По исходным данным, необходимо: - определить мгновенное значение исходного переходного тока или напряжения классическим методом; - определить мгновенное значение исходного переходного тока или напряжения операторным методом; - построить график изменения исходного переходного тока или напряжения во времени. Дано: Рис. 4.7. 7 вар. Е=70 В; L=10-2 Гн; C=10-5 Ф; R=5 Ом; Найти: iR=? Решение: Переходным называется процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Классический метод Отразим на схеме мгновенные токи iL, iC, iR и напряжения uL, uC, uR: Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе. В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов. Введем обозначения: k – число узлов схемы m – число ветвей, не содержащих источников тока В рассматриваемом примере k = 2, m = 3. Расчет и анализ сложной электрической цепи основан на уравнениях, составляемых по 1 и 2 законам Кирхгофа, в количестве, достаточном для решения системы. Все уравнения в системе должны быть независимыми. Число независимых уравнений, составляемых по 1 закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов: N óð ïî N óð ïî k 1 1ç. 1ç. 2 1 1 Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: m N óð ïî N óð ïî 2 ç. N óð ïî 2 ç. 1ç. m (k 1) 3 (2 1) 2 Независимость уравнений по второму закону Кирхгофа будет обеспечена, если контуры выбирать таким образом, чтобы каждый последующий контур отличался от предыдущего хотя бы одной новой ветвью. Для контура, содержащего ветвь с источником тока, уравнение не составляется. Направление обхода – произвольное. Уравнение по второму закону Кирхгофа для первого контура: E=uL+uC; (1) Уравнение по второму закону Кирхгофа для второго контура: 0=-uC+uR; (2) Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла «а»: iL- iC- iR=0; (3) Для R,L,C элементов схемы справедливы следующие соотношения, связывающие мгновенные напряжения и токи: diL (t ) dt ( 4) 1 iC (t )dt C (5) uL L uC uR iR (t ) R (6) Перепишем уравнения (1)-(3), используя соотношения (4)-(6): diL (t ) 1 E L iC (t )dt dt C 1 0 iC (t )dt iR (t ) R C iL (t ) iC (t ) iR (t ) 0 (7 ) (8) (9) Полученную систему решаем относительно искомой переменной iR(t). Из (9) имеем: diL (t ) diC (t ) diR (t ) 0 dt dt dt (10) Из (7) имеем: diL (t ) E 1 iC (t )dt dt L C (11) Используя (8), выражение (11) перепишем: diL (t ) E R iR (t ) dt L L (12) Также из (8) после преобразований получаем: diC (t ) d 2iR (t ) CR dt dt 2 (13) Далее, (12) и (13) подставляем в (10): E R d 2iR (t ) diR (t ) iR (t ) CR 0 L L dt 2 dt d 2iR (t ) L diR (t ) E LC i ( t ) R dt 2 R dt R (14) Получили (14)-линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение будем искать как сумму двух составляющих: iR (t ) iR.ñâ(t ) iR.âûí (t ) Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (14) заменой правой части нулю: d 2iR.ñâ(t ) L diR.ñâ(t ) LC iR.ñâ(t ) 0 2 dt R dt Характеристическое уравнение: (15) LCp 2 L p 1 0 R 107 p 2 0,2 102 p 1 0 D b 4ac 0,04 10 4 4 10 7 3,6 10 6 b D 0,2 10 2 1,8973 10 3 p1, 2 2a 2 10 7 p1 513,17; p2 19486,83; Решение iR.св(t) будет в виде: iR.ñâ (t ) A1 e p1t A2 e p2t iR.ñâ (t ) A1 e 513,17t A2 e 19486,83t Вторая составляющая iR.