Содержание Теоретическая часть 1 Введение

Содержание
Введение
3
1
Теоретическая часть
1.1
Основные определения
5
1.2
Матричная запись квадратичной формы
8
1.3
Изменение квадратичной формы при линейном однородном
преобразовании переменных
10
1.4
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
14
1.5
Свойство корней характеристического уравнения
симметрической вещественной матрицы
1.6
Свойство собственных векторов симметрической
вещественной матрицы
1.7
1.9
25
Нахождение ортогонального преобразования, приводящего
квадратичную форму к каноническому виду
30
Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости
35
1.10 Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве
2
24
Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную
форму к каноническому виду
1.8
22
Практическая часть
41
45
Заключение
53
Список используемой литературы
54
2
Введение.
Арифметическая теория квадратичных форм берет свое начало с
утверждения Ферма о существовании простых чисел суммой двух квадратов.
Теория квадратичных форм впервые была развита французским
математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории,
в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью
которого
им
была
доказана
конечность
числа
классов
бинарных
квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория была
значительно расширена Гауссом, который ввел много новых понятий, на
основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких
теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области.
Изучение основ теории квадратичных форм вызывает ряд трудностей
методического
характера, обусловленных
существованием
нескольких
различных подходов к построению этой теории. Принятое изложение,
основанное на теории унитарных и евклидовых пространств, и содержит
единый подход к изучению симметричных и эрмитовых форм.
При изучении квадратичных форм необходимо знание классических
понятий теории унитарных и евклидовых пространств и основных свойств
самосопряженных и унитарных (ортогональных) линейных операторов.
Общими обозначениями являются: Р – основное поле, под которым мы
будем понимать поле комплексных чисел С или поле действительных чисел
R. а – комплексное число, сопряженное к комплексному числу а (а=а,а,R); |а|
- модуль комплексного числа а. L – линейное пространство над полем Р. В
случае, когда размерность линейного пространства L=n (L=Ln) будем
считать L унитарным (при P=C) или евклидовым (при P=R) пространством,
так как на любом конечном пространстве Ln над полем C или R можно
определить скалярное произведение. Для любых векторов x, y – Ln(x,y)
обозначает их скалярное произведение.
Целью курсовой работы является рассмотрение квадратичной формы
и упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости.
3
Перейдем к краткой характеристике содержания курсовой работы,
посвященной некоторым вопросам теории неопределенных бинарных
квадратичных форм.
В теоретической части работы приводятся предварительные общие
сведения о квадратичных формах.
В практической части курсовой работы представляется решение задач
по заданной теме.
4
Глава 1. Теоретическая часть
1.1 Основные определения
Пусть даны n переменных x1, х2, …, хn, принимающих числовые
значения. Рассмотрим всевозможные парные произведения xixj (i=1, 2, ... , n;
j=1, 2, …, n) и составим сумму
а x 2  a x x  ...  a x x 
11 1
12 1 2
1n 1 n
2
 a x x  a x  ...  a x x 
21 2 1 22 2
2n 2 n
......................................................
 a x x  a x x  ...  a x 2 
n1 n 1 n2 n 2
nn n
n n
   a xx ,
ij i j
i 1 j 1
где аij – некоторые числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля. Эта
сумма называется квадратичной формой n переменных х1, х2, …, хn и
обозначается L(x1, x2, …, xn).
Таким образом,
n
n
L( x1 , x2 ,..., xn )   aij xi x j
(1.1)
i 1 j 1
Числа аij называются коэффициентами квадратичной формы. В
дальнейшем будем рассматривать квадратичные формы с вещественными
коэффициентами. Такие формы называются вещественными. Кроме того,
будем считать, что областью изменения каждой из переменных хi (i=l, 2, ... ,
n) является множество всех вещественных чисел.
Квадратичную
форму
можно
записать
в
таком
виде,
чтобы
коэффициенты при хiхj и xjxi (i  j) были равны между собой. Действительно,
так как xjxi=хiхj, то
aij xi x j  a ji x j xi  (aij  a ji ) xi x j 
1
1
(aij  a ji ) xi x j  (aij  a ji ) x j xi
2
2
В дальнейшем будем считать, что в квадратичной форме (1.1)
aij  a ji
(1.2)
Из коэффициентов квадратичной формы составим матрицу
5
 a11
a
A   21
 ...

an1
a12
a22
...
an 2
... a1n 
... a2 n 
.
... ... 

... ann 
В силу равенства (1.2), в матрице А равны между собой элементы,
расположенные симметрично относительно главной диагонали.
Матрица, у которой равны элементы, расположенные симметрично
относительно главной диагонали, называется симметрической.
Для того чтобы матрица была симметрической, необходимо и
достаточно, чтобы AT  A , где AT - матрица, транспонированная к матрице А.
Из
вышесказанного
соответствует
следует,
единственная
что
всякой
симметрическая
квадратичной
форме
матрица.
Всякой
симметрической матрице соответствует единственная квадратичная форма с
точностью до обозначения переменных.
Симметрическую матрицу
 a11 a12
a
a22
A   21
 ... ...

an1 an 2
... a1n 
... a2 n 
,
... ... 

... ann 
составленную из коэффициентов квадратичной формы, будем называть
матрицей этой квадратичной формы.
Заметим, что вещественной квадратичной форме соответствует матрица
с вещественными элементами.
Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.
Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица
невырожденная.
Очевидно, что ранг невырожденной квадратичной формы равен числу
переменных этой формы.
Так как квадратичные формы являются функцией n независимых
переменных с одной и той же областью определения, то две квадратичные
6
формы L1(x1, х2, .... , хn) и L2(x1, х2, ..., хn) равны тогда и только тогда, когда
они имеют одинаковые матрицы.
Пример 1. Квадратичная форма
L( x1 , x 2 , x3 )  4 x12  2 x1 x 2  x1 x3  x 22  3x32
имеет матрицу
1

 4 1 2 
 1 1
0 ,
1

0  3

 2

и ранг ее равен 3.
Пример 2. Матрице
 1 2 3 
 2 5  1


 3  1 0 
соответствует квадратичная форма
L( x1 , x 2 , x3 )  x12  5 x 22  4 x1 x 2  6 x1 x3  2 x 2 x3
переменных x1, x2 и x3.
7
1.2 Матричная запись квадратичной формы
Пусть дана квадратичная форма
n
n
L( x1 , x2 ,..., xn )   aij xi x j
i 1 j 1
Матрица А этой квадратичной формы согласована со столбцевой матрицей
 х1 
х 
Х   2
 ... 
 
 хn 
Произведение АХ является столбцевой матрицей размеров n  1. Матрица
X T  ( x1 , x2 ,..., xn )
согласована
с
матрицей
АХ.
Произведение
ХТАХ
представляет матрицу первого порядка, единственный элемент которой равен
n
n
 a x x
i 1 j 1
ij i
j
,
т.е. данной квадратичной форме.
Таким образом,
X T AX  ( L( x1 , x2 ,..., xn )).
Матрицу первого порядка (а11) часто отождествляют с ее элементом а11.
Учитывая это, можно записать
L( x1 , x2 ,..., xn )  X T AX .
Выражение X T AX представляет матричную запись квадратичной формы.
Заметим, что выражение X T AX является матричной записью квадратичной
формы и в том случае, когда А – несимметрическая матрица. Однако, в этом
случае А не является матрицей квадратичной формы.
Пример 1. Дана квадратичная форма
L( x1 , x 2 , x3 )  2 x12  3x 22  x32  8 x1 x 2  2 x1 x3 .
Записать ее в матричном виде.
Решение. Матрица данной квадратичной формы
8
2 4 1
A  4  3 0 .
1 0 1
Следовательно,
2 4 1  x1 
L( x1 , x 2 , x3 )  x1 x 2 x3  4  3 0  x 2  .
1 0 1  x3 
Пример 2. Дана квадратичная форма
 2 2,5  x1 
L( x1 , x2 )  x1 x2 
  .
2,5  3  x2 
Записать ее в виде (1.1.1).
Решение. Произведение
x1 x2  
2 2,5
  2 x1  2,5 x 2 2,5 x1  3x2  .
2,5  3
Следовательно,
x 
L( x1 , x2 )  2 x1  2,5 x2 2,5 x1  3x2   1   2 x12  3x22  5 x1 x2 .
 x2 
9
1.3 Изменение квадратичной формы
при линейном однородном преобразовании переменных
Пусть переменные х1, х2, …, хn полученные из переменных у1, у2, …, уn
линейным однородным преобразованием РВ с матрицей В, т.е.
x1  b11 y1  b12 y2  ...  b1n yn ,

x2  b21 y1  b22 y2  ...  b2 n yn , 

...................................................

