé-òî. ßâëÿåòñÿ ëè îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì? Åñëè ó îäíîãî èç èãðîêîâ èìååòñÿ ñèëüíî äîìèíèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ, òî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îí å¼ èñïîëüçîâàòü íå áóäåò. Ïîñëå âû÷¼ðêèâàíèÿ ýòîé ñòðàòåãèè èç îáåèõ ìàòðèö ó äðóãîãî èãðîêà ìîæåò ïîÿâèòüñÿ äîìèíèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ. Îíà òîæå âû÷¼ðêèâàåòñÿ, è òàê äàëåå. Åñëè â ðåçóëüòàòå îñòà¼òñÿ ðîâíî îäèí èñõîä, òî îí íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì èãðû ïî èòåðàòèâíîìó äîìèíèðîâàíèþ. Íàéäèòå ðåøåíèå ïî èòåðàòèâíîìó äîìèíèðîâàíèþ â ñëåäóþùèõ èãðàõ (ïåðâûé èãðîê âûáèðàåò ñòðîêó, âòîðîé ñòîëáåö, ïåðâîå ÷èñëî â êëåòêå âûèãðûø ïåðâîãî, âòîðîå âûèãðûø âòîðîãî): 0 1. 2. a) b) U C D U D L 2, 3 1, 1 L 3, 3 4, 1 2, 2 R 4, 1 2, 3 M 2, 5 0, 6 1, 3 R 5, 4 2, 7 1, 4 Äâå êóðèöû ïðîäàþò ÿéöà íà ðûíêå, îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî ïðèíèìàÿ ðåøåíèå, ñêîëüêî ÿèö ïðèíåñòè. Ñíåñòè îäíî ÿéöî ñòîèò 5 ðóáëåé. Åñëè îáùåå êîëè÷åñòâî ÿèö íà ðûíêå ðàâíî q, òî öåíà óñòàíàâëèâàåòñÿ â ðàçìåðå max{30 − q2, 0}. Êóðèöû ìàêñèìèçèðóþò ïðèáûëü. Íàéäèòå ðåøåíèå ïî èòåðàòèâíîìó äîìèíèðîâàíèþ. Ðàâíîâåñèåì Íýøà (÷èñòûì) íàçûâàåòñÿ ïàðà ñòðàòåãèé (i, j), òàêàÿ ÷òî ïðè âñåõ i0 âûïîëíåíî Aij > Ai j , à ïðè âñåõ j 0 âûïîëíåíî Bij > Bij . Òàêèì îáðàçîì, íè îäíîìó èãðîêó íå âûãîäíî â îäíîñòîðîííåì ïîðÿäêå ìåíÿòü ñòðàòåãèþ. Äîêàæèòå, ÷òî ðåøåíèå ïî èòåðàòèâíîìó äîìèíèðîâàíèþ ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì Íýøà. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè èñêëþ÷àþòñÿ òîëüêî ñèëüíî äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè, òî ðåøåíèå ïî èòåðàòèâíîìó äîìèíèðîâàíèþ áóäåò åäèíñòâåííûì ðàâíîâåñèåì. Íàéäèòå âñå ðàâíîâåñèÿ Íýøà â ñëåäóþùåé èãðå. Ïðîêîììåíòèðóéòå. 3. 0 0 4. 5. U D L 1, 0 1, 1 R 0, 0 0, 1 Íàéäèòå âñå ðàâíîâåñèÿ Íýøà â ñëåäóþùåé èãðå. Âåðíî ëè, ÷òî ñëàáî äîìèíèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â ðàâíîâåñèè? 6. U D L 0, 0 1, 1 R 0, 0 0, 0 Ñìåøàííûì ðàñøèðåíèåì èãðû (A, B) íàçûâàåòñÿ èãðà, â êîòîðîé èãðîêè âûáèðàþò ñìåøàííûå ñòðàòåãèè, ò.å. âåðîÿòíîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ íà ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ. Åñëè ïåðâûé èãðîê âûáðàë σ ∈ ∆n, à âòîðîé τ ∈ ∆m, òî âûèãðûø ïåðâîãî èãðîêà ñîñòàâèò σ T Aτ , à âûèãðûø âòîðîãî σ T Bτ . Ïîêàæèòå, ÷òî òàê îïðåäåë¼ííûå âûèãðûøè èìåþò ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. Ñìåøàííûì ðàâíîâåñèåì Íýøà íàçûâàåòñÿ ïàðà (σ̂, τ̂ ), òàêàÿ ÷òî ïðè âñåõ σ ∈ ∆n âåðíî σ̂TAτ̂ > σTAτ̂ è ïðè âñåõ τ ∈ ∆m âåðíî σ̂TB τ̂ > σ̂TBτ . Íîñèòåëåì ñìåøàííîé ñòðàòåãèè σ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî supp σ = {i | σi > 0}. Äîêàæèòå, ÷òî ïàðà (σ̂, τ̂ ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè âñåõ i, i0 ∈ supp σ̂ âûïîëíåíî (Aτ̂ )i = (Aτ̂ )i è ïðè âñåõ i ∈ supp σ̂, i0 6∈ supp σ̂ âûïîëíåíî (Aτ̂ )i > (Aτ̂ )i , à òàêæå àíàëîãè÷íîå óñëîâèå äëÿ âòîðîãî èãðîêà. Èíà÷å ãîâîðÿ, âñå ñòðàòåãèè, êîòîðûå èãðàþòñÿ ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, ïðèíîñÿò îäèíàêîâûé âûèãðûø, ïðè÷¼ì íå ìåíüøèé, ÷åì òå, êîòîðûå íå èãðàþòñÿ. Íàéäèòå âñå ÷èñòûå è ñìåøàííûå ðàâíîâåñèÿ â èãðàõ: 7. 8. 0 0 9. a) b) U D L 2, 7 4, 2 R 3, 4 1, 5 U D L 4, 2 6, 5 R 3, 4 0, 3 Åñëè ó ïåðâîãî èãðîêà âñåãî 2 ñòðàòåãèè, òî èñêàòü ðàâíîâåñèÿ óäîáíî íà ãðàôèêåñòàêàíå . Ïî ãîðèçîíòàëüíîé îñè îòêëàäûâàåòñÿ ñòðàòåãèÿ ïåðâîãî èãðîêà (îíà çàäà¼òñÿ òî÷êîé èç îòðåçêà [0, 1]), ïî âåðòèêàëüíîé âûèãðûø âòîðîãî èãðîêà. Äàëåå äëÿ êàæäîé ñòðàòåãèè âòîðîãî èãðîêà ðèñóåòñÿ ãðàôèê âûèãðûøà îò ýòîé ñòðàòåãèè (ýòî ïðÿìàÿ ëèíèÿ). Ó ïîëó÷åííîé êàðòèíû áåð¼òñÿ âåðõíÿÿ îãèáàþùàÿ (ýòî ëîìàíàÿ). Òî÷êè èçëîìà ýòîé ëîìàíîé (âêëþ÷àÿ êðàÿ) ïðåòåíäåíòû íà ðàâíîâåñèÿ. Ïðè ýòîì åñëè â òî÷êå èçëîìà ïåðåñåêëèñü ãðàôèêè, ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðàòåãèÿì j1 è j2, òî íóæíî èñêàòü ðàâíîâåñèå ñ íîñèòåëÿìè {j1, j2} ó âòîðîãî èãðîêà è {1, 2} ó ïåðâîãî.  êðàéíèõ òî÷êàõ âîçìîæíû ÷èñòûå ðàâíîâåñèÿ. Íàéäèòå âñå ÷èñòûå è ñìåøàííûå ðàâíîâåñèÿ â ñëåäóþùèõ èãðàõ: 10. a) b) c) U D L 1, 4 2, 3 M 6, 5 5, 1 R 5, 0 7, 4 U D L 3, 3 2, 5 M 6, 4 5, 4 R 5, 6 7, 3 U D L 1, 4 2, 3 M 6, 3 5, 4 R 5, 0 7, 5