Задачи и упражнения по курсу &quot

Вопросы по курсу "Механизмы планирования"
1. Постановка задачи планирования в активных системах [1,3]
Модель активной системы с асимметричной информированностью. Постановка задачи
планирования. Прямые и непрямые механизмы планирования. Порядок функционирования.
Манипулируемость механизмов планирования.
2. Неманипулируемость механизмов планирования [1,3]
Условие совершенного согласования и механизмы открытого управления. Гипотеза
благожелательности. Необходимое и достаточное условие неманипулируемости (принцип
открытого управления). Оптимальность механизмов открытого управления для активных
систем с одним активным элементом.
3. Механизмы распределения ресурса [1,3]
Постановка задачи распределения ресурса. Процедура распределения ресурса. Оптимальность
механизмов открытого управления для задач распределения ресурсов. Механизмы
последовательного распределения ресурса. Механизмы прямых и обратных приоритетов.
4. Механизмы активной экспертизы [1,3]
Постановка задачи активной экспертизы. Механизм активной экспертизы. Оптимальность
механизмов открытого управления для задач активной экспертизы (без док-ва).
5. Механизмы внутренних цен [1,3]
Функции затрат типа Кобба-Дугласа. Задача минимизации затрат. Механизм внутренних цен.
Гипотеза слабого влияния. Оптимальность механизмов открытого управления для задач
минимизации затрат при выполнении гипотезы «слабого влияния».
6. Механизмы обмена [2,3]
Модель обменной схемы. Постановка задачи обмена в условиях полной и не полной
информированности центра. Общий принцип построения неманипулируемых механизмов
обмена. Представление задачи стимулирования в виде задачи обмена.
7. Примеры механизмов управления организационными системами [3,4]
Механизмы смешанного финансирования. Конкурсные механизмы. Противозатратные
механизмы.
Задачи и упражнения по курсу "Механизмы планирования"
Модель 1.
Два региона (активные элементы), разделенные рекой, финансируют строительство моста через
эту реку. Затраты на строительство этого моста с = 1. Используется следующий механизм
распределения затрат. Каждый АЭ сообщает оценку si своего дохода hi от использования моста.
Мост строится только когда s1+s2  c.
Задача 1.1
1. Показать, что, если истинные дохода агентов равны 1.4 и 0.6, соответственно, и
используется принцип пропорционального распределения затрат xi ( s ) 
сообщение истинных доходов не является равновесием Нэша.
2. Найти все равновесия Нэша.
si
c, то
s1  s2
3. Найти оптимальные стратегии при условии, что агенты знают истинные доходы друг
друга и один из них обладает правом первого хода.
Задача 1.2
Предложите и исследуйте (см задача 1.1) механизм распределения затрат, отличный от
пропорционального.
Задача 1.3
Существует ли для пропорционального механизма распределения затрат (см. задача 1.1)
эквивалентный механизм открытого управления (ОУ).
Задача 2
На примере задачи стимулирования в активной системе с одним АЭ в условиях не полной
информированности центра:
 ( y)  y   ( y) - функция предпочтения центра;
f ( y, r )   ( y ) 
y2
2r
- функция предпочтения АЭ, где r – тип АЭ, не известный центру;
покажите возможность построения механизма открытого управления для произвольного
механизма планирования не меньшей эффективности.
Задача 3
Активная система состоит из центра и 5 АЭ. Множество возможных значений типов АЭ
(количество ресурса, при котором достигается максимальное значение функции полезности АЭ)
-   [0,10] . Центр обладает ресурсом в количестве R=10.
Определите равновесную по Нэшу ситуацию для механизма прямых приоритетов
 si ,  si  R

i

xi   si
R,  s i  R
 s
i

i
 i
при следующих значениях типов АЭ:
1. r = {1,3,5,7,9};
2. r = {1,1,2,8,8};
3. r = {5,6,7,8,9};
4. r = {7,8,9,9,9};
Задача 4
Определите равновесную по Нэшу ситуацию для механизма прямых приоритетов
si ,  si  R


i
xi  
,
min( si , i ( si )),  si  R

i
где i ( si )  Ai si ,  :  min( si , i ( si ))  R .
i
Функции полезности агентов:  i ( xi , ri )  2 ri xi  xi , i  1, n
Задача 5
1 n
 si в системе из n = 5 активных экспертов
n i 1
определить равновесную по Нэшу ситуацию, если множество возможных значений заявок
экспертов   [10,20] , а истинные мнения экспертов имеют следующие значения:
1. r = {10,10,15,20,20};
2. r = {10,12,13,17,18};
3. r = {15,15,16,19,20};
Для механизма активной экспертизы  (s) 
Задача 6
Докажите, что процедура активной экспертизы π(s), оптимальная в смысле близости к среднему
арифметическому:
1 n
 0 ( s)   s i ,
n i 1
заключается в разбиении [d,D] на n равных отрезков.
Функции полезности экспертов -  i ( x, ri )   | x  ri | , i  1, n .
Истинное мнение экспертов - ri  [d , D] , i  1, n .
Сообщаемая экспертами оценка - si [d , D] , i  1, n .
Оптимальность процедуры активной экспертизы π*(s) в смысле близости к процедуре π0(s):
max |  * ( s*)   0 ( s) | min , где s* - равновесные заявки экспертов.
r[ d , D ]
Задача 7
Построить последовательность Wk и выписать вид эквивалентного прямого механизма для
процедуры активной экспертизы n активными элементами, оптимальной в смысле близости
(см. задачу 6) к:
n
 0 ( s)    i s i , где 0   i  1 ,
i 1
n
 i  1,

i 1
si [0, 1] .
Задача 8
В активной системе с n активными элементами и функциями затрат типа Кобба-Дугласа с
параметрами   2 , R  1 . Центр выплачивает вознаграждение АЭ пропорционально объемам
выполненных работ y i . Общий объем работ R0 фиксирован.
Построить механизм распределения объема работ на основании внутренних цен. Определить
цены объемов работ для каждого активного элемента в зависимости от его заявки.
Исследовать манипулируемость механизма внутренних цен в заданной активной системе в
случаях а) гипотеза слабого влияния не выполнена и б) гипотеза слабого влияния выполнена.
Задача 9
Для активной системе состоящей из 3 активных элементов, имеющих функции затрат
2
ci ( y i , ri ) 
yi
ri    [0, 1] , i  1, 3 ,
2ri
и центра, которому необходимо, что бы АЭ выполнили объем работ R=1,
1. построить механизм внутренних цен;
2. определить равновесные по Нэшу заявки АЭ
3. оценить эффективность механизма внутренних цен;
Вектор типов АЭ r = {0.3,0.6,0.8}; Центру известно только множество возможных значений
типов АЭ Ω.
Задача 10
Построить механизм открытого управления  ( s)  ( x1 ( s), x2 ( s)) для задачи стимулирования в
ОС с одним агентом в условиях неполной информированности центра:
f 0 ( x1 , x2 )  x2  x1 - функция полезности центра,
2
f 1 ( x1 , x 2 , r )  x1 
x 2 - функция полезности АЭ, где r – тип АЭ.
2r
Задача центра – максимизация ожидаемой полезности Ef0 ( ( s)) → max .
 (s)
Множество возможных значений типа агента, известное центру – отрезок [rmin,rmax], rmin>0, и
вероятностное распределение типов агента на данном отрезке F (r ) 
r  rmin
rmax  rmin
Весь ресурс первого типа Х1 сосредоточен у центра, весь ресурс второго типа Х2 – у агента,
причем Х1= ∞ и Х2= ∞.
Множество возможных значений типа агента, известное центру - отрезок [rmin,rmax], rmin>0, и
вероятностное распределение типов агента на данном отрезке F (r ) 
r  rmin
rmax  rmin
Задача 11
Построить механизм открытого управления  ( s)  ( x1 ( s), x2 ( s)) для обратной задачи
стимулирования в ОС с одним агентом в условиях неполной информированности центра:
2
x2
- функция полезности центра,
2
f1 ( x1 , x2 , r )  rx 2  x1 - функция полезности АЭ, где r – тип АЭ.
f 0 ( x1 , x2 )  x1 
Задача центра – максимизация ожидаемой полезности Ef0 ( ( s)) → max .
 (s)
Множество возможных значений типа агента, известное центру – отрезок [rmin,rmax], rmin>0, и
вероятностное распределение типов агента на данном отрезке F (r ) 
r  rmin
rmax  rmin
Весь ресурс первого типа Х2 сосредоточен у центра, весь ресурс второго типа Х 1 – у агента,
причем Х1= ∞ и Х2= ∞.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
(работы, отмеченные звездочкой, можно найти в разделе "Электронная библиотека")
Основная:
1. *Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. М.: Синтег, 1999. – 108 с.
2. *Коргин Н.А. Механизмы обмена в активных системах. М.: ИПУ РАН, 2003. – 128 с.
3. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. М.: МПСС, 2005. – 584 с.
4. *Методические материалы для подготовки к экзамену