Рабочая терадь 1 семестр.

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Часть I
Студента ____________________________
(Фамилия И.О.)
____________________________
(Фамилия И.О.)
Группа _________
Вариант № ________
Оценка ________________________
Оценка ________________________
Преподаватель__________________
Преподаватель__________________
Введение
Рабочая тетрадь состоит из 7 заданий по темам «Матрицы»,
«Определители»,
«СЛАУ»,
«Векторная
алгебра»,
«Аналитическая
геометрия» и «Линейное программирование».
Каждому студенту предлагается индивидуальный вариант. Решение
задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в
строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных.
Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием.
Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа
данной задачи.
При оформлении рабочей тетради студент должен переписать условие
соответствующей задачи, написать подробное решение, выделив ответ.
2
Действия над матрицами
Определение. Матрицей размера
m  n называется прямоугольная
таблица из чисел aij , где i  1,2, m, j  1,2, n ,
 a 11 a 12
a 1n 


a 21 a 22
a 2n 

Aij  
,


a
 m1 a m 2

a mn 
состоящая из m строк и n столбцов.
Определение. Произведением  A матрицы A  (aij ) на число 
называется матрица B  (bij ) , элементы которой bij    aij. .
Для матрицы размера 2 2 справедливо равенство
a
a12    a11  a12 
  11
(1.1)
 .
  
 a21 a22    a21  a22 
Определение. Суммой (разностью) матриц A  (aij ) и B  (bij ) размера
m  n называется матрица C  (cij ) того же размера, каждый элемент которой
равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц A и B :
cij  aij  bij , i  1,2, m, j  1,2, n .
Для матриц размера 2 2 :
 a11 a12   b11 b12   a11  b11 a12  b12 
(1.2)
  


  
 a21 a22   b21 b22   a21  b21 a22  b22 
Определение. Произведением A B матрицы A  (aij ) размера m  n на
матрицу B  (bij ) размера n  k называется матрица C  (cij ) размера m  k ,
элемент которой cij , стоящий в i -ой строке и j -ом столбце, равен сумме
произведений соответствующих элементов i -ой строки матрицы A и j -ого
столбца матрицы B :
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j   ainbnj , i  1,2, m, j  1,2, n .
Для матриц размера 2 2 :
 a11 a12   b11 b12   a11b11  a12b21 a11b12  a12 b22 
(1.3)
  
 .

  
a
a
b
b
a
b

a
b
a
b

a
b
21
22
21
22
21
11
22
21
21
12
22
22

 
 

T
Определение. Матрица A , полученная из данной матрицы A , заменой
строк столбцами с теми же данными, называется транспонированной к
данной.
Для матрицы размера 2 2 :
T
 a11 a12   a11 a21 
(1.4)

 
.
 a21 a22   a12 a22 
Задание 1
Найдите матрицу C , если
3

C  ABT  2 AT ,
A


,



.

B

Решение:
Найдем транспонированные матрицы, используя формулу (1.4),



T
, B  


AT  


.

Вычислим произведение матриц по формуле (1.3)




ABT  

 

 
 

 

.

Используем формулу (1.1)

 

 
2 AT  2 


.

По формуле (1.2)

C 

 
 
 
 

 

.


Ответ: C  


.

Определители
 a11
Пусть A  
 a21
a12 
 , тогда определитель матрицы А вычисляется по
a22 
формуле
A
Пусть
 a11

A   a21
a
 31
a11 a12
 a11  a22  a12  a21 .
a21 a22
(2.1)
a12 a13 

a22 a23  , тогда определитель матрицы А можно
a32 a33 
вычислить по формуле
Задание 2

а) Вычислить определитель матрицы A  

Решение:
Используем формулу (2.1)
4

.

A





.
Ответ: A 


б) Вычислить определитель матрицы B  


.


.


