2 - Tehnari.ru

Постановка задачи.
Для схемы, соответствующей номеру варианта, выполнить:
1. Записать уравнения по законам Кирхгофа. Решив полученную
систему уравнений, определить токи и напряжения ветвей.
2. Составить узловые уравнения цепи в матричной форме. Решив
составленные уравнения, рассчитать токи во всех ветвях исходной цепи.
3. Результаты расчетов свести в таблицу.
4. Рассчитать ток в ветви с резистором R k методом эквивалентного
генератора.
5. Определить, при каком сопротивлении резистора 𝑅𝑘 в нем выделяется
максимальная мощность.
6. Построить графики зависимостей тока, напряжения и мощности,
выделяемой в резисторе R k при изменении сопротивления от 0,1𝑅𝑘 до 10𝑅𝑘
Рисунок 1 – Схема цепи
Таблица 1 – Исходные данные варианта
Вар.
S
60
10
R1
R2
R3
R4
R5
R6
Rk E1
Ом
10
14
20
8
E2
E3
J1
В
30
40
6
30
—
J2
J3
А
20
2
—
—
Решение.
1. Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа и решив её
определим токи в ветвях цепи.
В исходной цепи выбираем условно-положительные направления токов
в ветвях и выбираем направления обхода для независимых контуров (рисунок
2). Записываем систему уравнений по законам Кирхгофа. В схеме 4 узла,
соответственно запишем 3 уравнения по 1-му закону Кирхгофа. И три
независимых контура не включающих источники тока, следовательно, по
второму закону Кирхгофа составим 3 уравнения. В результате получим
систему из 6-ти уравнений:
Для узлов:
а: −𝑆𝑅1 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 − 𝐼4 = −ℐ
d: 𝑆𝑅1 𝐼1 + 𝐼5 − 𝐼5 = 0
b: 𝑆𝑅1 𝐼1 + 𝐼3 + 𝐼5 − 𝐼6 = 0
Для контуров:
1: −𝐼1 𝑅1 + 𝐼2 𝑅2 − 𝐼4 𝑅4 = −𝐸1
2: −𝐼3 𝑅3 + 𝐼4 𝑅4 + 𝐼5 𝑅5 = −𝐸3
3: 𝐼1 𝑅1 − 𝐼5 𝑅5 − 𝐼6 𝑅6 = 𝐸1
Рисунок 2
В матричной форме система примет вид:
 SR1
 SR
1

 SR1

  R1
 0

 R1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
R2
0
 R4
0
0
 R3
R4
R5
0
0
0
 R5
0   I1    J 1 
0   I 2   0 
1  I3   0 
   

0   I 4   E1 
0   I 5   E3 
   

 R6   I 6   E1 
Подставляем числовые значения в матрицу:
1
1
0
0   I1    2 
 10 1
 10 0
0
1
1
0   I 2   0 

 10 0
1
0
1
1  I3   0 

   

0
8
0
0   I 4    30
 10 14
 0
0  20 8
30
0   I 5   20

   

0
0  30  40  I 6   30 
 10 0
Для решения системы используем математический пакет Matlab,
который дает следующие значения токов в ветвях:
𝐼1 = −0,061 𝐴
𝐼4 = −0,322 𝐴
𝐼2 = −2.370 𝐴
𝐼5 = 0,289 𝐴
𝐼3 = 1,304 𝐴
𝐼6 = −0,981 𝐴
Используя закон Ома, находим напряжения на элементах цепи:
𝑈𝑅1 = 𝐼1 𝑅1 = −0,061 ∗ 10 = −0,61 В
𝑈𝑅2 = 𝐼2 𝑅2 = −2.370 ∗ 14 = −33,18 В
𝑈𝑅3 = 𝐼3 𝑅3 = 1,304 ∗ 20 = 26,34 В
𝑈𝑅4 = 𝐼4 𝑅4 = −0,322 ∗ 8 = −2,576 В
𝑈𝑅5 = 𝐼5 𝑅5 = 0,289 ∗ 30 = 8,67 В
𝑈𝑅6 = 𝐼6 𝑅6 = −0,981 ∗ 40 = −39,24 В
2. Составим узловые уравнения цепи в матричной форме. Решив составленные
уравнения, рассчитать токи во всех ветвях исходной цепи.
Преобразуем исходную цепь к виду, удобному для анализа методом
узловых напряжений. Последовательную ветвь источник напряжения 
резистор преобразуем в параллельную ветвь с источником тока (рис. 3).
Источник
тока,
управляемый
напряжением,
преобразования.
Рисунок 3
не
требует
отдельного
Примем в качестве базисного узла узел d.
Относительно базисного узла определяем направление узловых напряжений
V1 , V2 , V3 .
Система уравнений по методу узловых напряжений примет следующий вид:
𝐺2 + 𝐺3 + 𝐺4
−𝐺3
[
−𝐺2
−𝐺3
𝐺3 + 𝐺5 + 𝐺6
−𝐺6
−𝐺2
𝑉1
0
−𝐺6
]*[𝑉2 ] = [ 0 ]
−𝐼1
𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺6 𝑉3
Подставив известные значения,получим:
𝐺2 + 𝐺3 + 𝐺4
−𝐺3
[
−𝐺2
−𝐺3
𝐺3 + 𝐺5 + 𝐺6
−𝐺6
−𝐺2
𝑉1
0
−𝐺6
]*[𝑉2 ] = [ 0 ]
−2
𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺6 𝑉3