I. Элементы функционального анализа

ПРОГРАММА КУРСА
«УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»
для астрономического отделения
I.
Элементы функционального анализа
1.Линейные пространства, линейная независимость, конечномерные и бесконечномерные
пространства, примеры.
2. Норма, сходимость, полнота, непрерывные отображения, непрерывность нормы.
3. Принцип сжимающих отображений.
4. Линейные ограниченные операторы, пространство линейных ограниченных операторов.
5. Корректно разрешимые задачи, обратный оператор, возмущение корректно разрешимой
задачи.
6. Скалярное произведение и его свойства, норма и скалярное произведение, гильбертово
пространство.
7. Ортонормированные системы, ряды Фурье, полные системы, их существование.
8. Оператор проектирования , прямая сумма подпространств.
9. Теорема Рисса.
10. Построение сопряженного оператора.
11. Собственные числа и собственные векторы оператора.
12. Компактные множества, критерий Хаусдорфа, теорема Арцела-Асколи.
13. Компактные операторы и их свойства.
14. Теоремы Фредгольма.
16. Теорема о множестве собственных чисел и собственных векторов компактного
самосопряженного оператора.
17. Теорема существования собственного числа у компактного самосопряженного оператора.
18. Построение всех собственных чисел и собственных векторов компактного
самосопряженного оператора.
19. Теорема Гильберта-Шмидта, спектральная теорема для компактного самосопряженного
оператора.
20. Интегральные операторы с непрерывным ядром, ядром Гильберта-Шмидта, ядром со слабой
особенностью, сопряженный к интегральному оператору. Гладкость решения интегрального
уравнения со слабой особенностью. Интегральный оператор на границе области.
II.
1.
2.
3.
4.
5.
Теория потенциала.
Гладкость границы, интегрирование по частям, формула Грина, теорема о представлении
функции через потенциалы.
Интеграл Гаусса: вычисление и абсолютная сходимость.
Потенциал двойного слоя: простейшие свойства, теорема о предельных значениях.
Потенциал простого слоя: простейшие свойства, правильная нормальная производная.
Ньютонов потенциал, существование и непрерывность вторых производных, вычисление
оператора Лапласа.
III.
Гармонические функции.
6.
Определение и бесконечная дифференцируемость.
Прямая теорема о среднем.
Принцип максимума, теорема единственности для внутренней и внешней задачи Дирихле
при m>2.
Функция Грина для оператора Лапласа, задача Дирихле для шара и его внешности.
Поведение производной гармонической функции на бесконечности. Теоремы
единственности для внутренней и внешней задачи Неймана.
Интегральные уравнения теории потенциала при m>2. Формулировка результатов при m=2.
1.
2.
3.
Пространство полиномов.
Оператор Бельтрами.
Полнота системы сферических функций.
1.
2.
3.
4.
5.
IV.
Сферические функции.
V.
Оператор Штурма-Лиувилля.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Теорема единственности.
Вспомогательные сведения об уравнения второго порядка.
Функция Грина. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.
Теоремы Фредгольма.
Собственные числа и собственные функции для оператора Штурма-Лиувилля.
Полнота системы собственных функций. Теорема Стеклова.
Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности и одномерного волнового
уравнения.
1.
2.
3.
Принцип максимума для начально-краевой задачи и его следствие.
Принцип максимума для задачи Коши.
Решение задачи Коши, принцип Дюамеля.
1.
2.
3.
4.
5.
Задача для струны и полуструны.
Решение задачи Коши в трехмерном случае методом сферических средних. Свойства
решений.
Решение задачи Коши в двумерном случае методом спуска, свойства решений.
Принцип Дюамеля.
Теорема единственности и закон сохранения энергии.
1.
2.
3.
4.
Пространства D и D’ .
Регулярные и сингулярные обобщенные функции.
Операция дифференцирования в пространстве D’.
Фундаментальное решение для оператора Лапласа.
VI.
Уравнение теплопроводности.
VII.
Волновое уравнение.
VIII. Обобщенные функции.