ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ØÊÎËÜÍÈÊΠ¾ÏÎÊÎÐÈ ÂÎÐÎÁÜÂÛ ÃÎÐÛ!¿ Çàäàíèÿ ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÎÃÎ òóðà ïî ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ 2013/2014 ó÷åáíûé ãîä 9 êëàññ 1. Íà îñòðîâå ðûöàðåé è ëæåöîâ ðûöàðè âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó, à ëæåöû âñåãäà ëãóò.  øêîëå íà ýòîì îñòðîâå ó÷àòñÿ êàê ðûöàðè, òàê è ëæåöû â îäíîì êëàññå. Îäíàæäû ó÷èòåëü ñïðîñèë ó ÷åòûðåõ äåòåé: Àíó, Áàíó, Âàíó è Äàíó, êòî èç íèõ ñäåëàë äîìàøíåå çàäàíèå. Îíè îòâåòèëè: • Äîìàøíåå çàäàíèå ñäåëàëè Áàíó, Âàíó è Äàíó. • Äîìàøíåå çàäàíèå íå ñäåëàëè Àíó, Âàíó è Äàíó. • Íå âåðüòå èì, ãîñïîäèí ó÷èòåëü! Àíó è Áàíó ëæåöû! • Íåò, ãîñïîäèí ó÷èòåëü, Àíó, Áàíó è Âàíó ðûöàðè! Ñêîëüêî ðûöàðåé ñðåäè ýòèõ äåòåé? 1. Åñëè Âàíó ðûöàðü, òî âñå îñòàëüíûå ëæåöû. Ïóñòü Âàíó ëæåö. Òîãäà Äàíó òîæå ëæåö (ïîñîêëüêó ãîâîðèò, ÷òî Âàíó ðûöàðü). À èç Àíó è Áàíó ïî êðàéíåé ìåðå îäèí äîëæåí áûòü ðûöàðåì. Îáà îíè ðûöàðÿìè áûòü íå ìîãóò, ò.ê. ïðîòèâîðå÷àò äðóã äðóãó.  ëþáîì ñëó÷àå òîëüêî îäèí èç äåòåé ÿâëÿåòñÿ ðûöàðåì. 2.  òðåóãîëüíèêå 4ABC èçâåñòíû ñòîðîíû AB = 5 è AC = 6. Êàêîé äîëæíà áûòü ñòîðîíà BC , ÷òîáû óãîë ∠ACB áûë ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì?  îòâåòå óêàæèòå äëèíó ñòîðîíû BC , îêðóãëåííóþ äî áëèæàéøåãî öåëîãî ÷èñëà. Àíó: Áàíó: Âàíó: Äàíó: Îòâåò: Ðåøåíèå: Îòâåò: 3 Ïîñòðîèì AC = 6. Òîãäà ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì òî÷åê B áóäåò îêðóæíîñòü ðàäèóñà 5 ñ öåíòðîì â òî÷êå A. Óãîë ∠ACB áóäåò íàèáîëüøèì, êîãäà CB êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè√(ñì. ðèñ.). Òîãäà √ CB ⊥ AB è ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà ïîëó÷èì BC = AC 2 − AB 2 = 11 ≈ 3. Ðåøåíèå: 3. Óõîäÿ íà ðàáîòó ìàìà ïîðó÷èëà Ìèøå, Ïåòå è Âàñå: à) ïîäìåñòè ïîë â ïðèõîæåé; á) ïîìûòü ïîñóäó; â) êóïèòü õëåáà; ã) çàïëàòèòü çà ýëåêòðè÷åñòâî; ä) âûíåñòè ìóñîð; å) ïðîïûëåñîñèòü êîâåð â ãîñòèíîé. Ñêîëüêèìè ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè îíè ìîãóò ðàñïðåäåëèòü çàäàíèÿ, òàê, ÷òîáû êàæäîå çàäàíèå äåëàë êòî-òî îäèí èç ðåáÿò è ïðè óñëîâèè, ÷òîáû êàæäûé ÷òî-íèáóäü äåëàë? Îòâåò: 540. Âñåãî ñóùåñòâóåò 36 = 729 ñïîñîáîâ ðàñïðåäåëèòü çàäàíèÿ. Íî ïðè ýòîì â 26 = 64 ñïîñîáàõ âñå ðàáîòû áóäóò âûïîëíÿòü Ìèøà è Ïåòÿ. Òàêæå åñòü 64 ñïîñîáà, êîãäà âñå ðàáîòû áóäóò âûïîëíÿòü Ïåòÿ è Âàñÿ, à òàêæå 64 êîãäà Ìèøà è Âàñÿ. Åñëè âû÷åñòü 3×64, ïîëó÷èòñÿ, ÷òî ñëó÷àè, êîãäà âñþ ðàáîòó âûïîëíÿåò îäèí ÷åëîâåê ìû âû÷ëè ïî äâà ðàçà. Ïîýòîìó ê ðåçóëüòàòó ïðèáàâèì 3: 36 − 3 · 26 + 3 = 540. 4. Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå Ðåøåíèå: abc + ab + bc + ac + a + b + c = 164.  îòâåòå óêàæèòå ïðîèçâåäåíèå abc. 80. Îòâåò: (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) = abc + ab + bc + ac + a + b + c + 1 = 165 = 3 × 5 × 11, a = 2 b = 4 c = 10 a b c Ðåøåíèå: ñëåäîâàòåëüíî, , è . Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè , è , ïîñêîëüêó 3, 5, 11 ïðîñòûå ÷èñëà. 5. Ïåòÿ õîòåë íàðèñîâàòü ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê 4ABC . Íî, ïîñêîëüêó îí ðèñîâàë íåòî÷íî, ïîëó÷èëñÿ òðåóãîëüíèê ñ óãëàìè ∠A = 59◦ è . Ïîòîì Ïåòÿ ïðîâåë âûñîòû CE è BD, íî, ïîñêîëüêó óãîëüíèê áûë ñëåãêà ïåðåêîøåí, ïîëó÷èë óãëû ∠ADB = ∠AEC = 92◦ . Íàéäèòå ãðàäóñíóþ ìåðó óãëà ∠AED. 58◦ . Çàìåòèì, ÷òî ∠BDC = ∠BEC = 88◦ , ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ïðîâåñòè îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êè B , C , D è E . Äåéñòâèòåëüíî, îïèøåì îêðóæíîñòü îêîëî òðåóãîëüíèêà 4BCD. Îíà äîëæíà ïðîéòè ÷åðåç òî÷êó E , ò.ê. åñëè ïðÿìàÿ CE ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êå E1 , òî ∠BE1 C = ∠BEC , ÷òî âîçìîæíî òîëüêî åñëè E ñîâïàäàåò ñ E1 . Òîãäà óãîë ∠AED = 180◦ − ∠BED = ∠BCD ïî ñâîéñòâó âïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. À ∠BCD = 180◦ − ∠ABC − ∠BAC = 58◦ . ∠B = 63◦ Îòâåò: Ðåøåíèå: 6. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: a1 = 0, a2 = 1 è an+1 = 4(an − an−1 ) ïðè n > 2. Íàéäèòå íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êðàòíûé 2014.  îòâåòå óêàæèòå íîìåð ýòîãî ÷ëåíà. 1008. Çàìåòèì, ÷òî an+1 − 2an = 2an − 4an−1 = 2(an − 2an−1 ). Îáîçíà÷èì bn = an+1 − 2an , òîãäà b1 = 1 è bn+1 = 2bn , ñëåäîâàòåëüíî, bn = 2n−1 . Òàêèì îáðàçîì, an = bn−1 + 2an−1 = bn−1 + 2bn−2 + 4an−2 = · · · = bn−1 + 2bn−2 + . . . + 2n−1 b1 + 2n a1 = (n − 1)2n−2 . Åñëè ýòî ÷èñëî êðàòíî 2014, òî (n − 1) êðàòíî 1007, ò.å. n = 1008. Îòâåò: Ðåøåíèå: