РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Функциональный анализ" Факультет автоматики и вычислительной техники Курс 3 группа АМ-04-6 УЧЕБНЫЙ ПЛАН на осенний семестр 2006/2007 учебного года Лектор профессор Б. М. Писаревский Всего часов 68 Лекции Практич. занятия 51 17 Номер недели Лекции Колво часов 1 Линейные нормированные пространства. Расстояние, шары, предел, непрерывность нормы. Открытые и замкнутые множества, замыкание, всюду плотные множества, сепарабельность. Фундаментальная последовательность, банахово пространство, теорема о вложенных шарах. Ряды. Выпуклые множества. Линейные многообразия и подпространства. Теорема о почти – перпендикуляре. [1] §§ 2, 3, 5. Примеры линейных нормированных пространств. Простран- 3 [4] §§ 1, 2. 1 3 [4] §§ 1, 2. 1 2 1 Практические занятия Колво часов n ства R , R . Конечномерные пространства с различной нормой. Пространства непрерывных функций C[a; b] и непре1 рывно дифференцируемых функций C n [a; b] . Пространства l2 , l1, l p ( p 1) . Пространство ограниченных последователь- 3 4 ностей m как пример несепарабельного пространства. [1] §§ 2, 3, 5. Гильбертовы пространства. Непрерывность скалярного произведения. Равенство параллелограмма. Угол и ортогональность. Теорема о существовании элемента с наименьшей нормой в замкнутом выпуклом множестве. Теорема о разложении гильбертова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортонормированные системы. Базис сепарабельного гильбертова пространства. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя. Замкнутые системы. Сходимость ряда Фурье. Критерий замкнутости ортонормированной системы. [1] § 6. Пополнение линейного нормированного пространства (основные этапы, идея доказательства). Построение интеграла Лебега через пополнение пространства непрерывных функций. Пространства L2 [a; b], Lp [a; b] ( p 1) . Тригонометриче- 3 [4] § 3. 1 3 [4] §§ 4, 15. Рейтинговая контрольная работа 1 ский ряд Фурье. Пространство Соболева. Его вложение в пространство непрерывных функций. Компактные и бикомпактные множества. Свойство единичного шара в бесконечномерном линейном нормированном пространстве. [1] §§ 7, 8, 9, 19. 2 5 6 7 8 Критерий компактности. Компактность в пространстве непрерывных функций. Линейные операторы и функционалы. Ограниченность, непрерывность и норма линейного оператора. Интегральный оператор Фредгольма. Операторы дифференцирования и ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве. Примеры непрерывных линейных функционалов. [1] §§19, 10. Пространство ограниченных линейных операторов. Равномерная и сильная сходимости последовательности операторов. Операторные ряды. Принцип равномерной ограниченности. Теорема Банаха – Штейнгауза. Продолжение ограниченного линейного оператора с всюду плотного линейного многообразия. Кольцо операторов. Сопряженное пространство. [1] § 11. Обратные операторы. Критерий существования обратного оператора и критерий ограниченности обратного оператора. Непрерывная обратимость. Теорема Банаха об обратном операторе (без доказательства). Операторная геометрическая прогрессия. Спектр оператора. Резольвента. Собственные подпространства. Дискретный и непрерывный спектр. [1] §§ 12, 23, 24. Теорема Хана – Банаха (доказательство – для сепарабельного пространства). Следствия. Структура сопряженного пространства для гильбертова пространства, для пространства l p ( p 1) (идея доказательства), пространств L2 [a; b], 3 [4] §§ 15, 7. 1 3 [4] §§ 8, 11. 1 3 [4] § 9, 19. 1 3 [4] § 12. 1 Lp [a; b] ( p 1) (без доказательства). Функции с ограниченной вариацией. Интеграл Стильтьеса. [1] §§ 16, 17, [3] § 9.5. 3 9 10 11 12 13 14 Общий вид непрерывного линейного функционала в пространстве непрерывных функций (идея доказательства). Слабая сходимость. Второе сопряженное пространство. Слабая компактность. Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы. Неотрицательность и частичная упорядоченность. Квадратичная форма, порождаемая самосопряженным оператором. [3] § 9.5, [1] §§ 17, 18. Вполне непрерывные операторы. Подпространство вполне непрерывных операторов. Теорема о полной непрерывности сопряженного оператора (без доказательства). Полная непрерывность и слабая сходимость. Полная непрерывность интегрального оператора Фредгольма. Спектр вполне непрерывного оператора. [1] §§20, 24. Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Теорема Гильберта – Шмидта. Равномерная сходимость ряда по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма с симметричным непрерывным ядром. [1] § 24. Симметричные операторы. Оператор Штурма – Лиувилля. Оператор Грина как обратный к оператору Штурма – Лиувилля. Абсолютная и равномерная сходимость ряда по собственным функциям. [3] §§ 10.5, 11.7. Линейные интегральные уравнения. Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма. Уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром. [1] § 20. Принцип сжимающих отображений. Уравнение Вольтерра второго рода. Уравнения первого рода. Некорректные задачи. Понятие о методах регуляризации. [1] § 33, 20. 3 [4] §§ 13, 14, 18. Рейтинговая контрольная работа 1 3 [4] §§ 16, 20. 1 3 [4] § 20. 1 3 [4] § 22. Рейтинговое домашнее задание (сдача) 1 3 [4] § 21. 1 3 [4] § 21. 1 4 15, 16 17 Леммы вариационного исчисления. Вариация функционала. Уравнение Эйлера. Классические вариационные задачи. Квадратичные функционалы и вторая вариация. Понятие о достаточных условиях экстремума функционала. [2] Гл.6, 8. Резерв. 3 [4] §§ 30, 31. 1 3 Рейтинговая контрольная работа 1 ЛИТЕРАТУРА 1. В. А. Треногин Функциональный анализ. М.: Наука, Физматлит,1980 2. Л. Э. Эльсгольц Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, Физматлит,1969 3. Б. З. Вулих Введение в функциональный анализ. М.: Наука, Физматлит,1967. 4. В. А. Треногин, Б. М. Писаревский, Т. С. Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, Физматлит,1984 или 2002. ЛЕКТОР ПОТОКА проф. Б. М. Писаревский 5