Решение задач оптимального планирования

Решение задач оптимального
планирования
Постановка задачи и ее геометрическое
решение
Практикум по решению задач
(геометрический способ)
Решение задач средствами MS Excel
Постановка задач оптимального
планирования
Имеется набор плановых показателей {X};
Имеется набор ресурсов {R}, за счет которых эти плановые
показатели могут быть достигнуты, и заданы ограничения по
каждому виду ресурсов
Имеется определенная стратегическая цель, зависящая от
значений плановых показателей, на которую следует
ориентировать планирование.
ОПТИМАЛЬНЫМ
ПЛАНОМ
будет
набор
значений
плановых показателей, соответствующих достижению
стратегической цели.
Для решения задачи оптимального планирования надо построить
математическую модель рассматриваемого процесса, т.е.
перевести его на язык чисел, формул, уравнений и других
средств математики.
2
Математическое моделирование в
задачах оптимального планирования
Формулировка задачи
Станция технического обслуживания автомобилей выполняет два вида
обслуживания: ТО-1 и ТО-2. Автомобили принимаются в начале рабочего дня
и выдаются клиентам в конце дня. В силу ограниченности площади стоянки за
день можно обслужить в совокупности не более 140 автомобилей. Рабочий
день длится 8 часов. Если бы все автомобили проходили только ТО-1, то
мощности станции позволили бы обслужить 200 автомобилей в день, если бы
все автомобили проходили только ТО-2, то 50 автомобилей в день. Стоимость
(для клиента) ТО-2 вдвое выше, чем ТО-1. Реально за день часть
автомобилей проходит ТО-1, а часть — ТО-2. Требуется составить такой
дневной план обслуживания, чтобы обеспечить предприятию наибольшие
денежные поступления.
3
Математическое моделирование в
задачах оптимального
планирования
Математическая модель
Плановые
показатели:
x (машин) – дневной план выполнения ТО-1
y (машин) – дневной план выполнения ТО-2
Ограничения:
Длительность рабочего дня – 8 часов
Вместимость стоянки – 140 мест
Целевая
функция:
f ( x, y )  x  2 y

 x  4 y  200
 x  y  140


x  0
 y  0
Найт и значение плановых показат елей x и y,
удовлет воряющих сист еме ограничений и придающих
максимальное значение целевой функции.
4
200
Геометрический способ решения
150
100
A
50
y1
y2
B
М
y3
F1
F2
0
-10
D
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
F3
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240
C
-50
-100
5
-150
Общая формулировка задач линейного
программирования
Требует ся
найт и
значение
нескольких
неизвест ных т ак, чт обы:
1. эти значения должны быть неотрицательны;
2. эти значения должны удовлетворять системе
линейных уравнений или неравенств;
3. при этих значениях некоторая линейная
функция имела минимум (или максимум).
6
Существование и единственность
решения: геометрические соображения
Пусть переменные х, у удовлетворяют ограничениям-неравенствам
a1 x  b1 y  c1
a x  b y  c
 2
2
2


am x  bm y  cm
и стандартным ограничениям х > О, у > О.
Требуется отыскать экстремум (для определенности — максимум)
линейной функции
f  x   y
7
Различные ситуации совместности системы
ограничений
Случаи единственности и множественности решений
8
Практикум по решению задач
геометрическим способом
Цель: Построить математическую модель и найти
решение задачи геометрическим способом.
Задачи №1-4 из технологической карты.
9
Решение задач № 1-4
Задача
№1
Плановые
показатели
х
у
5
6,5
Значение
целевой
функции
16,6
№2
100
200
1600
№3
1
3
11
№4
57
12
10560
10
Ответьте на вопросы
1. Как выглядит в наиболее общей постановке задача
планирования экономической деятельности? Что такое
целевая функция и система ограничений.
2. Как
ставится
в
общем
виде
задача
линейного
программирования?
3. В каких случаях возможно решить задачу линейного
программирования геометрически?
4. Какие существуют варианты наличия решения задачи
линейного программирования?
11
Различные ситуации совместности системы
ограничений
Случаи единственности и множественности решений
12
Надстройка «Поиск решения»
13
Формулировка задачи
Станция технического обслуживания автомобилей выполняет два вида
обслуживания: ТО-1 и ТО-2. Автомобили принимаются в начале рабочего
дня и выдаются клиентам в конце дня. В силу ограниченности площади
стоянки
за
день
можно
обслужить
в
совокупности
не
более
140
автомобилей. Рабочий день длится 8 часов. Если бы все автомобили
проходили только ТО-1, то мощности станции позволили бы обслужить
200 автомобилей в день, если бы все автомобили проходили только ТО-2,
то 50 автомобилей в день. Стоимость (для клиента) ТО-2 вдвое выше, чем
ТО-1. Реально за день часть автомобилей проходит ТО-1, а часть — ТО-2.
Требуется составить такой дневной план обслуживания, чтобы обеспечить
предприятию наибольшие денежные поступления.
14
Математическая модель
Плановые
показатели:
x (машин) – дневной план выполнения ТО-1
y (машин) – дневной план выполнения ТО-2
Ограничения:
Длительность рабочего дня – 8
часов
Вместимость стоянки – 140 мест
Целевая
функция:
f ( x, y )  x  2 y

 x  4 y  200
 x  y  140


x  0
 y  0
Найт и значение плановых показат елей x и y,
удовлет воряющих сист еме ограничений и придающих
максимальное значение целевой функции.
ПРИМЕР
15
Практическая работа
Цель: Используя построенную математическую
модель, исследовать ее с помощью средств
табличного
процессора
Excel,
применяя
надстройку «Поиск решения».
Решите задачи из технологической карты.
Обязательный уровень: Задачи № 1-4
Повышенный уровень: дополнительно решить не
менее одной задачи из № 5-7
16
Решение задач
Задача
Плановые
показатели
х
у
Значени
е
целевой
функции
№1
№2
№3
5
100
1
6,5
200
3
16,6
1600
11
№4
№5
57
12
10560
1250
550
34500
№6
1250
400
26750
№7
60
40
8080
17