К ЗАДАЧЕ О МИНИМАЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЯХ ОРИЕНТАЦИЙ ЦИКЛОВ1 В. А. Томников Саратовский государственный университет, Саратов, Россия Впервые конструкция минимального расширения в качестве модели дискретных отказоустойчивых систем рассматривалась в работе Хейза [4], где также была представлена схема получения минимальных расширений для неориентированных циклов с произвольным количеством вершин. Своё развитие теория получила в работе М. Б. Абросимова [1], где были получены минимальные расширения неориентированных циклов, отличные от хейзовских. Конструкция минимального расширения для ориентированных графов рассматривалась в работе А. В. Киреевой [3], где была представлена схема построения минимальных расширений для функциональных графов. В данной работе рассматривается конструкция минимального расширения ориентаций циклов, а также приводится схема построения минимальных расширений для ориентаций циклов, содержащих только источники и стоки. Общие понятия и определения, связанные с теорией графов, далее берутся из [2]. Ориентированным графом (кратко: орграфом) называется пара G (V , ) , где V — конечное непустое множество (множество вершин) и — отношение на V (множество дуг). Ориентацией цикла будем называть орграф C (V , ) , где V {v1 , v2 ,..., vn } , n 2 , {( vi , v j ) : ( i j 1 OR i j V 1) & (v j , vi ) } , то есть цикл, каждому ребру которого придана ориентация. Вложением орграфа G1 (V1,1 ) в орграф G2 (V2 ,2 ) называется такое взаимно однозначное отображение : V1 V2 , что для любых u, v V1 выполняется следующее условие: (u, v) 1 ( (u), (v)) 2 . Под максимальным подграфом графа G понимается граф, полученный из G путём удаления некоторой вершины и всех инцидентных ей дуг. Орграф G* (V * , * ) называется минимальным расширением орграфа G (V , ) , V n , если выполняются следующие условия: a) орграф G вложим в любой максимальный подграф орграфа G* ; V * n 1; b) * имеет минимальную мощность при выполнении условий a) c) и b). ______________________________________________________________________ Работа поддержана грантом РФФИ 05-08-18082 1 ТЕОРЕМА 1. Минимальное расширение любой ориентации цик- ла C (V , ) , V n , содержит не менее n3 добавочных дуг. 2 СЛЕДСТВИЕ. Минимальное расширение любой ориентации цикла C (V , ) , V n 2k , k N , содержит не менее k 2 добавочных дуг. ЛЕММА. Любая ориентация цикла содержит равное количество источников и стоков. ТЕОРЕМА 2. Минимальное расширение ориентации цикла, содержащей только источники и стоки, имеет ровно n4 добавочных дуг. 2 В доказательстве теоремы 2 предлагается конструкция минимального расширения для цикла чётной длины, рёбрам которого придана попеременная ориентация, то есть все вершины являются источниками, либо стоками. При этом система дополнительных дуг соответствует схеме дополнительных рёбер в минимальном расширении цикла чётной длины по Хейзу — со специальной ориентацией этих рёбер. Список использованных источников 1. Абросимов М. Б. Минимальные k–расширения предполных графов // Изв. вузов. Математика. — 2003. — №6. — С.3–11. 2. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Наука, 1997. 3. Киреева А. В. Отказоустойчивость в функциональных графах // Упорядоченные множества и решётки. — Саратов, 1995. — вып. 11. — С.32–38. 4. Hayes J. P. A graph model for fault tolerant computing systems // IEEE Trans. Comput. — 1976. — V.C–25, N 9. — P.875–884.