вын(t) называется вынужденной и представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (14) (с ненулевой правой частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой части уравнения. В частности, если правая часть константа, то и частное решение ищется в виде константы. Вынужденная составляющая называется установившейся и определяется при t: iR.вын(t)=E/R; Таким образом: iR (t ) A1 e p1t A2 e p2t E R Коэффициенты А1 и А2 найдем из начальных условий. Согласно первому закону коммутации, ток в индуктивной катушке не может изменяться скачкообразно: iL (0 _) iL (0 ) iL (0) E 2R Но при t=0 iL(0)=iR(0), т.к. последовательное соединение L и R. Тогда: E E A1 e0 A2 e0 2R R E A1 A2 (16) 2R Из (8) имеем: diR (t ) dt iC (t ) CR( A1 p1 e p1t A2 p2 e p2t ) iC (t ) CR При t=0 постоянный ток через конденсатор не течет: iC(t)=0: 0 CR( A1 p1 e 0 A2 p2 e 0 ) A1 p1 A2 p2 0 (17) E A1 A2 2R A1 p1 A2 p2 0 Из (16) и (17) составляем систему и решаем ее относительно А1 и А2: А2=0,1893 A1=-7,1893 Таким образом, получаем: iR (t ) 14 7,1893 e513,17t 0,1893 e19486,83t ( A) Операторный метод В основе операторного метода лежит преобразование Лапласа и операционное исчисление, известные из курса высшей математики. Операторный метод позволяет производить анализ переходных процессов при воздействии сигналов любой формы и не требует определения постоянных интегрирования, что существенно упрощает анализ электрических цепей, порядок которых выше чем первый. Решение задачи начинаем с изображения операторной цепи, которая соответствует послекоммутационному состоянию цепи Как известно, при ненулевых начальных условиях в соответствии со свойствами преобразования Лапласа, имеем: u L t L diL (t ) U L p pLI L p LiL 0 dt u 0 U C p pCI C p C p Что и отражено на схеме. Составляем систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа: uC (0) I C ( p) E i ( 0 ) pLI ( p ) (18) L p L p pC I ( p) uC (0) C U R ( p) (19) p pC I L ( p) I C ( p) I R ( p) (20) Выразим IL(p) из (20) и подставим в (18), решим относительно IC(p): CE LpCiL (0) CuC (0) p 2 LCI R ( p) I C ( p) 1 p 2 LC (21) Решим (19) относительно IC(p): I C ( p) RpCI R ( p) CuC (0) (22) Приравняв выражения (21) и (22), решим относительно IR(p): p 2 LCuC (0) pLiL (0) E I R ( p) (23) p( RLCp 2 pL R) Подставляя исходные данные и начальные значения, имеем: 0,35 10 5 p 2 0,07 p 70 I R ( p) p(5 10 7 p 2 10 2 p 5) (23) Из курса высшей математики известно, что если изображение F(p) искомой переменной определяется отношением двух полиномов F ( p) F1 ( p) bm p m bm1 p m1 ... b1 p b0 , F2 ( p) a n p n a n 1 p n 1 ... a1 p a0 ãäå m n, òî если один из корней уравнения F2(p)=0 (что мы имеем в нашем случае), т.е. F2(p)=pF3(p), то оригинал ищем в виде: f (t ) F1 (0) n F1 ( pk ) e pk t , F3 (0) k 1 pk F3( pk ) F1 ( p) 0,35 105 p 2 0,07 p 70 F3 ( p ) 5 10 7 p 2 10 2 p 5 F3 ( p) 0; 5 107 p 2 102 p 5 0 p1 513,167; p2 19486,832 F3( p ) 10 6 p 10 2 ãäå pk k é êîðåíü F3 ( p) F1 (0) 70; F3 (0) 5; F1 ( p1 ) F1 (513,17) 35; F3( p1 ) F3(513,17) 0,0094868; F1 ( p2 ) F1 (19486,83) 35; F3( p2 ) F3(19486,83) 0,0094868; iR (t ) 70 35 35 5 (513,17) 0,0094868 (19486,832) (0,0094868) 14 7,1893 e 513,17t 0,1893 e 19486,83t ( À) График зависимости iR(t) построен с использованием пакета MathCAD 2001 Pro: