L11-2

Задача Кеплера.
Рассмотрим теперь движение легкой частицы массы m в поле гравитации тяжелой
точечной массы M
m , (задача Кеплера). Эта задача, фактически, достаточно
хорошо моделирует движения планет в поле гравитации Солнца. Понятно, что в
зависимости от меры сообщаемой частице энергии Е, ее движение в поле гравитации
точечной массы будет либо финитным (эллипс), либо инфинитным (парабола, или
гипербола). Поэтому, задача сводится к нахождению условий финитности, или
инфинитности движения частицы.
Так как диссипативные силы отсутствуют, то энергия частицы сохраняется
2
mv 2 GMm mvr2 mv GMm
E




 const ,
2
r
2
2
r
где
vr , v
– радиальная и азимутальная компоненты скорости,
r
(11.7)
– расстояние частицы
до точечной массы.
Используя закон сохранения момента импульса частицы:
L  mrv  const ,
(11.8)
и исключая его помощью азимутальную скорость из (11.7), получим
E  mvr2 / 2  GMm / r  L2 / 2mr 2 .
(11.9)
Формально это выражение можно рассматривать как энергию одномернорадиального движения частицы во внешнем поле с эффективным потенциалом
U эфф  GMm / r  L2 / 2mr 2 ,
(11.10)
зависимость которого от силового центра r схематически представлена на рис.11.4.
рис. 11.4
Так как первый член правой части (11.9) неотрицательная величина, то область
пространства, в которой может находиться частица, определится условием
Проведем горизонтальную прямую E
 const .
U эфф  E .
Области пространства, соответствующие
участкам кривой
энергией
E
U эфф ,
которые лежат выше этой прямой, не достигаемы частицей с
(рис.11.5).
Рис.11.5
Если
E 0,
E  const
то прямая
пересекает кривую
поворота, которым соответствуют расстояния от центра
rmin  r  rmax , т.е. финитно,
rmin и rmax , которые называются
rmin
U эфф (r ) в двух точках
и rmax . Движение частицы
локализовано в области
и соответствует движению по
эллипсу. Расстояния
перицентром и апоцентром
эллиптической орбиты, являются решениями уравнения
U эфф  E :
r 2   GMm / E  r  L2 / 2mE  0 .
(11.11)
Введя эксцентриситет траектории как
e   rmax  rmin  /  rmax  rmin  ,
и пользуясь теоремой Виета:
rmin  rmax  GMm / E, rmin  rmax   L2 / 2mE ,
(11.12)
получим следующую формулу
e2  1  2EL2 / G 2 M 2 m3 ,
(11.13)
которая дает связь формы траектории частицы с параметрами задачи.
Минимуму эффективного потенциала соответствует расстояние
r0  L / GMm
Подставляя E 0
2
2
и энергия
E0  m  GMm / L  / 2
2
от
(их легко получить из (11.10)).
в (11.13), находим соответствующее значение эксцентриситета
Это круговое движение с радиусом орбиты
r0 .
центра
e  0 .
Из (11.8) для скорости кругового
движения получаем
vк  L / mr0  GMm / L   GM / r0 
1
2
.
(11.14)
rmin  rmax  r0 (круговое движение),
так как E  U  K , то для кругового
Если в первое соотношение (13.12) положить
2 E  GMm / r0 , или 2E  U . И
получаем E   K . Т.е. при круговом
то получится
движения
движении сумма полной и
кинетической энергий частицы равна нулю.
Уравнение (11.11) дает два вещественных корней лишь в области энергий
E0  E  0 . Им соответствует эллиптическая орбита со значениями эксцентриситета
0  e  1 (рис.11.6).
рис. 11.6
a  (rmin  rmax ) / 2  GMm / 2 E , а малая
Большая полуось эллипса имеет длину
полуось –
Если
b  a 1  e2 
E  0,
1
2
 L /  2mE 
то прямая
E  const
соответствующей расстоянию от центра
на расстоянии
rmin
1
2
.
пересечет кривую только в одной точке,
rmin .
Двигаясь к центру, частица остановится
и меняет направление радиальной скорости в обратную сторону,
удаляясь в бесконечность. Это – инфинитное движение, а траектория – гипербола.
Наконец, при E  0 , движение частицы также инфинитно – но с параболической
траекторией (рис.11.7). Так как в бесконечном расстоянии от центра
здесь
E  mv2 / 2 .