Решение:
Используем формулу (2.2)
B


Ответ: B 
.
Матричные уравнения
Вид матричного уравнения
Вид решения
X  BA1
XA  B
X  A1B
AX  B
X  A1BC 1
AXC  B
Обратная матрица A1 для матрицы A порядка 2 2 находится по
1
формуле A1   A* , где A* – союзная матрица.
A
 A11
A*  
 A12
A21 
,
A22 
– алгебраические дополнения, вычисляемые по
Aij
Aij  (1) i  j Mij , где Mij – определитель, получающийся из
определителя матрицы A вычеркиванием i -той строки и j -ого столбца.
формуле
Задание 3
Решить матричное уравнение.

 

 
X


.

Решение:
Введем обозначения. Матрицу в левой части уравнения обозначим

через A  



 , а в правой – через B  


Найдем определитель матрицы A :
5

.

A





 0,
значит A1 существует. По виду матричного уравнения определим вид его
решения, используя таблицу. Таким образом, X  B A1 .
Найдем союзную матрицу
A11  (1) 

, A12  (1) 

,
A21  (1)
 A11


, A22  (1)


.
A21  

A22  

.

 A12
Обратную матрицу к матрице A , вычислим по формуле:
 

1
1 
A1   A*   

.
A

 

Тогда A*  
Искомая матрица

 

 
X  BA1  

 

 
 

 

.

Проверка
Подставим полученную матрицу X в исходное уравнение

XA  




 

 
 

 

.


Ответ: X  


.

4. Метод Крамера
Пусть дана система уравнений
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ,

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 ,
a x  a x  a x  b .
32 2
33 3
3
 31 1
Выпишем основную матрицу из коэффициентов перед неизвестными
 a11 a12 a13 


A   a21 a22 a23 
a

 31 a32 a33 
и матрицу-столбец свободных членов
 b1 
B   b2  .
b 
 3
a11 a12 a13
Вычислим главный определитель A  a21 a22 a23 .
a31 a32 a33
6
Если A  0 , то система уравнений имеет единственное решение,
которое можно найти по формулам Крамера. Вычислим определители
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
A1  b2 a22 a23 , A2  a21 b2 a23 , A3  a21 a22 b2 .
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
Неизвестные найдем по формулам
A
A
A
x 1 , y 2 , z 3 .
A
A
A
Для проверки правильности решения подставляем найденные
неизвестные во все уравнения системы.





Задание 4
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера
 ,
 ,
 .
Решение:
Составим матрицу A из коэффициентов при неизвестных


A




.


Найдем определитель матрицы A
A


Составим матрицу B из правой части уравнений системы (столбец
свободных членов)

B  




.


Составим матрицу A1 , заменив первый столбец матрицы A на матрицустолбец B , и вычислим ее определитель
A1 


Аналогично составим матрицу A2 и A3 , вычислим их определители
7
A2 


A3 


Найдем неизвестные x, y, z по формулам Крамера
A
x 1   ,
A
y
A2

A

,
z
A3

A

.
Проверка














,
,
.
Ответ: x  , y  , z  .
Векторы. Геометрия
Теорема. Пусть даны два вектора a  {xa ; ya ; za}, b  {xb ; yb ; zb}, тогда
1) a  b  {xa  xb ; ya  yb ; za  zb},
(6.1)
2)   a  {  xa ;   ya ;   za},
(6.2)
3) два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их
координаты пропорциональны:
xa  ya  za .
xb yb zb
Длина вектора a  {xa ; ya ; za} находится по формуле
a  xa 2  ya 2  za 2 .
(6.3)
Определение. Скалярным произведением векторов a  {xa ; ya ; za} и
b  {xb ; yb ; zb}называется число, равное произведению длин этих векторов на
косинус угла между ними
(a, b)  a b cos  ,
(6.4)
8
где  – угол между векторами a и b .
Замечание. Скалярное произведение векторов
b  {xb ; yb ; zb} можно вычислить по формуле
a  {xa ; ya ; za} и
(a, b)  xa xb  ya yb  za zb .
(6.5)
Координаты точки E, середины отрезка AB , находятся по формуле
E  xa  xb ,
 2

