Практическое занятие №3 Метод узловых потенциалов В

Практическое занятие №3
Метод узловых потенциалов
В
методе
узловых
потенциалов
неизвестными,
подлежащими
определению, являются так называемые узловые напряжения, т. е.
напряжения, которые представляют собой разности потенциалов данного
узла и узла, принятого за базисный.
Этот метод
позволяет
уменьшить
число
совместно решаемых
уравнений до q – 1, где q – число узлов схемы замещения электрической цепи.
Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и состоит в
следующем:
а) задают направления токов в ветвях электрической цепи. При этом в
ветвях с источниками энергии целесообразно выбирать направление тока
совпадающим с направлением э. д. с. источника;
б) нумеруют узлы схемы электрической цепи. Принимают в качестве
базисного один из узлов (любой) и приравнивают нулю потенциал этого узла;
в) для остальных q – 1 узлов составляют уравнения по первому закону
Кирхгофа;
г) выражают токи ветвей через потенциалы узлов и составляют
систему уравнений (для линейных цепей – в общем случае линейных
неоднородных), в которой в качестве переменных взяты потенциалы узлов.
Примечание – В ветвях, содержащих источники тока, токи известны
(они равны токам источников), поэтому для них не устанавливается связь
между током в ветви и потенциалами узлов, между которыми включена эта
ветвь;
д) решая составленную систему уравнений, определяют потенциалы q –
1 узлов относительно базисного узла, после чего находят токи ветвей по
обобщенному закону Ома.
Обоснование метода произведем на примере цепи, содержащей только
резисторы и источники тока (рис. 1.5).
i31
i01
R13
u
R
i21 R12 13 i
1
3
2 32 23
i30
u12 i20
u23
u2 R
R20
R10
30
u1
u3
i02
0
Рис. 1.5.
В качестве базисного выберем узел 0. Такой выбор обусловлен тем, что
к узлу 0 подключено наибольшее количество элементов. Введем узловые
напряжения u1 , u 2 , u3 . Количество узловых напряжений на единицу меньше
числа узлов цепи.
Чтобы выяснить правила
составления
уравнений для
узловых
напряжений, введем в рассмотрение согласную систему отсчета направлений
токов и напряжений.
По первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3:
1 )  i01  i21  i31  i10  0
2 ) i21  i20  i32  0
3 ) i32  i31  i30  i02  0.
Токи резистивных ветвей, подключенных к базисному узлу, выразим
через узловые напряжения и проводимости ветвей:
i10  G10u1 ; i20  G20u 2 ; i30  G30u3 .
Токи остальных ветвей (элементов) выразим через межузловые
напряжения и проводимости элементов.
i21  G12 u12 ; i32  G23i23 ; i31  G13u13 .
Каждое
из
межузловых
напряжений
можно
определить
через
соответствующие узловые напряжения, так как u12  u1  u 2 ; u 23  u 2  u3 и
т. д. Эти же соотношения получаются и на основании второго закона
Кирхгофа. Так, из u1  u12  u 2  0 следует u12  u1  u 2 . Тогда:
i21  G12 u1  u 2  ; i32  G23 u 2  u3 ; i31  G13 u1  u3 
Подставим теперь значения токов в исходную систему уравнений 1, 2,
3. После приведения подобных членов и переноса известных величин в
правую часть получим систему уравнений для искомых узловых напряжений
или систему узловых уравнений цепи:
G10  G12  G13 u1  G12u2  G13u3  i01

 G12u1  G20  G12  G23 u2  G23u3  0 .
 G u  G u  G  G  G u  i
 13 1
23 2
30
23
13 3
02.
Эта система из трех уравнений разрешима относительно трех искомых
узловых напряжений. Когда узловые напряжения будут найдены, по ним
вычисляются токи в ветвях и межузловые напряжения с помощью
соотношений, приведенных выше.
Таким образом, в методе узловых напряжений задача расчета цепи
решается путем составления N у  1 уравнений, тогда как в методе токов
ветвей число уравнений равно числу элементов цепи.
Произведем анализ уравнений 1-3 и выясним правила, по которым
узловые уравнения можно записывать сразу, без промежуточных выкладок.
Назовем сумму проводимостей ветвей, подключенных к узлу,
собственной проводимостью узла. Например, для первого узла собственная
проводимость
G11  G10  G12  G13 
1
1
1


R10 R12 R13 .
Проводимость ветви, включенной между двумя узлами, назовем
проводимостью связи или взаимной проводимостью узлов. Например, для
узлов 1 и 2 взаимная проводимость G12  G21 
1
.
R12
Любое из уравнений 1-3 отвечает следующим правилам.
1. В левую часть уравнения k-го узла со знаком "плюс" входит
произведение k-го узлового напряжения на собственную проводимость k-го
узла;
все
остальные
произведениями
слагаемые
напряжения
имеют
знак
соответствующего
"минус"
узла
и
на
являются
взаимную
проводимость между данными и k-м узлом.
2. В правую часть уравнения k-го узла входит алгебраическая сумма
задающих токов источников, подключенных к этому узлу, причем со знаком
"плюс" берутся токи, ориентированные к узлу.
Составленная
по
этим
правилам
система
узловых
уравнений
называется "канонической", если неизвестные расположены в порядке
нарастания индексов, а уравнения в соответствии с номерами узлов. Для
цепи, имеющей N у узлов, система имеет N  N у  1 уравнений:
G11u1  G12u2  G13u3      G1N u N  i1

 G21u1  G22u 2  G23u3      G2 N u N  i2
 G u  G u  G u      G u

N1 1
N2 2
N3 3
NN N
Часть взаимных проводимостей цепи может быть равна нулю, если узлы
не связаны между собой прямой ветвью, а имеют связь лишь через другие
ветви.
Обратим внимание, что для резистивной цепи взаимные проводимости
Gke и Gek равны и поэтому определитель системы уравнений симметричен
относительно главной диагонали.
Метод узловых напряжений можно применять и для цепей, имеющих
источники напряжения. В простейшем случае цепи с одним источником
напряжения в качестве базисного узла принимается тот узел, к которому
одним из своих зажимов подключен источник. Тогда узловое напряжение
узла, к которому подключен второй зажим источника, оказывается
известным: оно будет равно напряжению источника или отличаться от него
знаком.
Следовательно,
при
наличии
источника
напряжения
число
неизвестных и число необходимых уравнений сокращается.
Пример 1. Составить систему узловых напряжений для цепи, схема
которой изображена на рис. 1.6.
R5
R2
1
i0
R1
u1
2
R3
R4
3
u2
e
u3
0
Рис. 1.6.
В качестве базисного выбираем узел 0, к которому подключен
источник напряжения (можно базисным считать узел 3). Вводим узловые
напряжения
u1 , u 2 , u3 ,
как
показано
на
схеме.
По
правилам,
сформулированным выше составляем уравнения для первого и второго узла.
Уравнение для третьего узла составлять не требуется, так как его узловое
напряжение известно: u3  e .
Система имеет вид:
 1
1
1 
1
1
u1 

u2 
u3  i0
 
R
R
R
R
R
 1
2
5
2
5

 1 u   1  1  1 u  1 u  0.
 2 R 3
 R 1 R
2
 2 R3 R4 
4

Подставляя известное значение для u3 и перенеся известные величины
в правую часть, окончательно получим:
 1
1
1 
1
1

