использование линейных операторов для приведения кривой

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ПРИВЕДЕНИЯ
КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Н.А. Минигулов
ФГБОУ «Шадринский государственный педагогический институт»,
г. Шадринск
Руководитель: ст. преподаватель Еланцева Т.И.
Вопрос о кривых второго порядка встаёт, когда мы на плоскости
рассматриваем некоторое геометрическое место точек, задаваемое уравнением
a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2  2b1 x  2b2 y  c  0 (*)
вида:
Из такого выражения довольно проблематично сразу определить вид
кривой, её свойства, не говоря уже о вычислении эксцентриситета, фокуса и
других не менее важных параметров. Легко определить вид линии и ее свойства
по каноническому уравнению. Привести данное уравнение к каноническому
виду можно разными способами.
Геометрически приведение кривой к каноническому виду состоит из двух
этапов:
1. Поворот системы координат, цель которого освободиться от
слагаемого xy.
2. Параллельный перенос системы координат, цель которого
освободиться от слагаемых с x и с y.
Покажем как для этой цели могут быть использованы линейные
операторы.
Чтобы освободиться от слагаемого с xy рассмотрим часть уравнения, где
все слагаемые имеют вторую степень a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2 . Выражения такого
вида
n
 aij xi x j
можно считать квадратичной формой. Приведем квадратичную
i, j
форму к каноническому виду с помощью ортогональных преобразований, тем
самым освободимся от слагаемого 2a12 xy .
Затем выделяем полные квадраты так, чтобы у нас исчезли
соответствующие слагаемые первой степени.
Теперь рассмотрим, как эти шаги выполнять на практике.
Во-первых, составляем матрицу квадратичной формы:
a12 
a
 .
A   11
a
a
 12
22 
Далее находим собственные числа матрицы , для этого решаем
уравнение A  E  0 ( – единичная матрица).
 1,2 - корни этого уравнения, собственные числа матрицы .
Зная собственные числа, находим собственные векторы из следующих
уравнений:
a12   x1   0 
 a11  i

    
a22  i   x2   0 
 a12
где  i - i-е собственное число, а xi и yi - соответствующие координаты
собственного вектора, который соответствует i-му собственному числу.
Собственный вектор определён с точностью до его длины. Т.е. все векторы,
сонаправленные какому-либо собственному вектору, также являются
собственными векторами.
Для наших целей необходимы ортонормированные собственные вектора,
т.е. такие, которые удовлетворяют условию: xi2  yi2  1 (модуль вектора равен
единице). Матрица перехода выглядит следующим образом:
 x x2 

U   1
y
y
 1
2
Это – матрица поворота. Она производит следующее действие:
 1 0 

U  AU  

0

2


2
то есть приводит выражение a11 x  2a12 xy  a22 y 2 к виду 1 x '2  2 y '2
(квадратичную форму к каноническому виду).
С помощью следующего действия находим новые коэффициенты при
переменных первой степени
x x
b1 b 2  1 2   b1 x1  b2 y1 b1 x2  b2 y2  b1' b2'
 y1 y 2 
После всех преобразований уравнение (*) примет вид:


 1 x ' 2   2 y ' 2  2b '1 x  2b ' 2 y  c  0
Далее переходим ко второму этапу – собираем полные квадраты каждой
из переменных:
2
2
 ' b1' 
 ' b2' 
 1 x    2  y    c '  0
1 
2 


где
b   b 
c c
' 2
1
'
1
' 2
2
2
Далее делаем замену:
x x 
b1'
b2'
y y 
.
1
2
И после подстановки получаем уравнение вида:
''
'
''
'
1 x ' ' 2  2 y ' ' 2  c '  0 .
Существует всего девять типов кривых второго порядка.
Собствен ные
значения
Уравнение после первого шага
Тип линий и ее
каноническое уравнение
x2 y2

 1;
a2 b2
x2 y2
мнимый эллипс 2  2  1 ;
a
b
2
2
x
y
гипербола 2  2  1 ;
a
b
пара действительных
пересекающихся прямых
x2 y2

 0;
a2 b2
пара мнимых пересекающихся
x2 y2
прямых

0
a2 b2
парабола y 2  2 px ,
эллипс
 1 0
 2 0
 1 x ' 2   2 y ' 2  2b '1 x  2b ' 2 y  c  0
 1 x ' 2   2 y ' 2  2b '1 x  2b ' 2 y  c  0 , b1'  0
или
'2
'2
'
 1 x   2 y  2b 1 x  2b ' 2 y  c  0 , b2'  0
1  2  0
 1 x ' 2  2b '1 x  c  0
или
'2
 2 y  2b ' 2 y  c  0
( x 2  2 py )
пара действительных
параллельных
x2
y2
прямых 2  1 , ( 2  1 );
a
b
пара мнимых параллельных
x2
y2
прямых 2  1 , ( 2  1 )
a
b
пара совпадающих прямых
x2  0 , ( y 2  0 )
Пример. Линия второго порядка задана общим уравнением
25 x  14 xy  25 y 2  64 x  64 y  224  0 . Определить, какая это линия и
изобразить ее.
Решение.
Рассмотрим члены второго порядка из уравнения (квадратичную форму)
 25  7 
25 x 2  14 xy  25 y 2 , матрица этой квадратичной формы 
 .

7
25


Приведем квадратичную форму к каноническому виду ортогональным
25  
7
преобразованием:
 0 . 2  50  576  0 . 1  18, 2  32 .
7
25  
Находим нормированные собственные векторы для 1 и 2 .
2
 7  7  x   0

       .
  7 7   y   0
Собственный вектор: a  (1,1) .
7 x  7 y  0
 x  y.

7 x  7 y  0
1  18
Нормируем: a  a  a  1  1  2.
  7  7  x   0

       .

7

7

  y   0
Собственный вектор b  (1,1) .
2  32
1
 1 1 
a 
,
.
2
2
2


 7 x  7 y  0
 x  y  0  x  y.


7
x

7
y

0

1
1 
 1
b  
,
.
2
2
 2
1 
 1



2
2

.
U
1
1




2 
 2
1  64
64  1  1 
64 
   0 
b1' b2' 
  


2  1 1  
2 2
2 2
128
y   224  0 .
Уравнение линии будет таким: 18 x 2  32 y  2 
2
Выделим полные квадраты:
18 x2  32( y  2 ) 2  288 .
y
Нормируем: b  b  b  1  1  2.


Тогда x  x, y   2  y .
Уравнение линии примет вид:
18 x 2  32 y  2  288
или
x”
y’ ( y”)
x’
O”
O
x
x 2 y  2

 1 - каноническое
16
9
уравнение эллипса.
Изобразим
первоначальную
систему O x y , систему после
поворота O x y  и после
параллельного
переноса






O x y . В последней системе
строим эллипс с полуосями 4 и
3 единицы.
Литература
1. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры
[Текст]./ Д.В.Бекленищев. - М.: Наука, 1980.
2. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике [Текст]./ Л. А.
Кузнецов. - М.: Высшая школа, 1983.