xn  bn1 y1  bn 2 y2  ...  bnn yn
(1.3)
или в матричном виде Х=ВY.
Рассмотрим квадратичную форму
n
n
L( x1 , x2 ,..., xn )   aij xi x j
(1.4)
i 1 j 1
или
L( x1 , x2 ,..., xn )  X T AX
Если в квадратичную форму (1.4) вместо переменных х1, х2, …, хn
подставить их выражения через у1, у2, …, уn из соотношений (1.3), то получим
квадратичную форму L(y1, y2, …, yn) с некоторой матрицей C. Будем говорить,
что квадратичная форма L(x1, x2, …, xn) преобразованием (1.3) переводится в
L(y1, y2, …, yn).
Если L(x1, x2, …, xn) переводится в L(y1, y2, …, yn) невырожденным
линейным однородным преобразованием PB, то существует невырожденное
линейное однородное преобразование PB-1, которое переводит L(y1, y2, …, yn)
в L(x1, x2, …, xn).
Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует
невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну из
них в другую.
Если L(x1, x2, ... , хn) и L1(y1, y2, ... , yn) конгруэнтны, то будем писать L(x1,
x2, ... , хn) ~ L1(y1, y2, ... , yn).
Имеют место следующие свойства:
1. L(x1, x2, ... , хn) ~ L1(y1, y2, ... , yn)
10
Действительно,
невырожденным
однородным
линейным
преобразованием, переводящим квадратичную форму в самое себя, является
тождественное преобразование.
2. Если
L(x1, x2, ... , хn) ~ L1(y1, y2, ... , yn)
и
L(y1, y2, ... , yn) ~ L2(z1, z2, ... , zn),
то
L(x1, x2, ... , хn) ~ L2(z1, z2, ... , zn).
Справедливость этого свойства следует из того, что произведение
невырожденных линейных преобразований есть также невырожденное
линейное однородное преобразование.
Теорема 1. Матрица квадратичной формы L1(y1, y2, ... , yn), полученной
из квадратичной формы L(x1,x2,...,хn) линейным однородным преобразованием
X=BY, равна BTAB, где А – матрица квадратичной формы L.
Доказательство: Подставив X=BY в данную квадратичную форму
L(x1, x2, ... , хn)=XTAX,
получим
L1(y1, y2, ... , yn)=(BY)TA(BY)=(YBBT)A(BY)
или
L1(y1, y2, ... , yn)=YTCY,
где C=BTAB.
Так как CT=(BTAB)T=(BT(AB))T=(AB)T(BT)T=BTATB=BTAB=C,
то C – симметрическая матрица. Таким образом, матрица C=BTAB является
матрицей квадратичной формы L1(y1, y2, ... , yn).■
Следствие. Определители матриц конгруэнтных невырожденных
квадратичных форм имеют одинаковые знаки.
Так как матрицы А и С двух конгруэнтных квадратичных форм связаны
соотношением C=BTAB, где В – невырожденная матрица, то
det C=det(BTAB)=det BT det A det B=(det B)2det A.
11
Следовательно, det C и det A имеют одинаковые знаки.
Теорема 2. Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые
ранги.
Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1 и из того, что ранг
матрицы не меняется при умножении ее слева или справа на невырожденную
матрицу.
Пример 1. Дана квадратичная форма
L( x1 , x2 )  2 x12  4 x1 x2  3x22 .
Найти квадратичную форму, полученную из данной преобразованием
x1  2 y1  3 y 2 

x2  y1  y 2 
Решение. Матрица данной квадратичной формы
2 2 
A
,
2  3
а матрица преобразования
2  3
B
.
1 1 
Следовательно, матрица искомой квадратичной формы
 2 1 2 2  2  3  13  17
C  B T AB  
,



3 
 3 1 2  3 1 1   17
а квадратичная форма имеет вид
L1 ( x1 , x2 )  13 y12  34 y1 y 2  3 y 22 .
Пример 2. Дана квадратичная форма
L( x1 , x2 )  17 x12  12 x1 x2  8x22
Найти квадратичную форму, полученную из данной преобразованием
x1  y1 
x2  y 2
6 
y2 
17 

Решение. Матрица данной квадратичной формы
17 6
A
,
 6 8
12
а матрица преобразования
6

1  
B
17 .
0
1 

Следовательно, матрица искомой квадратичной формы
 1
С 6
 17
6  17 0 
0 17 6 
1   


17   0 100  ,
1  6 8 
1  
17 

0
а квадратичная форма имеет вид
L1 ( y1 , y 2 )  17 y12 
100 2
y2 .
17
13
1.4 Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Квадратичная форма
n
n
 a x x
i 1 j 1
ij i
j
называется канонической (иначе говоря, имеет канонический вид), если все
aij=0 при i  j.
Следовательно, каноническая квадратичная форма имеет вид
n
a11 x12  a22 x22  ...  ann xn2   aii xi2 ,
i 1
а ее матрица является диагональной.
Заметим, что любая квадратичная форма одной переменной
L( x1 )  a11 x12
является канонической.
Квадратичная форма
L( x1 , x2 )  2 x12  3x1 x2  x22
не является канонической, а форма
L( x1 , x2 )  3x12  2 x22
является.
Каноническая
форма
называется
нормальной,
если
каждый
ее
коэффициент, отличный от нуля, по абсолютной величине равен единице.
Например, каноническая форма
L( x1 , x 2 , x3 , x 4 )   x12  x 22  x 42
является нормальной. Здесь a11  1, a22  1, a33  0, a 44  1 .
Нахождение
по
данной
квадратичной
форме
конгруэнтной
ей
канонической квадратичной формы называется приведением квадратичной
формы к каноническому виду.
Теорема 1. Для любой квадратичной формы существует конгруэнтная
ей каноническая квадратичная форма.
Доказательство:
Для
квадратичной
формы
одной
переменной
L( x1 )  a11 x12 теорема справедлива в силу свойства 1 (п.1.3).
14
Для доказательства теоремы применим метод полной математической
индукции. Предположим, что теорема справедлива для всех квадратичных
форм m переменных, где m≤n-1. Докажем, что она справедлива для
квадратичной формы n переменных.
Для квадратичной формы
n
n
L( x1 , x2 ,..., xn )   aij xi x j
(1.5)
i 1 j 1
возможны два случая.
1. Хотя бы один из коэффициентов аii (при квадратах переменных)
отличен от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что а11≠0. Этого
всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных.
В данной квадратичной форме выделим члены, содержащие х1, и
запишем ее в виде
L( x1 , x 2 ,..., x n )  (a11 x12  2a12 x1 x 2  2a13 x1 x3  ...  2a1n x1 x n )  L1 ( x 2 , x3 ,..., x n ),
где L1(x2, x3, …, xn) – квадратичная форма, вообще говоря (n-1)-й переменной.
(В частном случае L1(x2, x3, …, xn) может быть квадратичной формой
переменных, число которых меньше n-1.)
Выражение, стоящее в скобке, преобразуем следующим образом:
a11 x12  2a12 x1 x2  2a13 x1 x3  ...  2a1n x1 xn 
 a11 ( x12  2

1
x1 (a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn ) 
a11
1
1
(a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn ) 2  2 (a12 x2 
2
a11
a11
 a13 x3  ...  a1n xn ) 2 ) 
1
(a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...
a11
...  a1n xn ) 2  L2 ( x2 , x3 ,..., xn ).
Следовательно,
L( x1 , x 2 ,..., x n ) 
1
(a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n ) 2  L3 ( x 2 , x3 ,..., x n ),
a11
где L3(x2, x3, …, xn)=L1(x2, x3, …, xn)+L2(x2, x3, …, xn).
Заметим, что (a11x1+a12x2+…+a1nxn)=
1 L
.
2 x1
15
По индуктивному предположению, для формы L3(x2, x3, …, xn)
существует конгруэнтная каноническая форма. Следовательно, существует
невырожденное линейное однородное преобразование РВ
y 2  b22 x 2  b23 x3  ...  b2 n x n , 
y 3  b32 x 2  b33 x3  ...  b3n x n , 

..................................................
y n  bn 2 x 2  bn3 x3  ...  bnn x n , 
переводящее L3(x2, x3, …, xn) в каноническую форму. Тогда преобразование
y1  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn , 
y 2  b22 x2  ...  b2 n xn , 

.................................................
y n  bn 2 x2  ...  bnn xn 
(1.6)
переводит данную квадратичную форму в каноническую:
n
L4 ( y1 , y2 ,..., yn )   ai yi2
(1.7)
i 1
Преобразование (1.6) является невырожденным, так как его матрица
a11 a12
0 b
22

 ... ...

 0 bn 2
... a1n 
... b2 n 
... ... 

... bnn 
невырожденная. Следовательно,
L( x1 , x2 ,..., xn ) ~ L4 ( y1 , y 2 ,..., y n ) .
2. Все коэффициенты аii=0. Этот случай сводится к предыдущему.
Пусть некоторый коэффициент aij≠0 (i≠j). Существует невырожденное
преобразование, например, преобразование
x1  y1 , 

.....................
xi 1  y i 1 , 

xi  y i  y j , 

xi 1  y i 1 , 
.....................

xn  y n , 
16
переводящее квадратичную форму (1.5) в квадратичную форму, у которой
коэффициент при y i2 отличен от нуля. ■
Легко показать, что в квадратичной форме (1.7) число коэффициентов ai,
отличных от нуля, равно рангу r квадратичной формы. Поэтому любую
квадратичную форму можно привести к каноническому виду
n
 z
i
i 1
2
i
,
где βi≠0 (i=1, 2, …, r); r – ранг квадратичной формы.
Заметим, что если квадратичная форма L(x1, x2, …, xn) является
невырожденной, то конгруэнтная ей каноническая форма имеет вид
n
a y
i 1
i
2
i
,
где все ai≠0.
Теорема 2. Для любой вещественной квадратичной формы существует
конгруэнтная ей нормальная форма.
Доказательство: Пусть квадратичная форма L(x1, x2, …, xn) приведена к
каноническому виду
L1 ( y1 , y 2 ,..., y n )  b11 y12  ...  brr y r2 ,
где r≤n и bii≠0 (i=1, 2, …, r).
Применив невырожденное преобразование
b11 y1 , 

..................... 

z r  brr y r , 

z r 1  y r 1 

......................

zn  yn ,

z1 
получим нормальную каноническую форму L2(z1, z2, …, zn). Следовательно,
L(x1, x2, …, xn) ~L2(z1, z2, …, zn). ■
При
доказательстве
теоремы
1
получен
практический
способ
приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый
способом
Лагранжа.
Невырожденное
преобразование,
приводящее
17
квадратичную форму к каноническому виду, при этом может быть получено
как произведение преобразований, применяемых в методе Лагранжа.
Итак, для любой вещественной квадратичной формы существует не
единственная конгруэнтная каноническая формы.
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму
L( x1 x 2 x3 )  x12  3x1 x 2  4 x1 x3  2 x 2 x3  x32 .
Решение. Так как среди коэффициентов aii есть отличные от нуля, то
приведение к каноническому виду можно осуществить следующим образом.
Данную квадратичную форму представим в виде
1

 1
L( x1 , x 2 , x3 )   x12  x1 (3x 2  4 x3 )  (3x 2  4 x3 ) 2   (3x 2  4 x3 ) 2  2 x 2 x3  x32 
4

 4
2
2
3
9
3
9
32
256 2 




  x1  x 2  2 x3   x 22  8 x 2 x3  3x32   x1  x 2  2 x3    x 22  x 2 x3 
x3  
2
4
2
4
9
81





2
2
64 2
3
9
16 
37 2



x3  3x32   x1  x 2  2 x3    x 2  x3  
x3
9
2
4
9 
9


Невырожденное преобразование
y1  x1 
3
16
x 2  2 x3 , y 2  x 2  x3 , y 3  x3
2
9
приводит данную квадратичную форму к каноническому виду
L1 ( y1 , y 2 , y 3 )  y12 
9 2 37 2
y2 
y3 .
4
9
Пример 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму
L( x1 , x2 , x3 )  4 x1 x2  5x2 x3 .
Решение. Так как все коэффициенты aii=0, то сначала применим
преобразование
x1 
1
1
( y1  y 2 ) , x 2  ( y1  y 2 ) , x3  y 3 .
2
2
В результате получим
L1 ( y1 , y 2 , y 3 )  y12 
5
5
y1 y 3  y 22  y 2 y 2 .
2
2
Так как в этой квадратичной форме коэффициент при y12 отличен от нуля, то
18
L1 ( y1 , y 2 , y 3 )  ( y1 
5
5
y3 ) 2  ( y 2  y3 ) 2 .
4
4
Применив преобразование
5 
y3
4 

5 
z 2  y 2  y3 
4 
z 3  y3



z1  y1 
получим
L2 ( z1 , z 2 , z 3 )  z12  z 22  0 z 32 .
Итак, невырожденное преобразование
5

x3 
4

5 
z 2   x1  x 2  x3 
4 
z 3  x3



z1  x1  x 2 
приводит квадратичную форму к каноническому виду.
Кроме метода Лагранжа, существуют и другие методы приведения
квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим метод Якоби,
который применим в случае, когда все главные миноры матрицы
квадратичной формы отличны от нуля. Этот метод заключается в
следующем.
Пусть дана квадратичная форма
L(x1, x2, …, xn)=XTAX.
Предположим, что главные миноры ∆1, …, ∆n матрицы А отличны от
нуля. Можно доказать, что тогда существует единственное невырожденное
однородное преобразование переменных вида
x1  y1  a 21 y 2  a31 y 3  ...  a n1 y n , 
x2 
y 2  a32 y 3  ...  a n 2 y n , 

x3 
y 3  ...  a n 3 y n , 
...........................................................

xn 
y n , 
19
приводящее данную квадратичную форму к каноническому виду
n
 y
i
i 1
где λ1=∆1,  j 
j
 j 1
2
i
,
, j=2, …, n.
(1.8)
Коэффициенты этого преобразования определяются по формуле
aij  (1) j 1,i
 j 1,i
,
 j 1
(1.9)
где ∆j-1, – минор матрицы A, расположенный на пересечении строк этой
матрицы с номерами 1, 2, …, j-1 и столбцов с номерами 1, 2, …, i-1, i+1, …, j.
Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму
L( x1 , x 2 , x3 )  2 x12  3x 22  x32  4 x1 x 2  2 x1 x3  2 x 2 x3 .
Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид
 2 2 1 
A   2 3  1 ,
 1  1 1 
а ее главные миноры Δ1=2, Δ2=2, Δ3=1. по формулам (1.8) имеем:
1  2 , 2  1, 3 
Следовательно,
данная
1
.
2
квадратичная
форма
приводится
к
каноническому виду, имеет вид
x1  y1   21 y 2   31 y3 

x2 
y 2   32 y3 
x3 
y3 
Использовав формулы (1.9), получим
 21  (1) 3
 31  (1) 4
 32  (1) 5
1,1
 2,1
2
 2, 2
2
1


2
 1,
2
2 1
3 1

2
1
 ,
2
2
1
 2 1
2
0.
20
Таким образом,
x1  y1  y 2 
x2  y 2
x3  y 3
1 
y3
2 





21
1.5 Свойство корней характеристического уравнения
симметрической вещественной матрицы
Если С – матрица, элементы которой, вообще говоря, являются
комплексными числами, то можно ввести понятие матрицы, сопряженной
данной.
Матрицей
С,
сопряженной
матрице
С,
называется
матрица,
элементами которой являются числа, сопряженные соответствующим
элементам матрицы С.
Из определения следует, что если элементы матрицы С будут
c kj  a kj  i kj , то элементами матрицы С являются числа c kj  a kj  i kj , где
i  1 .
Легко видеть, что имеют место следующие соотношения.
1. С  C , если С – вещественная матрица.
2. С  B = С + B .
3. СB = С B .
4. С  C , где λ – число.
Теорема.
Корни
характеристического
уравнения
вещественной
симметрической матрицы являются вещественными числами.
Доказательство: Если А – вещественная симметрическая матрица
порядка n, то A  A и AT  A .
Пусть λ – корень характеристического уравнения этой матрицы.
Рассмотрим собственный вектор x( x1 , x2 ,..., xn ) матрицы А с собственным
числом λ. (Координаты вектора x , вообще говоря, могут быть комплексными
числами). Тогда
 x1 
x 
 2
.
X  
.
.
 
 x n 
22
является собственным столбцом матрицы А с собственным числом λ.
Найдем произведение X T A X
двумя способами. С одной стороны,
X T A X  X T A X  X T AX  X T X  X T  X   ( X T X ).
С другой стороны, X T A X  X T AT X  ( AX ) T X  (X ) T X   ( X T X ) .
Таким образом,
( X T X )  ( X T X )
или
(   )( X T X )  0 .
(1.10)
Но
 x1 
 
 x2 
.
X T X  x1 x 2 ...x n     x1 x1  x 2 x 2  ...  x n x n
.
.
 
 x n 


или

X T X  x1  x2  ...  xn
2
2
2

(1.11)
где xk - модуль числа xk (k=1, 2, …, n).
Так как X – ненулевой столбец, то из выражения (1.11) следует, что
X T X  0 . Тогда из равенства (1.10) имеем    , т.е. λ – вещественное число.
■
23
1.6 Свойства собственных векторов
симметрической вещественной матрицы
Теорема 1. Вещественная симметрическая матрица имеет только
вещественные собственные вектор – столбцы.
Доказательство: Если X – собственный вектор – столбец с
собственным числом λ вещественной симметрической матрицы А, то его
координаты x1, x2, …, xn, как известно, находятся из системы уравнений
(a11   ) x1  a12 x2  ...  a1n xn  0, 
a21x1  (a22   ) x2  ...  a2 n xn  0, 


........................................................
an1 x1  an 2 x2  ...  (ann   ) xn  0. 

Так как λ – вещественное число, то вышеуказанная система имеет
вещественные коэффициенты и, следовательно, вещественные решения. ■
Если для вектор – столбцов размеров n 1 введем операцию скалярного
умножения, то имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Два собственных вектор – столбца вещественной
симметрической матрицы, соответствующих различным собственным
числам, ортогональны.
Доказательство: Пусть X1, X2 – собственные вектор – столбцы
вещественной симметрической матрицы А порядка n, собственные числа
которых λ1 и λ2 различны. Подсчитаем X 1T AX 2 двумя способами.
С одной стороны,
X1T AX 2  X 1T ( AX 2 )  X 1T (2 X 2 )  2 X 1T X 2 ,
с другой стороны,
X 1T AX 2  ( X 1T A) X 2  ( X 1T AT ) X 2  ( AX 1 ) T X 2  (1 X 1 ) T X 2  1 X 1T X 2 .
Сравнивая полученные результаты, имеем
2 X 1T X 2  1 X 1T X 2
или
(2  1 ) X 1T X 2  0 .
Но λ1≠ λ2, следовательно, X 1T X 2  0 . ■
24
1.7 Ортогональное преобразование,
приводящее квадратичную форму к каноническому виду
Ранее было доказано, что при помощи невырожденного линейного
однородного преобразования всякую вещественную квадратичную форму
можно привести к каноническому виду. Докажем, что вещественную
квадратичную форму можно привести к каноническому виду при помощи
ортогонального преобразования.
Теорема
1.
Если
существует
ортогональное
преобразование,
приводящее вещественную квадратичную форму L(x1, x2, …, xn) к
каноническому виду
L1 ( y1 , y2 ,..., yn )  1 y12  2 y22  ...  n yn2
(1.12)
то λ1, λ2, …, λn – характеристические числа матрицы А квадратичной формы
L(x1, x2, …, xn).
Доказательство: Пусть ортогональное преобразование X=CY приводит
квадратичную форму L(x1, x2, …, xn) к каноническому виду (1.12). Тогда
матрица D формы L1(y1, y2, …, yn) имеет вид
1 0
0 
2
T
D  C AC  
 ... ...

 0 02
0
0 
.
... ... 

... n 
...
...
Так как C – ортогональная матрица, то C T  C 1 и D  C 1 AC , поэтому λi –
характеристические числа матрицы А. ■
Теорема 2. Если существует ортогональное преобразование с матрицей
С, приводящее вещественную квадратичную форму L(x1, x2, …, xn) с
матрицей А к каноническому виду
L1 ( y1 , y 2 ,..., y n )  1 y12  2 y 22  ...  n y n2 ,
то столбцами матрицы С являются собственные вектор – столбцы
матрицы А с собственными числами λ1, λ2, …, λn.
Доказательство: Пусть ортогональное преобразование X=CY, где
C=(cij) (i=1, 2, …, n), приводит форму L(x1, x2, …, xn) к каноническому виду
25
1 y12  2 y 22  ...  n y n2 .
Тогда
1 0
0 
2
T
C AC  
 ... ...

0 0
0
0 
.
... ... 

... n 
...
...
Умножая обе части этого равенства на C слева и учитывая, что CCT=E,
получим
1 0
0 
2
AC  C 
 ... ...

0 0
0
0 
.
... ... 

... n 
...
...
Согласно правилу умножения матриц, для элементов dij (i=1, 2, …, n)
матрицы D=AC имеем
d ij  ai1c1 j  ai 2 c 2 j  ...  ain c nj .
С другой стороны,
d ij  cij  j .
Следовательно,
ai1c1 j  ai 2 c 2 j  ...  ain c nj   j cij
(i  1,2,..., n) ,
т.е
a11c1 j  a12 c 2 j  ...  a1n c nj   j c1 j , 

a 21c1 j  a 22 c 2 j  ...  a 2 n c nj   j c 2 j , 

..........................................................
a n1c1 j  a n 2 c 2 j  ...  a nn c nj   j c nj 
или в матричной форме
 c1 j 
 c1 j 
c 
c 
 2j
 2j
 . 
 . 
A    j   .
 . 
 . 
 . 
 . 
 
 
 c nj 
 c nj 
26
Следовательно, j-й столбец (j=1, 2, …, n) матрицы С является
собственным вектор – столбцом матрица А с собственным числом λj. ■
Теорема 3. Для любой вещественной квадратичной формы существует
ортогональное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.
Доказательство: Для квадратичной формы одного переменного
L(x1)= a11 x12
искомым
преобразованием
является
тождественное
преобразование, матрица которого ортогональна. Предположим, что теорема
справедлива для всех квадратичных форм k переменных, где k=1, 2, …, n-1, и
докажем, что она справедлива для квадратичной формы n переменных.
Пусть L(x1, x2, …, xn) – квадратичная форма с матрицей A=(aij) (i, j=1, 2,
…, n), λ – одно из собственных чисел матрицы A и
 c11 
c 
 21 
 . 
 
 . 
 . 
 
cn1 
(1.13)
нормированный собственный вектор – столбец этой матрицы с собственным
числом λ.
Построим ортогональную матрицу C=(cij), первым столбцом которой
является столбец (1.13). Рассмотрим квадратичную форму L1(y1, y2, …, yn),
полученную из данной путем преобразования
X=CY
(1.14)
Матрица D формы L1(y1, y2, …, yn) имеет вид
D=CTAC.
Найдем сначала первую строку матрицы B=CTA. Для элементов b1 j (j=1,
2, …, n) этой строки имеем
b1 j  c11a1 j  c 21a 2 j  ...  c n1 a nj (j=1, 2, …, n).
Так как (1.13) является собственным вектор – столбцом матрицы A с
собственным числом λ и матрица A симметрическая, то
c11a1 j  c 21a 2 j  ...  c n1 a nj  c j1 ,
27
следовательно, b1 j  c j1 .
Теперь найдем первую строку матрицы D=BC. Для элементов d1j (j=1, 2,
…, n) этой строки имеем
d1 j  c11c1 j  c 21c 2 j  ...  c n1c nj .
Так как матрица C ортогональная, то
 при j  1,
d1 j  
0 при j  1.
Матрица D – симметрическая, следовательно, она имеет вид
 0
0 d
22
D
... ...

 0 d 2n
... 0 
... d 2 n 
.
... ... 

... d nn 
Поэтому форму L1(y1, y2, …, yn) можно записать в виде
L1(y1 , y 2 ,  , y n )  y12  L2 ( y 2 ,..., y n ) .
Квадратичная форма L2(y2, …, yn) является, вообще говоря, формой n-1 –
й переменной, и для нее, согласно индуктивному предположению,
существует ортогональное преобразование
z 2  h22 y 2  h23 y3  ...  h2 n y n , 

...................................................
z n  hn 2 y 2  hn3 y3  ...  hnn y n , 
приводящее ее к каноническому виду
2 z 22  ...  n z n2 .
Преобразование
z1  y1 ,
z 2  h22 y2  ...  h2 n yn ,
.....................................
(1.15)
z n  hn 2 y2  ...  hnn yn
является ортогональным и приводит квадратичную форму L1(y1, y2, …, yn) к
каноническому виду.
28
Таким образом, квадратичная форма L(x1, x2, …, xn) приводится к
каноническому
виду
последовательным
применением
ортогональных
преобразований (1.14) и (1.15). ■
Теорема 4. Любая вещественная симметрическая матрица приводима к
диагональному виду.
Доказательство: Пусть А – вещественная симметрическая матрица
порядка n. Рассмотрим квадратичную форму L от n переменных с матрицей
А. По теореме 3, существует ортогональное преобразование, приводящее
форму L(x1, x2, …, xn) к каноническому виду. Пусть Т – матрица этого
преобразования. Тогда TTAT=D, где D – диагональная матрица. Так как
матрица Т ортогональная, то TT=T-1 и Т-1АТ=D. Следовательно, матрица А
приводима к диагональному виду. ■
Теорема 5. Если линейное преобразование вещественного линейного
пространства
вещественную
в
некотором
ортонормированном
симметрическую
матрицу,
то
базисе
имеет
существует
ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого
преобразования.
Доказательство:
Пусть
линейное
преобразование
f
в
ортонормированном базисе e1 , e2 ,..., en имеет вещественную симметричную
матрицу А. По теореме 4, существует ортогональная матрица Т такая, что
T 1 AT – диагональная матрица. Таким образом, преобразование с матрицей Т
переводит данный базис в ортонормированный базис e1' , e2' ,..., en' , в котором
матрица преобразования f является диагональной. Следовательно, e1' , e2' ,..., en' собственные векторы преобразования f. ■
29
1.8 Нахождение ортогонального преобразования,
приводящего квадратичную форму к каноническому виду
Из теорем, рассмотренных в предыдущих пунктах, вытекает следующее
правило
нахождения
ортогонального
преобразования,
приводящего
квадратичную форму n переменных к каноническому виду.
1. Записываем матрицу А данной квадратичной формы и находим
характеристические числа этой матрицы.
2. Находим ортонормированную систему собственных вектор – столбцов
матрицы А.
3. Составляем искомое ортогональное преобразование.
Пример 1. Найти ортогональное преобразование, приводящее к
каноническому виду квадратичную форму
L( x, y)  17 x12  12 x1 x2  8x22 .
Решение. 1. Матрица данной квадратичной формы
17 6
A
.
 6 8
Характеристические числа матрицы А являются корнями уравнения
17  
6
 0.
6
8
Решая это уравнение, находим 1  20 , 2  5 .
2. Сначала найдем нормированный собственный вектор – столбец
матрицы А с собственным числом   20 . Для этого составим систему
 3u1  6u 2  0

6u1  12u 2  0 
из которой находим u1  2u2 . Следовательно, при любом t, отличном от нуля,
столбец
2t 
t 
 
является собственным вектор – столбцом матрицы А. Столбец
30





2 
5 
1 
5 
является нормированным вектор – столбцом матрицы А.
Координаты v1 и v2 собственного вектор – столбца матрицы А с
собственным числом   5 находим из системы
12v1  6v 2  0
.
6v1  3v 2  0 
Решая эту систему, получаем v2  2v1 . Следовательно, при любом s,
отличном от нуля, столбец
 s 
 2 s 


является собственным вектор – столбцом матрицы А. Столбец
 1 
 5 


 2 
 5 
является нормированным собственным вектор – столбцом матрицы А.
3. Составляем матрицу


B


2
5
1

5
1 
5  .
2 
5 
Искомым преобразованием является следующее:

y2 
5
5 

1
2
x2 
y1 
y2 
5
5 
x1 
2
y1 
1
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее к
каноническому виду квадратичную форму
L( x1 , x 2 , x3 )  x12  8 x1 x 2  16 x1 x3  7 x 22  8 x 2 x3  x32 .
Решение. 1. Матрица данной квадратичной формы
31
 1  4  8
A   4 7  4 .
  8  4 1 
Характеристическим уравнением матрицы А является уравнение
1 
4
8
4
8
7    4  0,
 4 1 
корни которого 1  9 , 2  3  9 .
2. Координаты x1, x2, x3 собственного вектора X1 с собственным числом
1  9 находятся из системы уравнений
10 x1  4 x 2  8 x3  0 

 4 x1  16 x 2  4 x3  0
 8 x1  4 x 2  10 x3  0 
или
5 x1  2 x 2  4 x3  0

x1  4 x2  x3  0  .
4 x1  2 x 2  5 x3  0
Ранг этой матрицы этой системы равен двум, и поэтому система имеет
ненулевые решения. Для их нахождения решаем систему
5 x1  2 x2  4 x3  0

x1  4 x2  x3  0 
Имеем: x1  18t , x2  9t , x1  18t .
Таким образом, вектор – столбец
 18
X 1    9 
 18
при любом значении t, отличном от нуля, является собственным вектор –
столбцом матрицы А с собственным числом 1  9 .
Пронумеровав вектор X1, получим вектор – столбец
32
2
3
1
X 1*    .
3
2
 3 
Чтобы найти собственные вектор – столбцы матрицы А с собственным
числом   9 , составим систему
 8u1  4u 2  8u 3  0 

 4u1  2u 2  4u 3  0
 8u1  4u 2  8u 3  0 
Ранг матрицы этой однородной системы равен 1, и поэтому имеются два
свободных неизвестных. Следовательно, решение можно записать в виде
u1  s1 , u 2  2s1  2s2 , u3  s 2 .
Таким образом, вектор – столбцы
s1


 2 s  2 s 
1
2



s2
(1.16)
при любых s1 и s2 , удовлетворяющих условию s12  s 22  0 , являются
собственными для матрицы А с собственным числом   9 .
Существуют два ортогональных собственных вектор – столбца X2 и X3, с
собственным числом   9 . Для нахождения X2 положим в векторе – столбце
(1.25), например s1=1, s2=0. Получим
1 
X 2   2
 0 
Чтобы найти вектор – столбец X3, определим s1 и s2 в вектор – столбце
(1.16) так, чтобы выполнялось условие ортогональности X2 и X3, т.е. чтобы
4
s1  4s1  4s2  0 или s1   s 2 . Положив, например, s2=5, находим
5
  4
X 3   2 .
 5 
Пронумеровав векторы X2 и X3, получим
33
 4 
 1 


 5 
 3 5


2 
2 
, X 3*  
.
X 2*  
 3 5

5


 0 
5 



 3 


Ортонормированной системой собственных вектор – столбцов матрицы
является система векторов
 4 
 1 
2


 5 
3
 3 5


1
2 
2 
, X 3*  
X 1*    , X 2*  
 3 5

5
3




2
 
0
5 



 3 
 3 


3. Искомым преобразованием является следующее:

y3 
5
3 5 

2
2
y2 
y3 
5
3 5 

2
5

x3  y1 
y3
3
3

2
y1 
3
1
x 2  y1 
3
x1 
1
y2 
4
34
1.9 Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат
(O; e1 , e2 ) . Если x и y – координаты произвольной точки на плоскости в данной
системе координат, то, как известно,
(I) уравнение
x2 y2

 1 определяет эллипс;
a2 b2
(II) уравнение
x2 y2

 0 - точку;
a2 b2
x2 y2
(III) уравнение 2  2  1 - пустое множество;
a
b
(IV) уравнение
(V) уравнение
x2 y2

 1 - гиперболы;
a2 b2
x2 y2

 0 - пару пересекающихся прямых;
a2 b2
(VI) уравнение y 2  2 px ( x 2  2 py), p  0 - параболу;
(VII) уравнение y 2  a 2 ( x 2  a 2 ), a  0 - пару параллельных прямых;
(VIII) уравнение y 2  0 ( x 2  0) - пару слившихся прямых;
(IX) уравнение y 2  a 2 ( x 2  a 2 ), a  0 - пустое множество точек.
Уравнения (I) – (IX) называются каноническими уравнениями фигур
второго порядка на плоскости.
Уравнения (I) – (III) определяют фигуру эллиптического типа, уравнения
(IV), (V) – гиперболического типа, уравнения (IV) – (IX) – параболического
типа.
Рассмотрим уравнение второго порядка
ax 2  bxy  cy 2  dx  gy  f  0
(1.17)
где a 2  b 2  c 2  0 . Множество точек плоскости, координаты x, y которых
удовлетворяют уравнению (1.17), образуют некоторую фигуру. Покажем, что
это уравнение определяет одну из фигур (I) – (IX). Для этого найдем
уравнение фигуры (1.17) в системе координат (O; e1' , e2' ) , где векторы e1' и e 2'
получены из векторов e1 и e2 ортогональным преобразованием с матрицей
35
t 
t
T   11 12  ,
t 21 t 22 
т.е.
e1'  t11 e1  t 21 e2 ,
.
'
e2  t12 e1  t 22 e2 
При этом формулы преобразования координат точек будут иметь вид
x  t11 x  t12 y , 

y  t 21 x  t 22 y .
Подставив эти значения x и y в уравнение (1.17), получим уравнение
данной фигуры в системе координат
(O; e1' , e2' ) .
Сумма первых трех членов
ax 2  bxy  cy 2
(1.18)
является квадратичной формой двух переменных x, y, которую мы будем
называть
квадратичной
формой,
соответствующей
уравнению
(1.17).
Матрица этой формы имеет вид

a
A
b

2
b
2 .

c

Пусть выбранное преобразование приводит квадратичную форму (1.18)
к каноническому виду (как известно, такое преобразование всегда
существует)
1 x 2  2 y  2 ,
где λ1 и λ2 – корни характеристического уравнения матрицы A. Тогда
уравнение (1.17) примет вид
1 x '2  2 y '2  d1 x  g1 y  f  0
(1.19)
где d1  t11d  t 21 g , g1  t12 d  t 22 g .
Возможны следующие случаи:
36
1. det A>0.
Так как определитель матрицы квадратичной формы не
меняется при ортогональном преобразовании, то λ1λ2>0, т.е. λ1и λ2 имеют
одинаковые знаки.
В уравнении (1.19) дополняем до полного квадрата члены, содержащие
x  2 и x , а также члены, содержащие y  2 и y  . После этого уравнение можно
записать так:
1 ( x  h1 ) 2  2 ( y  h2 ) 2  f1
(1.20)
Осуществим параллельный перенос репера1 (O; e1' , e2' ) на вектор OO  ,
координатами которого в репере (O; e1' , e2' ) являются h1 и h2, т.е. на вектор
OO   h1 e1'  h2 e2' . Тогда уравнение (1.20) в репере (O ; e1' , e2' ) примет вид
1 x2  2 y2  f1
(1.21)
Если f1≠0, то уравнение (1.21) приводится к виду (I) или (III), если f1=0 –
к виду (II).
2. det A<0, следовательно, и λ1λ2<0, т.е. λ1и λ2 – разных знаков.
Как и в первом случае, уравнение (1.19) можно привести к виду (1.21). В
этом случае, если f1≠0, уравнение (1.21) приводится к виду (IV), если f1=0 – к
виду (V).
3. det A=0, следовательно, λ1λ2=0, т.е. одно из чисел λ1, λ2 равно нулю. Не
нарушая общности, будем считать, что λ1≠0, λ2=0. Дополняя в уравнении
(1.19) члены, содержащие x  2 и x , до полного квадрата, получим
1 ( x  h1 ) 2  g1 y  f  0
(1.22)
Если g1≠0, то уравнение (1.22) можно записать в виде
1 ( x  h1 ) 2   g1 ( y   h2 )
Осуществим
параллельный
перенос
репера
(1.23)
(O; e1' , e2' )
на
вектор
OO   h1 e1'  h2 e2' . Уравнение (1.23) в репере (O ; e1' , e2' ) примет вид
1 x 2   g1 y  .
1
Репер (франц. repere) в пространстве (на плоскости), совокупность трех (двух) векторов с общим началом,
не лежащих в одной плоскости (на одной прямой) и взятых в определенном порядке.
37
Это уравнение приводится к виду (VI).
Если g1=0, то уравнение (1.22) имеет вид
1 ( x  h1 ) 2  f1  0 .
Осуществив параллельный перенос репера (O; e1' , e2' ) на вектор OO   h1 e1' ,
получим в репере (O ; e1' , e2' ) уравнение
1 x 2  f1  0 .
Это уравнение при f1≠0 приводится к виду (VII) или (IX), при f1=0 – к
виду (VIII).
Итак,
если
det
A>0,
то
уравнение
(1.17)
определяет
фигуру
эллиптического типа; если det A<0 – гиперболического; если det A=0 –
параболического типа.
Операция перехода уравнения (1.17) к уравнению (1.19) называется
отнесением фигуры к главным осям.
Если фигура, определяемая уравнением (1.17), является эллипсом или
гиперболой, то новые оси координат параллельны осям симметрии кривой.
Уравнение (1.17) в случае det A≠0 определяет фигуру, называемую
центральной. Если det A=0, то фигура, определяемая уравнением (1.17),
называется нецентральной.
К центральным относятся фигуры эллиптического и гиперболического
типов, к нецентральным – параболического типа.
Главными направлениями фигуры, заданной уравнением (1.17),
назовем направления ортогональных
собственных
векторов
матрицы
квадратичной формы, соответствующей этому уравнению.
Из сказанного выше следует, что существует декартова прямоугольная
система координат, в которой уравнение (1.17) принимает канонический вид.
Чтобы найти эту систему координат, поступаем следующим образом.
1. Находим ортогональное преобразование, приводящее квадратичную
форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду.
38
2. По этому преобразованию находим главные направления фигуры, т.е.
векторы
e1' , e 2'
– ортонормированные собственные векторы матрицы
квадратичной формы, соответствующей данному уравнению.
3. Находим уравнение данной фигуры в репере (O; e1' , e2' ) .
4. В полученном уравнении производим дополнения до полных
квадратов так, как это было указано выше. Находим координаты точки O ,
которая является началом искомой системы координат.
В найденной системе координат (O ; e1' , e2' ) уравнение данной фигуры
имеет канонический вид.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
17 x 2  12 xy  8 y 2  20 5 x  20  0
и построить фигуру, определяемую этим уравнением.
Решение. Квадратичная форма, соответствующая данному уравнению,
имеет вид
L( x, y)  17 x 2  12 xy  8 y 2 .
В примере 1 п. 1.11 было найдено ортогональное преобразование

y ,
5
5 

1
2
y
x 
y 
5
5 
x
2
x 
1
(1.24)
приводящее квадратичную форму L(x, y) к каноническому виду.
Базисные векторы e1' и e'2 , полученные в результате ортогонального
преобразования из базисных векторов e1 и e2 , задаются формулами

e2 , 
5
5


1
2 
'
e2  
e1 
e2
5
5 
e1' 
2
e1 
1
(1.25)
Найдем уравнение данной фигуры, отнесенное к главным осям, т.е. ее
уравнение в системе координат (O; e1' , e2' ) . Для этого подставим в данное
уравнение значения x, y из соотношений (1.24). Получим уравнение
39
20 x 2  5 y  2  40 x  20 y   20  0 ,
которое можно записать в виде
( x   1) 2 ( y   2) 2

1
1
4
Осуществляя параллельный перенос системы
(1.26)
(O; e1' , e2' )
на вектор
OO '  e1'  2e2' , получим систему (O ; e1' , e2' ) , в которой уравнение (1.26), а,
следовательно, и данное уравнение принимает канонический вид
x  2 y  2

1
1
4
(1.27)
Рис. 1.1
Таким образом, данное уравнение задает эллипс.
Для
того
чтобы
построить
эллипс,
нужно
построить
фигуру,
определяемую уравнением (1.27) в системе (O ; e1' , e2' ) , которая получается из
(O; e1' , e2' ) параллельным переносом на вектор OO  e1'  2e2' . При этом вместо
векторов (1.25) можно строить векторы OM 1'  2e1  e2 , OM 2'  e1  2e2 .
На рисунке 1.1 изображена кривая, определяемая данным уравнением.
40
1.10 Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве
Рассмотрим общее уравнение фигуры второго порядка
a11 x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz  bx  dy  ez  f  0
(1.28)
где хотя бы один из коэффициентов aij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) отличен от нуля.
Сумма первых шести членов этого уравнения
a11 x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz
(1.29)
является квадратичной формой трех переменных x, y, z, которую будем
называть квадратичной формой, соответствующей уравнению (1.28).
Матрица этой формы имеет вид
 a11
A  a12
a13
a12
a 22
a 23
a13 
a 23  .
a33 
Известно, что существует ортогональное преобразование, приводящее
квадратичную форму (1.29) к каноническому виду.
Упрощение уравнения (1.28) и построение фигуры, определяется этим
уравнением, производится способом, аналогичным способу, изложенному в
п. 1.12.
Пример. Построить фигуру, заданную уравнением
9 x 2  20 y 2  20 z 2  40 yz  36 x  4 2 y  4 2 z  4  0 .
Решение. Квадратичная форма, соответствующая этому уравнению
имеет вид
9 x 2  20 y 2  20 z 2  40 yz ,
и ее матрица
0
0 
9

A  0 20  20 .
0  20 20 
Характеристические
числа
этой
матрицы
λ1=9,
λ2=40,
λ3=0,
следовательно, канонический вид квадратичной формы будет таким:
9 x '2  40 y '2 .
41
Найдем ортогональное преобразование, приводящее квадратичную
форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду.
Элементы собственного вектор – столбца, соответствующего собственному
числу λ1=9, находим из системы
0u  0v  0w  0, 

0u  11v  20w  0,
0u  20v  11w  0,
следовательно, собственный вектор – столбец имеет вид
t 
0  ,
 
0 
где t – любое число, отличное от нуля.
Чтобы найти элементы собственного столбца с собственным числом
λ2=40, составим систему
31u  0v  0w  0, 

0u  20v  20w  0,
0u  20v  20w  0,
из которой находим, что
0
 s  (s≠0)
 
 s 
является искомым собственным столбцом.
Собственным столбцом матрицы A с собственным числом λ3=0 является
столбец
0 
 r  (r≠0),
 
 r 
элементы которого найдены из системы
9u  0, 

20v  20 w  0,
 20v  20 w  0,
42
Пронумеровав
собственные
столбцы,
получим
матрицу
искомого
преобразования:


0
1
1
C  0

2

1
1 
2



0 
1 
.
2
1 

2
Итак, преобразование


x  x,

1
1

y
y 
z , 
2
2

1
1 
z
y 
z 
2
2 
(1.30)
является ортогональным преобразованием, приводящим квадратичную
форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду. Это
преобразование переводит базисные векторы e1 , e2 , e3 в векторы



1
1

e2' 
e2 
e3 ,
2
2 

1
1
e3' 
e2 
e3 
2
2 
e1'  e1 ,
(1.31)
Найдем уравнение данной фигуры в системе координат (O; e1' , e2' , e3' ) .
Подставив в данное уравнение значения x, y, z из соотношений (1.30),
получим
9 x '2  40 y '2  36 x '  8 y '  4  0
или
( x  2) 2 ( y   0,1) 2

 1.
3,6
0,81
43
Осуществляя
параллельный
перенос
системы
O; e1' , e2' , e3'
на
вектор
OO '  2e1'  0,1e2' , получим систему O ' ; e1' , e2' , e3' , в которой уравнение данной
фигуры имеет вид
x ''2 y ''2

 1,
a2 b2
где a  3,6 , b  0,9 . Это уравнение, а следовательно, и данное уравнение
определяют эллиптический цилиндр с образующей, параллельной e3' . Для
того чтобы построить этот цилиндр, наряду с системой координат O; e1' , e2' , e3'
построим систему координат O ' ; e1' , e2' , e3' . При этом вместо векторов (1.31)
можно строить векторы OM 1  e1 , OM 2  e2  e3 , OM 3  e2  e3 .
Рис. 1.2
На рисунке 1.2 изображен цилиндр, определяемый данным уравнением.
44
Глава 2. Практическая часть
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение и построить
фигуру, определяемую этим уравнением.
2 xy  6 x  4 y  20  0
Квадратичная форма, соответствующая данному уравнению, имеет вид
L( x, y )  2 xy
Матрица данной квадратичной формы
0 1 
A
.
1 0
Характеристические числа матрицы A являются корнями уравнения

1
1
0.

Решая это уравнение, находим 1  1 , 2  1 .
Найдем нормированный собственный вектор – столбец матрицы A с
собственным числом 1  1 . Для этого составим систему
 u1  u 2  0

u1  u 2  0
из которой находим u1  u2 . Следовательно, при любом t  0 , столбец
t 
t 

является собственным вектор – столбцом матрицы A. Столбец





1 
2 
1 
2 
является нормированным вектор – столбцом матрицы A.
Координаты v1 и v2 собственного вектор – столбца матрицы A с
собственным числом 2  1 находим из системы
v1  v2  0
.
v1  v2  0
45
Решая эту систему, получаем v2  v1 . Следовательно, при любом s  0 ,
столбец
 s 
 s 
 
является собственным вектор – столбцом матрицы A. Столбец





1 
2 
1 
2 
является нормированным вектор – столбцом матрицы A.
Составляем матрицу


B


1 
2  .
1 

2 
1
2
1
2
Искомым преобразованием является следующее:

y
2
2 
.
1
1 
y
x 
y
2
2 
x
1
x 
1
Базисные векторы e1' и e 2' , полученные в результате ортогонального
преобразования из базисных векторов e1 и e2 , задаются формулами

e2 
2
2 
.
1
1
'
e2 
e1 
e2 
2
2 
e1' 
1
e1 
1
Найдем уравнение данной фигуры, отнесенное к главным осям, т.е. ее
уравнение в системе координат  O; e1' , e2'  . Для этого подставим в данное


