Задачи и упражнения по курсу &quot

Вопросы по курсу "Механизмы планирования"
1. Постановка задачи планирования в активных системах
Модель активной системы с асимметричной информированностью. Постановка задачи
планирования. Прямые и непрямые механизмы планирования. Порядок функционирования.
Манипулируемость механизмов планирования.
2. Неманипулируемость механизмов планирования
Условие совершенного согласования и механизмы открытого управления. Гипотеза
благожелательности. Необходимое и достаточное условие неманипулируемости (принцип
открытого управления). Оптимальность механизмов открытого управления для активных
систем с одним активным элементом.
3. Механизмы распределения ресурса
Постановка задачи распределения ресурса. Процедура распределения ресурса. Оптимальность
механизмов открытого управления для задач распределения ресурсов. Механизмы
последовательного распределения ресурса. Механизмы прямых и обратных приоритетов.
4. Механизмы активной экспертизы
Постановка задачи активной экспертизы. Механизм активной экспертизы. Оптимальность
механизмов открытого управления для задач активной экспертизы (без док-ва).
5. Механизмы внутренних цен
Функции затрат типа Кобба-Дугласа. Задача минимизации затрат. Механизм внутренних цен.
Гипотеза слабого влияния. Оптимальность механизмов открытого управления для задач
минимизации затрат при выполнении гипотезы «слабого влияния».
6. Неблагоприятный отбор (Advers selection)
Постановка задачи, Общественный оптимум, Совершенная ценовая дискриминация,
Несовершенная информация, Принцип выявления (revelation principle), Решение задачи,
Различия во внешних возможностях, Графическое решение, Общая модель неблагоприятного
отбора (Модель с конечным количеством типов и Модель с континуумом типов)
7. Постконтрактный оппортунизм (Moral Hazard)
Постановка задачи, Простейшая модель, Решение, Ограничения ликвидности, Усложнения
модели (континуум результатов деятельности и континуум усилий агента)
Задачи и упражнения по курсу "Механизмы планирования"
Модель 1.
Два региона (активные элементы), разделенные рекой, финансируют строительство моста через
эту реку. Затраты на строительство этого моста с = 1. Используется следующий механизм
распределения затрат. Каждый АЭ сообщает оценку si своего дохода hi от использования моста.
Мост строится только когда s1+s2  c.
Задача 1.1
1. Показать, что, если истинные дохода агентов равны 1.4 и 0.6, соответственно, и
используется принцип пропорционального распределения затрат xi ( s ) 
сообщение истинных доходов не является равновесием Нэша.
si
c, то
s1  s2
2. Найти все равновесия Нэша.
3. Найти оптимальные стратегии при условии, что агенты знают истинные доходы друг
друга и один из них обладает правом первого хода.
Задача 1.2
Предложите и исследуйте (см задача 1.1) механизм распределения затрат, отличный от
пропорционального.
Задача 1.3
Существует ли для пропорционального механизма распределения затрат (см. задача 1.1)
эквивалентный механизм открытого управления (ОУ).
Задача 2
На примере задачи стимулирования в активной системе с одним АЭ в условиях не полной
информированности центра:
 ( y)  y   ( y) - функция предпочтения центра;
f ( y, r )   ( y ) 
y2
2r
- функция предпочтения АЭ, где r – тип АЭ, не известный центру;
покажите возможность построения механизма открытого управления для произвольного
механизма планирования не меньшей эффективности.
Задача 3
Активная система состоит из центра и 5 АЭ. Множество возможных значений типов АЭ
(количество ресурса, при котором достигается максимальное значение функции полезности АЭ)
-   [0,10] . Центр обладает ресурсом в количестве R=10.
Определите равновесную по Нэшу ситуацию для механизма прямых приоритетов
 si ,  si  R

i

xi   si
R,  s i  R
 s
i

i
 i
при следующих значениях типов АЭ:
1. r = {1,3,5,7,9};
2. r = {1,1,2,8,8};
3. r = {5,6,7,8,9};
4. r = {7,8,9,9,9};
Задача 4
Определите равновесную по Нэшу ситуацию для механизма прямых приоритетов
si ,  si  R


i
xi  
,
min( si , i ( si )),  si  R

i

:
min(
s
,

(
s
))

R
где i ( si )  Ai si ,
.

i
i
i
i
Функции полезности агентов:  i ( xi , ri )  2 ri xi  xi , i  1, n
Задача 5
1 n
 si в системе из n = 5 активных экспертов
n i 1
определить равновесную по Нэшу ситуацию, если множество возможных значений заявок
экспертов   [10,20] , а истинные мнения экспертов имеют следующие значения:
1. r = {10,10,15,20,20};
2. r = {10,12,13,17,18};
Для механизма активной экспертизы  (s) 
3. r = {15,15,16,19,20};
Задача 6
Докажите, что процедура активной экспертизы π(s), оптимальная в смысле близости к среднему
арифметическому:
1 n
 0 ( s)   s i ,
n i 1
заключается в разбиении [d,D] на n равных отрезков.
Функции полезности экспертов -  i ( x, ri )   | x  ri | , i  1, n .
Истинное мнение экспертов - ri  [d , D] , i  1, n .
Сообщаемая экспертами оценка - si [d , D] , i  1, n .
Оптимальность процедуры активной экспертизы π*(s) в смысле близости к процедуре π0(s):
max |  * ( s*)   0 ( s) | min , где s* - равновесные заявки экспертов.
r[ d , D ]
Задача 7
Построить последовательность Wk и выписать вид эквивалентного прямого механизма для
процедуры активной экспертизы n активными элементами, оптимальной в смысле близости
(см. задачу 6) к:
n
 0 ( s)    i s i , где 0   i  1 ,
i 1
n
 i  1,

