§9 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 9.1 Понятие функции нескольких переменных Пусть каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из некоторой области D соответствует определенное число zER. Тогда z=f(x, y) называется функцией двух переменных x и y, x, y – независимыми переменными или аргументами, D – областью определения, а множество Е всех значений функции – областью ее значений. Геометрически область определения функции D представляет собой некоторую часть плоскости Оху, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой плоскости. Под графиком функции z двух переменных будем понимать поверхность, M(x,y,z) образованную множеством точек М(x, y, z) пространства, О x y координаты которых удовлетворяют уравнению z=f (x, y). Пример: Найти область определения функции z y 1 x y 4 2 2 . Данная функция определена при x2+y2-4<0, т.е. 2 для точек (х, у) плоскости Оху x О 2 должно выполняться неравенство x2+y2<4, что соответствует внутренней части окружности с R=2 и центром в начале координат. 9.2 Непрерывность функции нескольких переменных Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, y0), если ее предел в точке М0 равен значению функции в этой точке lim f ( M ) f ( M 0 ) или M M 0 lim f ( x, y) f ( x0 , y0 ). ( x , y )( x0 , y0 ) Функция непрерывная во всех точках некоторой области D, называется непрерывной в данной области. Точки, в которых функция не определена или не является непрерывной, называются точками разрыва функции. Свойства функций непрерывных в области D: 1. если функции f и g непрерывны в точке М0, то функции fg, fg и f /g (g(M0)0) непрерывны в точке M0; 2. Теорема Вейерштрасса: если функция f(M) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве D, то она ограничена на нем и достигает в некоторых точках М1 и М2 этого множества своих наибольшего и наименьшего значений. 9.3 Частные производные Пусть дана функция двух переменных z=f(x, y) определенная в области D и точка М0(x0, y0)D. Зафиксируем значения y, положив y=y0. При этом получим функцию z=f(x, y0) одной переменной х. Если эта функция при х=х0 дифференцируема, то lim x 0 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( M 0 ) f x( M 0 ). x x называемый частной производной функции z=f(x, y) по переменной х в точке М0(x0, y0). Аналогично определяются частные производные этой функции по переменной y: f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f ( M 0 ) lim f y ( M 0 ). y 0 y y Пример: Найти частные производные функции z=f(x, y) в точке М0(3,2), если z=x3y+xy2-2x+3y-1. z ( M 0 ) 3x 2 y y 2 2 x M0 56, z ( M 0 ) x 3 2 xy 3 y M0 42. Если функция z=f(x, y) дифференцируема в точке М0(x0, y0), то выражение f ( M 0 ) f ( M 0 ) dz ( M 0 ) dx dy. x y называется полным дифференциалом. Градиентом дифференцируемой функции z=f(x, y) в точке М называется вектор z ( M ) z ( M ) . grad z ( M ) , y x 9.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности Касательной gradu(N0 ) поверхности плоскостью S в ее точке к N0 называется плоскость, содержащая в N0 себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через S точку N0. Вектор u ( N 0 ) u ( N 0 ) u ( N 0 ) grad u ( N 0 ) , , y z x является вектором нормали для касательной плоскости и ее уравнение примет вид: z z0 f x( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). Нормалью к поверхности S в точке N0 называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку N0. Направляющим вектором для нормали является вектор grad u ( N 0 ) и каноническое уравнение нормали имеет вид: x x0 y y0 z z0 . f x( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1 Пример: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S: z=sinxcosy в точке N0(/4, /4, 1/2). f x( / 4, / 4) cos x cos y ( / 4, / 4 ) 1 , 2 1 f y ( / 4, / 4) sin x sin y ( / 4, / 4 ) . 2 Тогда уравнение касательной плоскости: 1 1 1 z x y 2 2 4 2 4 2z 1 x y 4 4 или x-y-2z+1=0, а уравнение нормали – x / 4 y / 4 z 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 или x / 4 y / 4 z 1/ 2 . 1 1 2 9.5 Экстремум функции многих переменных Теорема 9.1: (необходимое условие экстремума) если дифференцируемая функция z=f(x, y) имеет в точке М0(х0, у0) экстремум, то в этой точке выполняются равенства f ( M 0 ) 0, x f ( M 0 ) 0. y Теорема 9.2: (достаточное условие экстремума) пусть М0(х0, у0) – стационарная точка функции z=f(x, y) и в точке М0 существуют непрерывные производные второго порядка 2 f (M 0 ) A , 2 x 2 f (M 0 ) B , xy 2 f (M 0 ) C . 2 y I Если B2-AC<0, то в точке М0 имеем экстремум, при чем при A<0 М0 – точка максимума, а при A>0 М0 – точка минимума. II Если B2-AC>0, то в точке М0 экстремума нет. Пример: Исследовать на экстремум функцию z=x2+xy+y2-2x-3y. Найдем частные производные z\x=2x+y-2, z\y=x+2y-3. Решая систему 2 x y 2 0 x 2 y 3 0 находим стационарную точку M0(1/3, 4/3). А=2z(М0)\x2=2>0, B=2z(М0)\xy=1, C=2z(М0)\у2=2. Т.к. B2-AC=-3<0 и А>0, то M0(1/3, 4/3) – точка минимума и zmin=-7/3. 9.6 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области Пусть функция z=f(x, y) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D с границей Г и дифференцируема во всех ее внутренних точках. Тогда в силу теоремы Вейштрасса существуют точки M1 и M2, в которых функция f принимает наибольшее и наименьшее значение, т.е. f ( M 1 ) max f ( x), f ( M 2 ) min f ( x). xD xD Точки M1 и M2 следует искать среди стационарных точек функции f внутри области D или среди точек, принадлежащих границе Г. Сравнив наибольшее и наименьшее значения функции f в стационарных точках с наибольшим и наименьшим значением функции f на границе Г, найдем искомый максимум и минимум функции f в области D. Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2+y2-xy+x+y в области, ограниченной линиями x=0, y=0, x+y=-3. y А -3 М4 Решив систему М3 О М2 М1 -3 В z / x 2 x y 1 0 z / y 2 y x 1 0 находим стационарную точку М1(-1, -1). z1(М1)=-1. Исследуем данную функцию на границах области. На прямой ОВ: х=0 имеем z=y2 +y и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [-3, 0]. Находим z y 2 y 1 0, у = -1/2, z y 2. Получили точку локального минимума М2(0, -1/2), в которой z2(М2)= -1/4. На концах отрезка ОВ z3(0, 0)=0 и z4(0, -3)=6. На прямой ОА: у=0 имеем z=х2 +х. Находим zх 2 х 1 0, х = -1/2, z х 2. Получили точку локального минимума М3(-1/2, 0), в которой z5(М3)=-1/4. На концах отрезка ОА z6(-3, 0)=6. На прямой АВ: у=-3-х имеем z=3х2 +9х+6. Находим zх 6 х 9 0, х = -3/2, z х 6. Получили точку локального минимума М4(-3/2, -3/2), в которой z7(М4)=-3/4. Сравнивая все полученные значения z, получаем, что zнаиб=6 достигается в точках А(-3, 0) и В(0, -3), а zнаим=-1 в стационарной точке М1(-1, -1).