ya  yb za  zb 
,
.
2
2 
(6.6)
Замечание. Все формулы приведены для трехмерного пространства. В
случае
двумерного
пространства
использовать
формулы
без
пространственной переменной z.
Уравнение
A  ( x  x0 )  B  ( y  y0 )  C  ( z  z0 )  0
(6.7)
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,
определяет
плоскость,
проходящую
через
точку
перпендикулярно вектору n  {A, B, C} .
Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) параллельно
вектору s  {l, m, p} , имеет вид
x  x1 y  y1 z  z1
l
Каноническое уравнение
M1( x1, y1, z1) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) :

m
прямой,

.
p
проходящей
(6.8)
через
две
x  x1 y  y1 z  z1


.
x2  x1 y2  y1 z2  z1
точки
(6.9)
Векторы. Прямая и плоскость в пространстве
Задание 5
Даны координаты точек A( , , ), B( ,
, ), C(
, , ),
D( , , ) .
Требуется найти:
1) координаты векторов AB, AC, AD и a  AB  2 AC  4 AD , длины этих
векторов;
2) угол между векторами AB и AC ;
3) уравнение плоскости по вектору нормали AD и точке А;
4) уравнение прямой BC .
Решение
1) Найдем координаты векторов AB, AC, AD . Для этого из координат
конца вектора вычтем координаты начала
AB  {  ;  ;  }  { ; ; } ,
AC  {

;

;
9

}{
;
;
},
AD  {

;

;

}{
;
;
}.
Напомним, во-первых, чтобы умножить вектор на число, нужно каждую
координату вектора умножить на это число, во-вторых, чтобы сложить два
вектора, необходимо сложить их координаты (см. формулы (6.1), (6.2)).
a  AB  2 AC  4 AD  { ; ; }  2{ ; ; }  4{ ; ; } 
{
;
;
} {
;
;
} {
;
;
} {
;
;
}
{
;
;
} {
;
;
}.
2) Вычислим скалярное произведение векторов AB и AC по формуле
(6.5)
( AB, AC) 

    
Найдем длины векторов BA и BC по формуле


АB 




,
AC 




.

.
По формуле (6.4) вычислим косинус угла α между векторами AB и AC
cos  
( AB, AC )

AB  AC


Таким образом, угол между векторами AB и AC
  arccos(cos )  arccos( ) 
 .
.
3) Подставим координаты точки А и вектора AD  { ; ; } в формулу
(6.7), получим
 (x 
)
( y 
)
 (z 
)0.
Приведем полученное уравнение к общему виду:
4) Координаты точек B и C подставим в формулу (6.9)
x
y
z


,



x
y
z


.
Векторы и геометрия на плоскости
Уравнение вида
Ax  By  C  0
(7.1)
называется общим уравнением плоскости, проходящей перпендикулярно
вектору n  {A, B} . Используя общее уравнение прямой можно найти
расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой l : Ax  By  C  0
10
 (M 0 , l )  | Ax0 2By0 2 C | .
A B
(7.2)
Уравнение прямой, проходящей через точку M1( x1, y1) перпендикулярно
вектору n  {A, B} , находится по формуле
A  ( x  x1 )  B  ( y  y1 )  0 .
(7.3)
Уравнение прямой, проходящей через точку M1( x1, y1) параллельно
вектору s  {l, m} , можно найти по формуле
x  x1 y  y 1

.
(7.4)
l
m
Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки
M1( x1, y1, z1) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) :
x  x1 y  y1

.
x2  x1 y2  y1
Уравнение вида
y  k xb,
(7.5)
(7.6)
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
Замечание. С помощью элементарных преобразований можно перейти
от одной формы записи уравнения прямой к другой.
Задание 6
Дан треугольник АВС, его вершины имеют координаты A( , ), B( , ),
C( , ). Найдите:
1) длину стороны АВ;
2) общие уравнения сторон АВ и ВС, их угловые коэффициенты;
3) косинус внутреннего угла при вершине В;
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты СD;
6) точку пересечения прямых AE и CD;
7) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно стороне
АВ;
Изобразить все прямые, указанные в задании.
Решение
1)
Найдем координаты вектора AB , для этого из координат точки В
вычтем координаты точки А:
AB  {

;

}{
;
}.
Длина вектора находится по формуле (6.3)
.
AB 



11
2) Аналогично пункту 1, найдем координаты вектора BC
BC  {

;

