ÍÈÓ Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè Òåîðèÿ èãð (Ä. À. 2011/2012 ó÷åáíûé ãîä Äàãàåâ, À. Â. Ìèõàéëîâè÷, Ê. È. Ñîíèí, È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ ) Ëåêöèÿ 3. 4. Èãðû â íîðìàëüíîé ôîðìå Íà ïåðâîé ëåêöèè ìû äàëè ôîðìàëüíûé ñïîñîá îïèñàíèÿ èãðû. Êîãäà çàäàíî ìíîæåñòâî èãðîêîâ, ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ñòðàòåãèé êàæäîãî èãðîêà, à òàêæå ïëàòåæè êàæäîãî èãðîêà äëÿ êàæäîãî âîçìîæíîãî ïðîôèëÿ ñòðàòåãèé, ìû ãîâîðèì, ÷òî çàäàíà èãðà â íîðìàëüíîé ôîðìå. Åñëè èãðîêà âñåãî äâà, è ó êàæäîãî èç íèõ åñòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî âîçìîæíûõ ñòðàòåãèé, òî òàêóþ èãðó óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå ìàòðèöû, ïî ñòðîêàì êîòîðîé îòêëàäûâàþòñÿ ñòðàòåãèè ïåðâîãî èãðîêà, ïî ñòîëáöàì ñòðàòåãèè âòîðîãî, à íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè è ñòîëáöà ñòîÿò ïëàòåæè, êîòîðûå ïîëó÷àò èãðîêè, åñëè áóäóò ñûãðàíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðàòåãèè. Ïðèìåð 1. Îðëÿíêà.  îðëÿíêó èãðàþò äâîå. Êàæäûé èç èãðîêîâ çàãàäûâàåò íà áóìàãå îðåë èëè ðåøêó, à çàòåì âûáîðû èãðîêîâ ñðàâíèâàþòñÿ. Åñëè îíè ñîâïàëè, òî ïîáåæäàåò ïåðâûé, à åñëè ðàçëè÷àþòñÿ, òî ïîáåæäàåò âòîðîé. Ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ: S1 = {O, P }, S2 = {O, P }, ãäå O ¾âûáðàòü îðëà¿, P ¾âûáðàòü ðåøêó¿. Òîãäà ïëàòåæè âûãëÿäÿò òàê: u1 (O, O) = 1, u2 (O, O) = −1, u1 (P, P ) = 1, u2 (P, P ) = −1, u1 (O, P ) = −1, u2 (O, P ) = 1, u1 (P, O) = −1, u2 (P, O) = 1. Ýòè äàííûå ìîæíî çàïèñàòü è áîëåå óäîáíûì ñïîñîáîì â îäíîé ìàòðèöå: O P O 1;-1 -1;1 P -1;1 1;-1 Ïðèìåð 2. Áèòâà ïîëîâ. Ìóæ è æåíà ðåøàþò, ãäå èì ïðîâåñòè âûõîäíîé äåíü. Ìóæ õî÷åò íà ôóòáîë, à æåíà ïðåäïî÷èòàåò áàëåò. Ïðè ýòîì èì îáîèì õî÷åòñÿ ïðîâåñòè âðåìÿ âìåñòå. Òîãäà ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ èìååò âèä Shusband = {Ôóòáîë, Áàëåò}, Swif e = {Ôóòáîë, Áàëåò}. Äîïóñòèì, ÷òî ïëàòåæè èãðîêîâ èìåþò ñëåäóþùèé âèä: uh (Ôóòáîë, Ôóòáîë) = 5, uh (Ôóòáîë, Áàëåò) = 1, uh (Áàëåò, Ôóòáîë) = 0, uh (Áàëåò, Áàëåò) = 4, uw (Ôóòáîë, Ôóòáîë) = 4, uw (Ôóòáîë, Áàëåò) = 0, uw (Áàëåò, Ôóòáîë) = 1, uw (Áàëåò, Áàëåò) = 5. 1 Òîãäà ìàòðèöà ïëàòåæåé âûãëÿäèò òàê: Ôóòáîë Áàëåò Ôóòáîë 5;4 0;0 Áàëåò 1;1 4;5 Ïóñòü ïåðåä íàìè èìååòñÿ íåêîòîðàÿ èãðà â íîðìàëüíîé ôîðìå. ×òî ñ íåé äåëàòü? Ïîïûòàåìñÿ ïðîàíàëèçèðîâàòü, êàêèå ñòðàòåãèè áóäóò âûáèðàòü ðàöèîíàëüíûå èãðîêè, ñòàðàþùèåñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé âûèãðûø. 5. Ðàâíîâåñèå â äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ Èíîãäà áûâàåò òàê, ÷òî îäíà ñòðàòåãèÿ çàâåäîìî ëó÷øå äðóãîé. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ èãðó. Ïðèìåð 3. Äîìèíèðóþùèå ñòðàòåãèè. s1 s2 s3 t1 4;2 -1;0 7;-1 t2 0;3 1;3 2;3 t3 5;1 1;2 8;2 Ïðåäñòàâèì ñåáÿ íà ìåñòå ïåðâîãî èãðîêà. Åñëè âòîðîé èãðîê ñûãðàåò ñòðàòåãèþ t1 , òî íàèáîëüøèé âûèãðûø íàì ïðèíåñåò ñòðàòåãèÿ s3 . Ýòîò ôàêò òàêæå áóäåì çàïèñûâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: BR(t1 ) = s3 , ãäå BR(t1 ) îçíà÷àåò íàèëó÷øèé îòâåò (Best Response) íà ñòðàòåãèþ t1 ñîïåðíèêà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè ñîïåðíèê ñûãðàåò ñòðàòåãèþ t2 èëè ñòðàòåãèþ t3 , òî íàì òàêæå ñëåäóåò èãðàòü ñòðàòåãèþ s3 , òî åñòü BR(t2 ) = s3 , BR(t3 ) = s3 . Òàêèì îáðàçîì, êàêóþ áû ñòðàòåãèþ íè ñûãðàë âòîðîé èãðîê, íàèëó÷øèì îòâåòîì ïåðâîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿ îäíà è òà æå ñòðàòåãèÿ s3 ! Òàêèå ñòðàòåãèè íàçûâàþòñÿ äîìèíèðóþùèìè. Ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è äàäèì íåñêîëüêî ôîðìàëüíûõ îïðåäåëåíèé. Ïóñòü èìååòñÿ èãðà n ëèö â íîðìàëüíîé ôîðìå, à (s1 , ..., sn ) íåêîòîðûé ïðîôèëü ñòðàòåãèé. Äëÿ ëþáîãî i = 1, ..., n ïîëîæèì s−i = (s1 , ...si−1 , si+1 , ..., sn ). Äðóãèìè ñëîâàìè, s−i íàáîð ñòðàòåãèé èç ïðîôèëÿ (s1 , ..., sn ) âñåõ èãðîêîâ, êðîìå i-ãî. Ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ íàáîðîâ s−i îáîçíà÷èì ÷åðåç S−i . Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ i-ãî èãðîêà s ∈ Si íàçûâàåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé, åñëè äëÿ ëþáîé äðóãîé ñòðàòåãèè i-ãî èãðîêà s0 ∈ Si è ëþáîãî íàáîðà s−i ∈ S−i ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ui (s, s−i ) > ui (s0 , s−i ) (òî åñòü ïëàòåæ, êîòîðûé ïîëó÷àåò i-ûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s áîëüøå, ÷åì ïëàòåæ, êîòîðûé ïîëó÷àåò i-ûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s0 ïðè ëþáûõ ñòðàòåãèÿõ îñòàëüíûõ èãðîêîâ). ×óòü õóæå ñëàáî äîìèíèðóþùèå ñòðàòåãèè. 2 Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ i-ãî èãðîêà s ∈ Si íàçûâàåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé, åñëè äëÿ ëþáîé äðóãîé ñòðàòåãèè i-ãî èãðîêà s0 ∈ Si è ëþáîãî íàáîðà s−i ∈ S−i ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ui (s, s−i ) ≥ ui (s0 , s−i ) (òî åñòü ïëàòåæ, êîòîðûé ïîëó÷àåò i-ûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s íå ìåíüøå, ÷åì ïëàòåæ, êîòîðûé ïîëó÷àåò i-ûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s0 ïðè ëþáûõ ñòðàòåãèÿõ îñòàëüíûõ èãðîêîâ). Ïðèìåð 4. Îòëè÷èå ñëàáî äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèé îò ñòðîãî äîìè- íèðóþùèõ.  ïðåäûäóùåé èãðå ìîæíî èñïðàâèòü âñåãî îäèí ïëàòåæ òàê, ÷òî ó ïåðâîãî èãðîêà óæå íå áóäåò ñòðîãî äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèé. Ðàññìîòðèì î÷åíü ïîõîæóþ èãðó: s1 s2 s3 t1 4;2 -1;0 7;-1 t2 0;3 2;3 2;3 t3 5;1 1;2 8;2  ýòîé èãðå ñòðàòåãèÿ s3 óæå íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé, ïîñêîëüêó åñëè âòîðîé èãðîê ñûãðàåò ñòðàòåãèþ t2 , òî ïåðâûé èãðîê, èãðàÿ ñòðàòåãèþ s3 íå ïîëó÷èò áîëüøå, ÷åì èãðàÿ ñòðàòåãèþ t2 . Îäíàêî âåðíî, ÷òî ñòðàòåãèÿ s3 ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé, òàê êàê èãðàÿ ýòó ñòðàòåãèþ, ïåðâûé èãðîê ïîëó÷èò íå ìåíüøå, ÷åì ñûãðàâ ëþáóþ äðóãóþ ñòðàòåãèþ, íåçàâèñèìî îò ñòðàòåãèè âòîðîãî èãðîêà. Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî ñòðîãî äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: íå ëþáàÿ ñëàáî äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé. Î÷åíü ÷àñòî ñòðîãî äîìèíèðóþùóþ ñòðàòåãèþ íàçûâàþò ¾ñèëüíî äîìèíèðóþùåé¿ èëè, êîðî÷å, ¾äîìèíèðóþùåé¿. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ñëîâîñî÷åòàíèå ¾äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ¿ áóäåò ïîäðàçóìåâàòü äîìèíèðîâàíèå â ñòðîãîì ñìûñëå. À âîò êîãäà ãîâîðÿò î ñëàáî äîìèíèðóþùåé ñòðàòåãèè, ñëîâî ¾ñëàáî¿ îáÿçàòåëüíî ïîä÷åðêèâàþò. Åñëè ó èãðîêà åñòü äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ, òî åñòü âñå îñíîâàíèÿ ñ÷èòàòü, ÷òî îí áóäåò èãðàòü èìåííî åå. Åìó íå íóæíî äóìàòü î òîì, êàê ñûãðàþò îñòàëüíûå èãðîêè åãî âûèãðûø ìàêñèìàëåí, åñëè îí ñûãðàåò ñâîþ äîìèíèðóþùóþ ñòðàòåãèþ. Êàê ìû óæå âûÿñíèëè, â ïðèìåðå 3 ó ïåðâîãî èãðîêà åñòü äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ s3 . Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ó âòîðîãî èãðîêà òîæå åñòü äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ, à èìåííî ñòðàòåãèÿ t2 . Åñëè ó îáîèõ èãðîêîâ åñòü äîìèíèðóþùèå ñòðàòåãèè, òî ìîæíî áûòü óâåðåííûì, ÷òî áóäåò ñûãðàí ïðîôèëü, ñîñòîÿùèé èç ýòèõ ñòðàòåãèé.  äàííîì ñëó÷àå ýòî ïðîôèëü (s3 , t2 ). Òàêîé ïðîôèëü íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì â äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ. Îïðåäåëåíèå. Ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , ..., sn ) íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì â ñòðîãî äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ, åñëè äëÿ êàæäîãî èãðîêà i, i = 1, ..., n, ñòðàòåãèÿ si ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé. Îïðåäåëåíèå. Ïðîôèëü ñòðàòåãèé (s1 , ..., sn ) íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì â ñëàáî äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ, åñëè äëÿ êàæäîãî èãðîêà i, i = 1, ..., n, ñòðàòåãèÿ si ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé. 3  ïðèìåðå 3 ïðîôèëü (s3 , t2 ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì â ñòðîãî äîìèíèðóþùèõ ñòðàòåãèÿõ. 6. Ðàâíîâåñèå, ïîëó÷àåìîå èñêëþ÷åíèåì äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé Õîðîøî, êîãäà ó èãðîêà åñòü äîìèíèðóþùàÿ ñòðàòåãèÿ. Ïðîáëåìà â òîì, ÷òî òàêèå ïðîñòûå äëÿ àíàëèçà èãðû âñòðå÷àþòñÿ ðåäêî. ×àùå âñòðå÷àþòñÿ èãðû, â êîòîðûõ íóæåí áîëåå òî÷íûé àíàëèç ñâîèõ ñòðàòåãèé è ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ. Îáðàòèìñÿ ê ñëåäóþùåìó ïðèìåðó. Ïðèìåð 5. Ñòðîãî äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè è èõ èñêëþ÷åíèå. Ïóñòü çàäàíà ñëåäóþùàÿ èãðà: s1 s2 t1 4;3 5;5 t2 2;7 5;-1 t3 0;4 -4;-2 Èìååò ëè ñìûñë íà ìåñòå âòîðîãî èãðîêà èãðàòü ñòðàòåãèþ t3 ? Êîíå÷íî, íåò, ïîñêîëüêó êàêóþ áû ñòðàòåãèþ íè ñûãðàë ïåðâûé èãðîê, ñûãðàòü ñòðàòåãèþ t3 äëÿ âòîðîãî èãðîêà çàâåäîìî õóæå, ÷åì ñûãðàòü ñòðàòåãèþ t2 .  