i 1
si [0, 1] .
Задача 8
В активной системе с n активными элементами и функциями затрат типа Кобба-Дугласа с
параметрами   2 , R  1 . Центр выплачивает вознаграждение АЭ пропорционально объемам
выполненных работ y i . Общий объем работ R0 фиксирован.
Построить механизм распределения объема работ на основании внутренних цен. Определить
цены объемов работ для каждого активного элемента в зависимости от его заявки.
Исследовать манипулируемость механизма внутренних цен в заданной активной системе в
случаях а) гипотеза слабого влияния не выполнена и б) гипотеза слабого влияния выполнена.
Задача 9
Для активной системе состоящей из 3 активных элементов, имеющих функции затрат
2
ci ( y i , ri ) 
yi
ri    [0, 1] , i  1, 3 ,
2ri
и центра, которому необходимо, что бы АЭ выполнили объем работ R=1,
1. построить механизм внутренних цен;
2. определить равновесные по Нэшу заявки АЭ
3. оценить эффективность механизма внутренних цен;
Вектор типов АЭ r = {0.3,0.6,0.8}; Центру известно только множество возможных значений
типов АЭ Ω.
Задача 10
Построить механизм открытого управления  ( s)  ( x1 ( s), x2 ( s)) для задачи стимулирования в
ОС с одним агентом в условиях неполной информированности центра:
f 0 ( x1 , x2 )  x2  x1 - функция полезности центра,
2
x
f 1 ( x1 , x 2 , r )  x1  2 - функция полезности АЭ, где r – тип АЭ.
2r
Задача центра – максимизация ожидаемой полезности Ef0 ( ( s)) → max .
 (s)
Множество возможных значений типа агента, известное центру – отрезок [rmin,rmax], rmin>0, и
вероятностное распределение типов агента на данном отрезке F (r ) 
r  rmin
rmax  rmin
Весь ресурс первого типа Х1 сосредоточен у центра, весь ресурс второго типа Х2 – у агента,
причем Х1= ∞ и Х2= ∞.
Множество возможных значений типа агента, известное центру:
Задача 10.1 Два значения - rmin (с вероятностью р) и rmax (с вероятностью 1-р) .
Задача 10.2 Конечное число значений (r0, r1,…, rn), r0 = rmin>0, rn = rmax, вероятность каждого
типа pi 
1
n 1
Задача 10.3 Отрезок [rmin,rmax], rmin>0, и вероятностное распределение типов агента на данном
отрезке F (r ) 
r  rmin
rmax  rmin
Задача 11
Построить механизм открытого управления  ( s)  ( x1 ( s), x2 ( s)) для обратной задачи
стимулирования в ОС с одним агентом в условиях неполной информированности центра:
2
x2
- функция полезности центра,
2
f1 ( x1 , x2 , r )  rx 2  x1 - функция полезности АЭ, где r – тип АЭ.
f 0 ( x1 , x2 )  x1 
Задача центра – максимизация ожидаемой полезности Ef0 ( ( s)) → max .
 (s)
Множество возможных значений типа агента, известное центру – отрезок [rmin,rmax], rmin>0, и
вероятностное распределение типов агента на данном отрезке F (r ) 
r  rmin
rmax  rmin
Весь ресурс первого типа Х1 сосредоточен у центра, весь ресурс второго типа Х 2 – у агента,
причем Х1= ∞ и Х2= ∞.
Задача 11.1 Два значения - rmin (с вероятностью р) и rmax (с вероятностью 1-р) .
Задача 11.2 Конечное число значений (r0, r1,…, rn), r0 = rmin>0, rn = rmax, вероятность каждого
типа pi 
1
n 1
Задача 11.3 Отрезок [rmin,rmax], rmin>0, и вероятностное распределение типов агента на данном
отрезке F (r ) 
r  rmin
rmax  rmin
Задача 12
Предложить оптимальный контракт для задачи стимулирования в ОС с одним агентом в
условиях, когда центр наблюдает только результат деятельности АЭ y, но не уровень
прилагаемых им усилий а:
f 0 ( y,  )  y   - функция полезности центра,
f1 (a,  )   
a2
2
- функция полезности АЭ.
Результат деятельности агента может принимать значения либо 0 (с вероятностью 1-а), либо 1
(с вероятностью а). Уровень прилагаемых агентом усилий может принимать любое значение из
отрезка [0,1].
Задача центра – максимизация своей ожидаемой полезности.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
(работы, отмеченные звездочкой, можно найти в разделе "Электронная библиотека")
Основная:
1. *Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. М.: Синтег, 1999. – 108 с.
2. *Гуриев С.М. Конспекты лекций по теории контрактов. М.: РЭШ, 2002 (предварительная
версия)