}{
;
}.
Составим уравнение прямой AB по формуле (7.4)
x

y
.
Приведем уравнение полученной прямой к общему виду, используя
правило пропорции
x    (y  ).
Перенесем все в правую часть равенства, раскроем скобки и приведем
подобные слагаемые
x   (y  )  0,
x
y
 0,
x
y
 0.
Получили общее уравнение прямой AB: x
y
 0.
Полученное уравнение приведем к виду (7.6). Выразим из уравнения
прямой AB переменную y через x:
.
y
x
Коэффициент перед переменной x является угловым коэффициентом прямой
AB: kAB= .
Составим уравнение прямой BС формуле (7.4)
x
y

.
x

x

x
x
Общее уравнение прямой BС:
x
(y 
).
(y 
)  0,
y
 0,
y
 0.
y
 0.
Полученное уравнение приведем к виду (7.6). Выразим из уравнения
прямой BС переменную y через x:
y
x
.
Коэффициент перед переменной x является угловым коэффициентом прямой
BС: kBС= .
12
3)
Внутренний угол при вершине образован векторами BA и BC .
Найдем координаты вектора BA
BA  {


;
}  { ; }.
Из пункта 2: BC  { ; } .
Вычислим скалярное произведение векторов BA и BC по формуле (6.5)
(BA, BC) 






Найдем длины векторов BA и BC
BА 



,
BС 



.
.
По формуле (6.4) найдем косинус внутреннего угла при вершине В
cos B 
( BA, BC )

BA  BC


 .
4)
Точка Е является серединой отрезка BС. Ее координаты найдем
по формуле (6.6)

E


2
,

2
 

 
2
,



2

,
.
Составим уравнение прямой AE по формуле (7.5)
x

y
.
Приведем полученное уравнение к общему виду:
5) Используя координаты точки C 
,

и координаты вектора
;
},
который перпендикулярен искомой CD , найдем ее
уравнение по формуле (7.3)
 (x 
)
( y 
)  0.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые
AB  {
x
y
y
CD : x
Длина высоты это расстояние от точки C 
лежит точка D , то есть до прямой AB .
Выпишем уравнение прямой AB :
Используя формулу (7.2), найдем
13
 0,
 0.
,  до прямой, на которой
 (C , AB)  |



2



2
Длина высоты CD =

| |

| |
|



.
6) Для нахождения точки пересечения N прямых AE и CD, составим
систему уравнений
 0,
 0.



Найдем x, y . Выразим из первого уравнения системы x и подставим его
во второе уравнение. Решим уравнение относительно y
=0
y=
Подставим
y=
,
в первое уравнение и найдем x .
x=
.
Точка N имеет координаты

.
,
7) Так как искомая прямая параллельна вектору AB {
используя его координаты и координаты точки C 
найдем уравнение прямой
x

y

} , тогда
по формуле (7.4)
.
8) По координатам точек A( , ), B( , ),C(
ABC.
14
,
;
, ) построим треугольник
Алгоритм графического метода
Рассмотрим задачу линейного программирования
min (max) z  c1x1  c2 x2 ,
a11x1  a12 x2  b1,
a x  a x  b ,
22 2
2
 21 1 ...

am1x1  am 2 x2  bm .
1. Изобразить область допустимых решений. Если эта область – пустое
множество, то задача недопустимая.
2. Построить вектор n  c1; c2  . Его можно отложить от начала
координат.
3. Построить линию уровня, т.е. прямую, перпендикулярную вектору n ,
пересекающую область допустимых решений.
4. Линию уровня перемещайте по направлению вектора n в задаче на
максимум, и против направления этого вектора в задаче на минимум до
положения опорной прямой (прямая, содержащая только граничные точки
фигуры и не имеющая общих внутренних точек с той же фигурой).
5. Если такого положения достигнуть невозможно, т.е. линия уровня
уходит на бесконечность, то задача не ограничена: min z   или
max z   .
6. Если положение опорной прямой достигнуто, то угловая точка (или
точки, если их несколько) области допустимых решений, которая лежит на
опорной прямой, является точкой максимума или минимума, соответственно.
Найти координаты этой точки (или точек), как точки пересечения прямых,
значение целевой функции в этих точках и записать ответ.
Задание 7. Решите задачу min  max  z 
,
15



