Презентация Кадушкина

Построение
минимальной сильно
связной реконструкции
произвольных орграфов
Выполнила А.С. Кадушкина
Научный руководитель. проф. В.Н. Салий
Необходимые определения
 Под ориентированным графом понимается пара G = (V,α),
где V конечное непустое множество и α – отношение
смежности на нем. Элементы множества V называются
вершинами графа, а пары, входящие в отношение
смежности α, - его дугами.
 Двудольным орграфом называется орграф H=(U U V, α),
где U∩V = Ǿ, α U V . Все элементы из U - источники, из
V - стоки. Пусть U ={u1, … un}, V= {v1, …. vk}.
Паросочетанием в неориентированном графе называется
множество попарно несмежных ребер. Паросочетание
называется наибольшим, если число ребер в нем
наибольшее среди всех паросочетаний графа H.
Конденсацией орграфа G называется орграф G*, вершины
v1, v2, …vm которого соответствуют классам отношения ε
взаимной достижимости орграфа G, и пара (vi, vj) является
дугой в G* тогда и только тогда, когда в G есть дуга, начало
которой принадлежит компоненте vi, а конец – vj.
Задача : имеется некоторый ориентированный граф G,
который возможно состоит из нескольких компонент
связности. Требуется построить его минимальное сильно
связное расширение.
1. Построим конденсацию G0 исходного орграфа G.
Петли, получившиеся при факторизации, учитывать не
будем.

2. Построим двудольный граф Н=(UH
SH , αH), где UH –
множество источников орграфа G0, SH – множество его
стоков, αH= {(ui, sj)| sj достижима из ui}. Введем новый
порядок перечисления вершин графа G0. Построим
симметризацию графа Н.
Введенные переобозначения: v1 → w1 ; v2 → u1 ; v3 → s1;
v4 →s2; v6 → s3; {v7, v8}→u2; v9→ s4.
3. Найдем наибольшее паросочетание М симметризации
графа H;
Пусть m1 , m2, …mn – ребра из M, mi={ui, sj}.
Пусть QH = UQ  SQ – множество вершин, не
насыщенных паросочетанием
4. Построим контур следующим образом:
5. Если множество QH непустое, то
6. Возвращаясь к исходным обозначениям
(сопоставление вершин двудольного графа
вершинам исходного графа в шаге 2), строим
дуги, проведенные в двудольном графе H, в
исходном орграфе G.
Доказательство минимальности данного
построения.
k = max(ku ,ks)+kw,
где k – число добавочных дуг,
ku - число источников конденсации,
ks – число стоков конденсации,
kw – число изолированных вершин.
Результатом работы является следующая
Теорема
Каждый произвольный орграф путем добавления дуг
может быть перестроен в сильно связный, при этом
минимальное число добавочных дуг k = max(ku, ks)+kw,
где k – число добавочных дуг,
ku - число источников конденсации,
ks – число стоков конденсации,
kw – число изолированных вершин конденсации.
Литература
• Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы
теории дискретных систем.
• Емеличев В.А., Мельников О.И. Лекции по теории графов.
• Кадушкина А.С. Минимальные сильно связные
реконструкции ориентированных графов // Компьютерные
науки и информационные технологии. Материалы науч.
конф. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. – с. 65-70.
• Кадушкина А.С. Программа для ЭВМ «Нахождение
минимальной сильно связной реконструкции для связных
ориентированных графов». Свидетельство РОСПАТЕНТа
№ 2010616498 от 30.09.2010.
• Мирзаянов М.Р. Сильно связные конгруэнции
ориентированных графов // Теоретические проблемы
информатики и ее приложений. Вып. 7. - Саратов: Изд-во
Сарат. ун-та, 2006. - С. 104-114.
• Салий В.Н. Оптимальные реконструкции графов/ В кн.:
Современные проблемы дифференциальной геометрии и
общей алгебры. – Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 2008, С.5965.
Спасибо за внимание