уравнение значения x, y
1
1   1
1
1 
 1
 1
  1
2
x 
y  
x 
y    6
x 
y    4
x 
y    20  0 .
2  2
2   2
2   2
2 
 2
Получим уравнение
x  2  y  2  2 x   5 2 y   20  0
46
или
x  2  y  2  20 ,
которое можно записать в виде
2
2
1 
5 


 x 

 y 

2
2



1
20
20
Осуществляя параллельный перенос системы  O; e1' , e2' 

OO 

на вектор
1 '
5 '
e1 
e2 , получим систему  O ; e1' , e2'  , в которой данное уравнение


2
2
примет канонический вид
x  2 y  2

1.
20
20
Таким образом, данное уравнение задает гиперболу.
Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение и построить
фигуру, определяемую этим уравнением.
5x 2  4 xy  8 y 2  32 x  56 y  80  0
Квадратичная форма, соответствующая данному уравнению, имеет вид
L( x, y)  5 x 2  4 xy  8 y 2
Матрица данной квадратичной формы
 5 2
A
.
2 8 
Характеристические числа матрицы A являются корнями уравнения
5
2
0.
2
8
Решая это уравнение, находим 1  9 , 2  4 .
47
Найдем нормированный собственный вектор – столбец матрицы A с
собственным числом 1  9 . Для этого составим систему
 4u1  2u 2  0

2u1  u 2  0 
1
2
из которой находим u1  u 2 . Следовательно, при любом t  0 , столбец
1 
 2 t
t 
 
является собственным вектор – столбцом матрицы A. Столбец





1 
5 
2 
5 
является нормированным вектор – столбцом матрицы A.
Координаты v1 и v2 собственного вектор – столбца матрицы A с
собственным числом 2  4 находим из системы
v1  2v2  0 
.
2v1  4v2  0
1
2
Решая эту систему, получаем v 2   v1 . Следовательно, при любом s  0 ,
столбец
 s 
 1 
 2 s 
является собственным вектор – столбцом матрицы A. Столбец
 2 
 5 


 1 
 5 
является нормированным вектор – столбцом матрицы A.
Составляем матрицу
48


B


2 
5  .
1 

5 
1
5
2
5
Искомым преобразованием является следующее:

y
5
5 
.
2
1 
y
x 
y
5
5 
x
1
x 
2
Базисные векторы e1' и e 2' , полученные в результате ортогонального
преобразования из базисных векторов e1 и e2 , задаются формулами

e2 
5
5 
.
2
1 
'
e2 
e1 
e2
5
5 
e1' 
1
e1 
2
Найдем уравнение данной фигуры, отнесенное к главным осям, т.е. ее
уравнение в системе координат  O; e1' , e2'  . Для этого подставим в данное


уравнение значения x, y
2
2
 1
 1
2 
2  2
1   2
1 
5
x 
y    4
x 
y  
x 
y    8
x 
y   
5 
5  5
5   5
5 
 5
 5
.
 1
 2
2 
1 
 32
x 
y    56
x 
y    80  0
5 
5 
 5
 5
Получим уравнение
9 x 2  4 y  2 
144
5
x 
8
5
y   80
или
9 x 2  4 y  2  80 ,
которое можно записать в виде
2
2


8 
1 
3 x  

2 y  

5
5



 1
80
80
49
Осуществляя параллельный перенос системы  O; e1' , e2' 

OO  
8
5
e1' 

на вектор
e2' , получим систему  O ; e1' , e2'  , в которой данное уравнение


2
1
примет канонический вид
x 2
80
3

y  2
 1 .
40
Таким образом, данное уравнение задает пустое множество.
Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение и построить
фигуру, определяемую этим уравнением.
x 2  2 xy  y 2  8x  4  0
Квадратичная форма, соответствующая данному уравнению, имеет вид
L( x, y)  x 2  2 xy  y 2
Матрица данной квадратичной формы
1 1
A
.
1 1
Характеристические числа матрицы A являются корнями уравнения
1 
1
0.
1
1 
Решая это уравнение, находим 1  2 , 2  0 .
Найдем нормированный собственный вектор – столбец матрицы A с
собственным числом 1  2 . Для этого составим систему
 u1  u 2  0

u1  u 2  0
из которой находим u1  u2 . Следовательно, при любом t  0 , столбец
t 
t 

50
является собственным вектор – столбцом матрицы A. Столбец





1 
2 
1 
2 
является нормированным вектор – столбцом матрицы A.
Координаты v1 и v2 собственного вектор – столбца матрицы A с
собственным числом 2  0 находим из системы
v1  v2  0
.
v1  v2  0
Решая эту систему, получаем v2  v1 . Следовательно, при любом s  0 ,
столбец
 s
 s 
 
является собственным вектор – столбцом матрицы A. Столбец
 1 
 2 


 1 

2 
является нормированным вектор – столбцом матрицы A.
Составляем матрицу


B


1
2
1
2
1 
2  .
1 

2 
Искомым преобразованием является следующее:

y
2
2 
.
1
1 
y
x 
y
2
2 
x
1
x 
1
Базисные векторы e1' и e 2' , полученные в результате ортогонального
преобразования из базисных векторов e1 и e2 , задаются формулами
51

e2 
2
2 
.
1
1
'
e2 
e1 
e2 
2
2 
e1' 
1
e1 
1
Найдем уравнение данной фигуры, отнесенное к главным осям, т.е. ее
уравнение в системе координат  O; e1' , e2'  . Для этого подставим в данное


уравнение значения x, y
2
2
1
1
1
1
 1

 1
 1
  1

x 
y    2
x 
y  
x 
y  
x 
y 

2 
2  2
2   2
2 
 2
 2
.
1
 1

 8
x 
y  4  0
2 
 2
Получим уравнение
8  8

2 x  2 
x  
y  4  0 ,
2 
2

которое можно записать в виде
2
2 

 2

2 x 
y   1
  4
2

 2

Осуществляя параллельный перенос системы  O; e1' , e2' 

OO 

на вектор
2 '
e1  e2' , получим систему  O ; e1' , e2'  , в которой данное уравнение


2
примет канонический вид
x 2  2 y  .
Таким образом, данное уравнение задает параболу.
52
Заключение
В курсовой работе были рассмотренные основные способы решения
квадратичных форм, приводящих их к каноническому виду:
1. Метод Лагранжа
2. Метод Якоби
3. Ортогональное преобразование.
Таким образом, упрощение уравнений фигур второго порядка на
плоскости осуществляется по следующему алгоритму:
1. Находим ортогональное преобразование, приводящее квадратичную
форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому
виду.
2. По этому преобразованию находим главные направления фигуры, т.е.
векторы e1' , e 2' – ортонормированные собственные векторы матрицы
квадратичной формы, соответствующей данному уравнению.
3. Находим уравнение данной фигуры в репере (O; e1' , e2' ) .
4. В полученном уравнении производим дополнения до полных
квадратов так, как это было указано выше. Находим координаты
точки O , которая является началом искомой системы координат.
В найденной системе координат (O ; e1' , e2' ) уравнение данной фигуры
имеет канонический вид.
Примеры решения квадратичных форм приведены в практической части.
53
Список литературы
1. Апатенюк, Р.Ф. Элементы линейной алгебры/ Р.Ф. Апатенюк – Минск:
«Вышэйшая школа», 1977. – 257с.
2. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике/ А.А. Гусак, Г.М.
Гусак, Е.А. Бричникова – М.: ТетраСистемс, 1999. – 640с.
3. Ефимов, Н.В. Линейная алгебра и многомерная геометрия/ Н.В.
Ефимов, Э.Р. Розендорн – М.: Физматлит, 1970. – 528с.
4. Ильин, В.А. Линейная алгебра/ В.А. Ильин, Э.Г. Позняк – М.:
Издательство «Наука», 1999.
5. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры/ А.И. Мальцев – СПб.:
Издательство «Лань», 1970. – 400с.
54