,
,
x1  0, x2  0.
(1)
(2)
Решение
Построим область допустимых решений. В системе (1), (2) заменим
знаки неравенств на знаки равенств

Построим прямые по двум точкам
(1)
x1
x2


(2)
x1
x2
Подставим точку (0,0) в ограничение (1), получим ______________
верное (неверное)
неравенство, что является ___________ неравенством, поэтому стрелкой
истинным (ложным)
обозначим полуплоскость, __ содержащую точку (0,0).
(не)
Аналогично подставим точку (0,0) в ограничение (2), получим
________________ неравенство, что является ______________ неравенством,
верное (неверное)
истинным (ложным)
поэтому стрелкой обозначим полуплоскость, __ содержащую точку (0,0).
(не)
16
Строим вектор n из точки (0;0) в точку ( ; ). Изобразим линию уровня,
проходящую через допустимое множество. Передвигаем в направлении
вектора n .
Точка Е – это крайняя точка области допустимых решений, через
которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора n .
Поэтому Е – это точка максимума целевой функции.
Определим координаты точки Е из системы уравнений ограничений.


, (1)


. (2)

x1 
, E
, x2 
.
;

Наибольшее значение: max z  z  E  
.
Если перемещать линию уровня в противоположном направлении, то
получим точку минимума A(
.
,
) : min z  z  A 
Ответ: max z  z  E  
min z  z  A 
17
,
.
Вариант 1
 1 2
 3 6 
1. A  
, B 
.
 3 2 
5 1 
1 2 3
 2 3


2.1. A  
 2.2. B   2 3 2 
 1 4 
3 2 1


 1 2   3 2 



3
2

 5 1
3 x  2 y  z  5

4. 2 x  3 y  z  1
2 x  y  3 z  11

3. X 
Задания
Вариант 2
 4
1. A  
 2
 1 3
5
, B 
.
0
 5 1 
 1 2
3
 7 11


2.1. A  
 2.2. B   2 4 4 
 1 2 
 4
7 0 

 2
5  1 3



2
0

  5 2 
3. X 
 x  2 y  3z  6
4. 2 x  3 y  4 z  20
3x  2 y  5 z  6

5. А (1;–1), В (4; 3), С (5; 1).
6. А (1; 2; 1), В (–1; 5; 1), С (–1; 2; 7),
D (1; 5; 9).

4,
7. z  x1  x2 , 5x1x2 xx2  10
.
 1 2
x1  0, x2  0.
5. А (0; –1), В (3; 3), С (4; 1).
6. А (2; 3; 2), В (0; 6; 2), С (0; 3; 8),
D (2; 6; 10).

7. z  2 x1  x2 , 34xx1  2xx2 4,6.
2
 1
x1  0, x2  0.
Вариант 3
 2 6 
 1
4
1. A  
, B  

 1 2 
 2 1 
0 3
2
 3 4 


2.1. A  
 2.2. B   7 4 1
 2 7
 1 2 2 


Вариант 4
9 1 
 7 2 
1. A  
, B 

 0 2 
 1 1 
4 x  3 y  2 z  9
4. 2 x  5 y  3z  4
5 x  6 y  2 z  18

 1 1 2 
 8 1


1
2.1. A  
 2.2. B   3 1
 13 5 
 1 1 4 


 2
1  0 4 
3. X 


 1 2   2 1
 x  y  2 z  1
4. 2 x  y  2 z  4
4 x  y  4 z  2

5. А (1; – 2), В (4; 2), С (5; 0).
6. А (0; 3 ; 2), В (–2; 6; 2), С (–2; 3; 8),
D (0; 6; 10)

7. z  x1  x2 , 54xx1  25 xx2  10,
2 20.
 1
x1  0, x2  0.
5. А (2; –2), В (5; 2), С (6; 0).
6. А (2; 1; 2), В (0; 4; 2), С (0; 1; 8),
D (2; 4; 10)