с нулевой скоростью. Начальная скорость
r0 ,
то
Отсюда следует, что при гиперболическом движении частица
приходит в бесконечность с конечной скоростью
расстоянии
U эфф  0 ,
v , а при параболическом движении –
vп ,
которую надо сообщить частице на
чтобы она стала двигаться по параболе, называется параболической
скоростью. Ее можно определить из (11.7), подставив в него
E 0:
mvп2 / 2  GMm / r0  0 ,
откуда
vп   2GM / r0 
1
2
(11.15)
рис. 11.7
Сравнивая (11.14) и (131.15), получим
vп  vк 2 .
Полученные здесь формулы применимы к движениям тел в околоземном
пространстве, где можно пренебречь сопротивлением атмосферы. В частности,
применительно к Земле формулы (11.14) и (11.15) выражают первую (круговую) и
вторую (параболическую) космические скорости. Именно такие скорости нужно
сообщить телу на поверхности Земли (при этом
r0 – радиус Земли), чтобы оно двигался
вокруг нее по кругу, или по параболической орбите. Убедитесь сами, что
приблизительные значения этих скоростей соответственно равны 8 км/с и 11,2 км/с.
Собственная гравитационная энергия однородного шара.
Тела, которые формировались и удерживаются внутренними силами всемирного
тяготения, называются гравитирующими. Таковыми являются планеты, звезды и
разнообразные совокупности звезд. Работу внутренних консервативных сил мы
характеризовали собственной потенциальной энергией, которая в рассматриваемом
случае называется гравитационной. Это – работа гравитационных сил при полном
разрушении системы, т.е. при превращении системы в конфигурацию с нулевой
гравитационной энергией. Это соответствует ситуации, когда расстояния между всеми
частицами бесконечны.
Рис. 11.8
Поэтому, разобьем мысленно шар радиуса R и массы M на бесконечно тонкие
концентрические слои и последовательно удалим их в бесконечность. Пусть в этом
процессе
удаляем
слой
с
массой
dm
из
поверхности
шара
массы
mr 
в
бесконечность (рис.11.8). Так как в бесконечности потенциальная энергия слоя равна
нулю, то изменение гравитационной энергии при этом перемещении будет - 
  r   Gm  r  / r
где
–
гравитационный
потенциал
на
поверхности
 r  dm ,
шара.
Гравитационную энергию шара получим, производя интегрирование:
Gm
GM 1/ 3 M 2 / 3
3 GM 2
U 
dm  
m dm  
M r
R 0
5 R
0
где
мы
исключили
из
первого
подынтегрального
,
(11.16)
выражения
следующим очевидным соотношением для однородного шара:
r , пользуясь
3
m / M   r / R  . Знак
минус вызван с выбором конфигурации с нулевой энергией (чтобы достичь ее следует
сообщить шару положительную энергию).
Заметим, что гравитационная энергия шара данной массы обратно пропорциональна
его радиусу. Уменьшая радиус, т.е. уплотняя шар, можно его гравитационную энергию
увеличить до энергии покоя -
Mc 2 . Легко оценить, что это случится при радиусе
(11.17)
Rg  GM / c2 ,
который называется гравитационным радиусом тела. Не трудно оценить, что для
Солнца ( M
( M
 2  1033 г , R  700000км ) он порядка километра, а для Земли
 6  1027 г, R  6400км ) – порядка метра, так что гравитационная энергия
составляет лишь ничтожную долю от энергии их покоя. Совершенно иная ситуация у
сверхплотных – нейтронных звезд (пульсары), которые при радиусе в 10 км имеют
массы порядка солнечных(!). Легко убедиться, что плотность массы у них порядка
плотности масс атомных ядер. Гравитационная энергия нейтронных звезд составляет
10% - 30% от энергии их покоя.
Гравитационное поле вокруг таких сверхплотных образований уже не описываются
простыми формулами (11.3),(11.5). Эйнштейн в 1915г. построил релятивистскую
теорию гравитации, или общую теорию относительности, в рамках которой и
описываются эти объекты и связанные с ними явления. Однако некоторые экзотические
явления можно предварительно получить и в рамках Ньютонов теории гравитации с
учетом выводов специальной теории относительности. Например, легко убедиться, что
круговая скорость у поверхности (в действительности такая поверхность не может
находиться в равновесии, а под действием мощных сил гравитации должна безудержно
сжиматься к центру) объекта с радиусом (11.17) равна скорости света. Это означает,
что световой квант не в состоянии преодолеть притяжение такого объекта и выйти
наружу, т.е. их нельзя наблюдать непосредственно. Однако их можно обнаружить по
определенным явлениям, если они входят в состав двойной звезды. Такие объекты
носят название черных дыр.