òàêîé ñèòóàöèè ãîâîðÿò, ÷òî ñòðàòåãèÿ t2 äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ t3 (è íàîáîðîò: ñòðàòåãèÿ t3 äîìèíèðóåòñÿ ñòðàòåãèåé t2 ). 0 Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i ñòðîãî äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ s èãðîêà i, 0 åñëè ui (s, s−i ) > ui (s , s−i ) äëÿ ëþáîãî íàáîðà ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ s−i ∈ S−i . 0 Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i ñëàáî äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ s èãðîêà i, åñëè 0 ui (s, s−i ) > ui (s , s−i ) äëÿ ëþáîãî íàáîðà ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ s−i ∈ S−i . 0 Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i ñòðîãî äîìèíèðóåòñÿ ñòðàòåãèåé s èãðîêà i, åñëè ui (s, s−i ) < ui (s0 , s−i ) äëÿ ëþáîãî íàáîðà ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ s−i ∈ S−i . Îáîçíà÷åíèå: s ≺ s0 . 0 Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i ñëàáî äîìèíèðóåòñÿ ñòðàòåãèåé s èãðîêà i, 0 åñëè ui (s, s−i ) 6 ui (s , s−i ) äëÿ ëþáîãî íàáîðà ñòðàòåãèé îñòàëüíûõ èãðîêîâ s−i ∈ S−i . Îáîçíà÷åíèå: s 4 s0 . Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî òåïåðü ìîæíî äàòü ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå äîìèíèðóþùåé ñòðàòåãèè. Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i íàçûâàåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóþùåé, åñëè îíà ñòðîãî äîìèíèðóåò ëþáóþ äðóãóþ ñòðàòåãèþ i-ãî èãðîêà. Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i íàçûâàåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóþùåé, åñëè îíà ñëàáî äîìèíèðóåò ëþáóþ äðóãóþ ñòðàòåãèþ i-ãî èãðîêà. Ïðîâåðüòå, ÷òî ýòè îïðåäåëåíèÿ ðàâíîñèëüíû îïðåäåëåíèÿì, äàííûì â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà. Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i íàçûâàåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñòðàòåãèÿ s0 èãðîêà i, êîòîðàÿ ñòðîãî äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ si . Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèÿ s èãðîêà i íàçûâàåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñòðàòåãèÿ s0 èãðîêà i, êîòîðàÿ ñëàáî äîìèíèðóåò ñòðàòåãèþ si . Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç âàæíûé ôàêò: åñëè ó èãðîêà åñòü ñòðîãî äîìèíèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ, òî èãðîêó íè ïðè êàêèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ íå èìååò ñìûñëà åå èãðàòü.  ïðèìåðå 4 5 âòîðîé èãðîê íå áóäåò èãðàòü ñòðàòåãèþ t3 . Ýòî ïîíèìàåò êàê âòîðîé èãðîê, òàê è ïåðâûé èãðîê. Ñëåäîâàòåëüíî, â èãðå èç ïðèìåðà ìîæíî èñêëþ÷èòü ñòîëáåö, ñîîòâåòñòâóþùèé ñòðàòåãèè t3 . Òîãäà èãðà ïðèìåò òàêîé âèä: s1 s2 t1 4;3 5;5 t2 2;7 5;-1 Íî òîãäà â íîâîé èãðå ó ïåðâîãî èãðîêà ïîÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ, òàê êàê ñòðàòåãèÿ s1 äîìèíèðóåòñÿ ñòðàòåãèåé s2 . Îáà èãðîêà ïîíèìàþò, ÷òî â òàêîé ñèòóàöèè èãðàòü ñòðàòåãèþ s1 ïåðâîìó èãðîêó íå èìååò íèêàêîãî ñìûñëà. Çíà÷èò, â ýòîé ìàòðèöå ìîæíî èñêëþ÷èòü