6,
7. z  2 x1  3x2 , 32xx1  43xx2  12
.
2
 1
x1  0, x2  0.
 2
6 1 4


 1 2   2 1
3. X 
18
Вариант 5
 3 2
 3 1 
1. A  
, B 
.
1
 3 2 
 5
 2 3 2 
 1 6 


2.1. A  
 2.2. B   3 6 0 
 4 4 
 1 0 2 


 5 6   1 3
3. X 


 6 7   2 1
2 x  y  z  4
4 3x  4 y  2 z  11
3x  2 y  4 z  11

5. А (0; 0), В (3; 4), С (4; 2).
6. А (1; 3; 1), В ( –1; 6; 1), С (–1; 3; 7),
D (1; 6; 9).

7. z  2 x1  4 x2 , 5xx1  x2 x2 5.4,
 1 2
x1  0, x2  0.
Вариант 7
 2 2 
 4 1
1. A  
, B  
.
 1 3 
 3 1
 9 1 1
 13 2 


2.1. A  
 2.2. B   0 2 1 
 12 1 
 1 3 5 


 3 4   3 4 


2
3

  3 1 
x  y  z  1
4. 8 x  3 y  6 z  2
4 x  y  3z  3

Вариант 6
 8  1
 0 2 
1. A  
, B
.
 3 2 
6 3 
 1 1 7 
 7 12 


2.1. A  
 2.2. B   3 0 2 
 1 2 
 6 2 1


 2 1  2 1 


 1 1   1 1
3x  4 y  2 z  8
4. 2 x  y  z  4
x  5 y  z  0

3. X 
5. А (0; 1), В (3; 5), С (4; 3).
6. А (1; 2; 2), В (–1; 5; 2), С (–1; 2; 8), D (1; 5;
10).
 x  3x  9,
7. z  2 x1  x2 , 31x  42x  12.
2
 1
x1  0, x2  0.
Вариант 8
 1 2 
 6 3 
1. A  
, B 
.
 3 2 
 7 3 
 1 2 4 
9 2 


0 1
2.1. A  
 2.2. B   2
 5 1
 1 8
1 

 2 16   7 1 


0

2

  2 1
 x  4 y  2 z  3
4. 3x  y  z  5
3x  5 y  6 z  9

3. X 
3. X 
5. А (3; –2), В (6; 2), С (7; 0).
6. А (2; 3; 0), В (0; 6; 0), С (0; 3; 6),
5. А (3; –3), В (6; 1), С (7; –1).
6. А (2; 2; 1), В (0; 5; 1), С (0; 2; 7),
D (2; 6; 8).
D (2; 5; 9).

7. z  7 x1  2 x2 , 5x41x 3xx2 15,
1
2 4.

x1  0, x2  0.
 x  x  5,
7. z  4 x1  6 x2 , 41x  27 x  28.
2
 1
x1  0, x2  0.
19
Вариант 9
 1 3 
 2 3 
1. A  
, B 
.
 5 4 
 2 2 
 0 5 4 
 2 3 


3
2.1. A  
 2.2. B   1 2
 9 4
 3 9 1 


 3 1  5 4 
3. X 


 1 1   4 0 
Вариант 10
 9 2
 3 2 
1. A  
, B 
.
1
 3 0 
 4
1 0 5 
 1 3


2.1. A  
 2.2. B   4 6 1
 7 5
 3 10 2 


7 x  5 y  31
4. 4 x  11z  43
2 x  3 y  4 z  20

5. А (–1; 1), В (2; 5), С (3; 3).
6. А (2; 3; 1), В(0; 6; 1), С (0; 3; 7),
D (2; 6; 9).
 x1  7 x2  21,
7. z  4 x1  4 x2 , 3
5 x1  4 x2  20.
 x  2 y  4 z  31

4. 5 x  y  2 z  20
3 x  y  z  9

5. A (4; 0), В (7; 4), С (8; 2).
6. А (2;2; 2), В (0; 5; 2), С (0; 2; 8),
D (2; 5; 10).
 x  3 x  9,
7. z  3x1  4 x2 , 41x  x2  4.
 1 2
x1  0, x2  0.
5
8  4 4 


 1 2   2 1
3. X 
x1  0, x2  0.
20