u1 


u 2  i0 
e,

R2
R5
 R1 R2 R5 

 1 u   1  1  1 u   1 e.
 2
 R 1 R
R4
2
 2 R3 R4 

При наличии в электрической цепи нескольких источников напряжения
необходимо выбрать базисный узел так, чтобы все источники напряжения
одним зажимом были подключены к нему. При этом число узловых
уравнений сокращается на число источников напряжения, т. е.:
N ур  N уз  1  N ин
Если такой базисный узел отсутствует, то задача разрешима при
определенных преобразованиях. При наличии в электрической цепи ветви с
источником напряжения и последовательно включенной проводимостью,
наиболее удобно произвести замену эквивалентным источником тока. При
этом
проводимость
источника напряжения.
рассматривается
как
внутреннее
сопротивление
i  eG12
e
G12
1
1
2
2
G12
Сема рис. 1.6 имеет семь элементов. По методу токов ветвей здесь
потребовалось бы составить шесть уравнений для шести неизвестных токов
(ток источника i0 задан). По методу узловых напряжений необходимо
составить только два уравнения.
В общем случае выигрыш, полученный в методе узловых напряжений,
тем больше, чем больше независимых контуров имеет цепь, поскольку число
необходимых уравнений уменьшается на величину, равную количеству
независимых контуров.
При использовании метода узловых напряжений целесообразно перед
составлением уравнений объединить в один элемент резисторы, соединенные
между собой простым узлом (т. е. последовательно), если такие узлы
имеются в схеме. Тогда в схеме остается меньше узлов и потребуется
составить меньшее число уравнений.
Пример 2. Составить систему уравнений для определения токов во
всех ветвях электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 1.3,
используя метод узловых потенциалов.
Выберем
направления
токов
в
ветвях электрической
цепи
и
пронумеруем узлы, как показано на рисунке 1.4. В качестве базисного
выберем узел с номером 3 и приравняем его потенциал к нулю.
Рисунок 1.4
С учетом выбранных направлений токов в ветвях для узла 1 по первому
закону Кирхгофа можно записать уравнение
 I1  I 2  I 4  0 ,
(1.7)
а для узла 2, соответственно – уравнение
 I 2  I 3  J1  0 .
(1.8)
Согласно обобщенному закону Ома токи в ветвях равны
3 1 E1 E11
 R ,
R1
1
(1.9)
1  2  E2
,
R2
(1.10)
3   2  E 3 E 3   2

,
R3
R3
(1.11)
I1 
I2 
I3 
I4 
1  3 1

,
R4
R4
(1.12)
где 1, 2, 3 – потенциалы в узлах 1, 2, 3 рассматриваемой электрической
цепи.
Подставим полученные выражения в уравнения (1.7), (1.8) и перенесем
слагаемые с источниками энергии в правую часть уравнений. Окончательно
получим систему линейных неоднородных уравнений, неизвестными в
которой являются потенциалы узлов
 1  1  1   1   E1  E2 , 
 R1 R2 R4  1 R2 2 R1 R2 
E2 E3 


1
1
1
 R 1   R  R  2  J 1  R  R .
2
 2
3
2
3 
(1.13)
Решив систему уравнений (1.13), можно найти потенциалы 1 и 2, а
подставив значения 1 и 2 в уравнения для токов (1.9) – (1.12) – найти токи в
ветвях электрической цепи.
Из сравнения систем уравнений (1.13) и (1.6) видно, что для одной и
той же электрической цепи система, составленная на основе метода узловых
потенциалов, содержит значительно меньше уравнений, чем система,
составленная на основе первого и второго законов Кирхгофа.
Задача 1. В схеме рис. 1.31 E1 = 60 В, E2 = 48 В, E3 = 6 В, R1 = 200 Ом, R2
= 100 Ом, r03 = 0,5 Ом, R3 = 9,5 Ом. Определить токи в ветвях схемы.
решение задачи 1
Вычисление узлового напряжения. Для схемы с двумя узлами напряжение
между ними можно подсчитать по формуле
где Еi – ЭДС i-й ветви, gi – ее проводимость
Подставляем числовые значения:
2. Расчет токов в ветвях
Токи определяем на основании закона Ома для ветви с источником:
напряжение на зажимах источника равно его ЭДС минус падение
напряжения на его внутреннем сопротивлении:
Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Найти узловые потенциалы и токи в ветвях схемы(рис.2.3).
Дано : E1 = 50 B , E2 = 20 B; R3 = R4 = Xc = 100 Oм; R2 = 50 Oм , R5 = 20 Oм .
Рис.2.3
Задача 2. Рассчитать токи методом узловых потенциалов в схеме Рис. 8.
Исходные данные: Е1= 22 В; Е2 = 24 В; Ез = 10 В; r01 = 0,2 Ом; r02 = 0 ;
r03 = 1,2Oм, R1 = 2 Ом; R2 = 1 Ом ; R3 = 8 Ом ; R4 = 4 Ом; R5=10 Ом; R6=6Ом.
Определить токи в ветвях.
Рис. 8
Задача 3. Найти токи в схеме рис. 106 с применением метода узловых
потенциалов. Дано:
Задача 4. Для электрической схемы Определить токи во всех ветвях
схемы методом узловых потенциалов.