1 Индивидуальные задания Задача 1 Пусть в универсальном множестве U заданы три непустые взаимно пересекающихся множества A , B , C следующим образом: 8. Изобразить множество C \ B A B \ C . Задача 2 Произвести действия над комплексными числами z1 2 i , z 2 i , z3 1 i , z 4 2 i , z5 1 3i . z 4 z1 10. z 2 z3 Задача 3 Найти корни уравнения 12. z 3 3 3i ; Задача 4 Найти общий делитель многочленов и представить его в линейной форме. f ( x ) x 4 x 3 3 x 2 4 x 1, g ( x) x 3 x 2 x 1 . 8. Задача 5 Даны две матрицы A и B . Найти: а) AB ; б) BA ; в) A1 ; г) AA1 ; д) A1 A . 2 1 3 2 1 2 A 8 7 6 B 3 5 4 3 1 4 2 2 1 1. , . Задача 6 Дан определитель. 1) Найти миноры и алгебраические дополнения элементов ai 2 , a3 j . 2) Вычислить данный определитель а) разложив его по элементам первой строки; б) приведением определителя к треугольному виду; в) методом опорного элемента. 3 1 2 3 4 1 2 4 1 1 1 1; 4 1 2 5 8. i 1, j 3 Задача 7 Найти ранг матрицы. 15. 1 2 3 0 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 0 2 3 1 2 2 4 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 2 3 1 2 3 Задача 8 Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса. 4 x1 x2 3x3 1, 12. 3x1 x2 x3 2, x 2 x3 5. 1 Задача 9 Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. 4 x1 x2 10 x3 0, 8. x1 2 x2 x3 0, 2 x 3x 4 x 0. 2 3 1 Задача 10 Найти ФСР и общее решение системы уравнений. 12. 6 x1 3x2 2 x3 3x4 4 x5 0, 4 x1 2 x2 x3 2 x4 3x5 0, 2 x x x x x 0. 2 3 4 5 1 Задача 11 По координатам точек A, B, C для указанных векторов найти: а) модуль вектора a ; б) скалярное произведение векторов a, b ; в) проекцию вектора c на вектор d ; г) координаты точки M , делящей отрезок l в отношении / . 11.12 A(10,6,3), B(2,4,5), C (3,4,6), а 5 АС 2СВ , b с ВА, d AС , l СВ , 1, 5. Задача 12 Написать разложение вектора x по векторам p, q , r . 12.1 x 2, 0, 9, p 0, 1, 2, q 1, 0, 1, r 1, 2, 4. Задача 13 Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах a и b , p, q - угол между векторами p, q . 13.8 a p q, b p 4q , p 7, q 1, pq 4. Задача 14 Компланарны ли векторы a , b , c ? 14.15 15 Задача a 3, 5, 1, b 2,1, 2, c 1, 2, 1. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 , A2 , A3 , A4 и его высоту, опущенную из A4 на грань A1 A2 A3 . 15. 8 A1 5, 2,1, A2 4, 5, 4, A3 8, 3, 3, A4 7,12, 4. 2 Индивидуальные задания Задача 1 Даны вершины треугольника АВС : А(4,3), В(3,3), С (2,7) . Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы АМ; г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; е) расстояние от точки С до прямой АВ. 1.8 А(4,3), В(7,3), С (1,10) . Задача 2 Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы ( А, В - точки лежащие на кривой, F - фокус, a большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось, эксцентриситет, y kx - уравнение асимптот гиперболы, d - директриса кривой, 2c - фокусное расстояние). 2.10 а) 7 / 8, A(8,0) ; б) A(3, 3 / 5 ), B( 13 / 5 ,6) ; в) d : y 4 . Задача 3 Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе координат. 1 2 sin . 3.12 Задача 4 Даны четыре точки A1 x1 , y1 , z1 , A2 x2 , y 2 , z 2 , A3 x3 , y3 , z3 , A4 x 4 , y 4 , z 4 . Составить уравнения: а) плоскости A1 A2 A3 ; б) прямой A1 A2 ; в) прямой A4 M перпендикулярной плоскости A1 A2 A3 ; г) прямой A4 N , параллельной прямой A1 A2 ; Вычислить: е) синус угла между прямой A1 A4 и плоскостью A1 A2 A3 ; ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1 A2 A3 . A1 6,1,1, A2 4,6,6, A3 4,2,0, A4 1,2,6. 4.8 Задача 5 Найти расстояние от точки M 0 до плоскости, проходящей через точки M 1 , M 2 , M 3 . M 2 4, 8, 1, M 3 2,1, 3, M 0 9,10, 2. 5.1 M1 0, 7, 4, Задача 6 Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей. 3x 4 y 3z 1 0, 6.8 2 x 4 y 2 z 4 0. Задача 7 Найти координаты точки, симметричной точке относительно заданной прямой. x 0,5 y 1 z 4 P 1, 0,1, 7.15 . 0 0 2 P Задача 8 Записать уравнение и определить вид поверхности, полученной при вращении данной линии вокруг указанной оси координат, сделать рисунок. 8.12 а) 5 x 2 6 z 2 30 , Ox ; б) x 3, z 2 , Oy . Задача 9 Найти координаты вектора x в базисе e1 , e2 , e3 , если он задан в базисе e1 , e2 , e3 . e1 e1 e2 2 3e3 , e2 2e1 e2 , 9.8 e e e e , 1 2 3 3 x 12, 3, 1. Задача 10 Пусть V R 3 заданы три вектора v1 ,v2 , v3 . Выяснить, образуют ли элементы v1 ,v2 , v3 базис в R 3 , и если да, то найти координаты строки x в базисе v1 , v2 , v3 . 10.12 v1 2,0,1, v2 1,3, 1, v3 0,4,1, x 5, 5,5. Задача 11 Пусть V1 u1 , u2 , u3 R 4 (линейная оболочка строк u1 , u 2 , u 3 ), V2 v1 , v2 , v3 R 4 (линейная оболочка строк v1 , v 2 , v3 ). Найти базисы линейных пространств V1 V2 и V1 V2 , при этом строки u1 , u 2 , u3 , v1 , v2 , v3 выразить через базис пространства V1 V2 . u3 1, 1, 0, 0 , 11.12 u1 1, 0 , 1, 1 , u 2 1, 1, 1, 0 , v3 1, 0 , 2 , 2 . v1 1, 0, 0, 0 , v2 0, 2, 1, 1 , Задача 12 Найти собственные векторы и собственные значения симметричного оператора f , действующего в евклидовом пространстве 5 и имеющего в ортонормированном базисе e1 , e2 , e3 матрицу Ae . 3 5 1 12.1 Ae 2 3 0 . 0 0 2 Задача 13 Выяснить, можно ли матрицу A линейного оператора действительного пространства R 3 привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, и если можно, то найти этот базис и соответствующую ему диагональную матрицу. 5 2 2 A 6 7 2 ; 13.8 6 6 1 Задача 14 Привести, если возможно, действительные матрицы A1 и A2 к диагональному виду и построить для них канонические разложения. 1 1 1 3 5 1 A2 2 3 0 . 14.15 A1 0 1 1 , 0 0 1 0 0 2 Задача 15 Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму двух переменных x1 , x2 . 15.8 f x1 , x2 4 x12 3 x1 x2 x22 .