ñòðîêó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòðàòåãèè s1 . Òåïåðü ïåðåä èãðîêàìè îêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ èãðà: s2 t1 5;5 t2 5;-1 Íî çäåñü ó âòîðîãî èãðîêà ñòðàòåãèÿ t2 ÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóåìîé. Èñêëþ÷èì ñîîòâåòñòâóþùèé ñòîëáåö. Ïîëó÷èì ìàòðèöó ðàçìåðà 1 íà 1: t1 5;5 s2 Êîãäà îáà èãðîêà ïðîäåëàþò ýòó öåïî÷êó ðàññóæäåíèé, îíè ïðèäóò ê ïðîôèëþ ñòðàòåãèé (s2 , t1 ). Çàïèñàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîâåäåííûõ íàìè èñêëþ÷åíèé ñòðàòåãèé ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1.t3 4 t2 . 2.s1 4 s2 . 3.t2 4 t1 . Îïðåäåëåíèå. Åñëè â èãðå â íîðìàëüíîé ôîðìå â ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ñòðîãî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé îñòàåòñÿ ìàòðèöà ðàçìåðà 1 íà 1, òî îñòàâøèéñÿ ïðîôèëü íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñèåì, ïîëó÷åííûì èñêëþ÷åíèåì ñòðîãî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé.  ïðèìåðå 5 ïðîôèëü (s2 , t1 ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì, ïîëó÷åííûì èñêëþ÷åíèåì ñòðîãî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé. Âîîáùå ãîâîðÿ, íå â êàæäîé èãðå ïîñëåäîâàòåëüíûì èñêëþ÷åíèåì äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé ìîæíî ïðèéòè ê ìàòðèöå 1 íà 1. Íàïðèìåð, â èãðå ¾Áèòâà ïîëîâ¿ (ñì. ïðèìåð 2) íè ó îäíîãî èç èãðîêîâ íåò äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èñêëþ÷åíèå äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé íå ÿâëÿåòñÿ èíñòðóìåíòîì, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî ðåøèòü ëþáóþ èãðó.  íåêîòîðûõ èãðàõ ìîæåò áûòü ñðàçó íåñêîëüêî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé. Òîãäà âîçíèêàåò ëîãè÷íûé âîïðîñ: â êàêîì ïîðÿäêå èõ èñêëþ÷àòü? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîðÿäîê èñêëþ÷åíèÿ ñòðîãî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé íå âàæåí, òî åñòü èñêëþ÷àÿ ñòðîãî äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè â ëþáîì ïîðÿäêå, ìû ïðèäåì ê îäíîìó è òîìó æå èñõîäó. À 5 âîò èñêëþ÷åíèå ñëàáî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé ìîæåò ïðèâåñòè ê ðàçíûì ðåçóëüòàòàì â çàâèñèìîñòè îò ïîðÿäêà èñêëþ÷åíèÿ ñòðàòåãèé. Ïðèìåð 6. Ñëàáî äîìèíèðóåìûå ñòðàòåãèè è èõ èñêëþ÷åíèå. s1 s2 t1 0;0 0;0 t2 0;0 0;0 Êàæäàÿ ñòðàòåãèÿ ïåðâîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóåìîé è êàæäàÿ ñòðàòåãèÿ âòîðîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿ ñëàáî äîìèíèðóåìîé.  çàâèñèìîñòè îò ïîðÿäêà, â êîòîðîì ìû áóäåì èñêëþ÷àòü ñòðàòåãèè, ìû ïðèäåì ê ðàçíûì ðàâíîâåñèÿì, ïîëó÷åííûì èñêëþ÷åíèåì ñëàáî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé. Ýòî ïëîõîé ýôôåêò, èç-çà êîòîðîãî èñêëþ÷åíèå ñëàáî äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé íå èìååò áîëüøîãî ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Åùå ñ îäíèì ïëîõèì ñâîéñòâîì ýòîé îïåðàöèè ìû ïîçíàêîìèìñÿ íà ñëåäóþùåé ëåêöèè. 6